信号与系统课件

第一章信號與系統的基本概念§1.1引言一、課程的概述例１：以下是一個廣播電臺傳送語言、音樂節目的過程：*§1.1引言一、課程的概述例１：以下是一個廣播電臺傳送語言、音樂節目的過程：*例２：電磁波探礦問題

*例２：電磁波探礦問題

*我們研究信號通過系統的一系列分析和運算的方法這是學生們在大學期間最有收益的(rewarding),令人入勝的(exciting),有用的(useful)一門課程。*二、課程的特點和安排信號：連續－〉離散時域－〉頻域－〉複頻域－〉Ｚ域１－３章時域分析４－６章頻域分析７－９章變換域分析*§1.2信號的基本概念一、什麼叫信號

信號是反映資訊變化規律的物理量

！注意兩點：一是信號一般是變化的其二信號是一個物理量，可以是電信號、光信號、聲音信號。*在電信號中，可以指電壓、電流、電荷、磁通。在力信號中，可以指位移、速度。二、信號的表示方法１、數學公式２、波形圖u(t)ti(t)t00*

！有兩點需要注意：一是引數可以是時間t，亦可以不是時間t

二是引數可以是一個，亦可以是二個或三個

三、信號的特徵：信號的時域特性信號的頻域特性*tx(t)t(a)時域觀測(c)頻域觀測(b)*§1.3信號的分類１．按信號是否可以預知可分為確定性信號：信號是時間t的確定函數

隨機信號：信號不是時間t的確定函數，只知道在某一時刻的概率２．按信號的引數是否連續來區分

連續時間信號：引數t可以連續取值，除了若干個不連續的點外，任何時刻都有定義

離散時間信號：其引數n不能連續取值，只能在一些離散的點上取值，記為x[n]*X(t)t0n離散信號用x[n]來表示連續信號用x(t)來表示X[1]X[-1]X[n]06-4-6428-2*3.按信號x(t)是否按一定的時間間隔重複出現a.週期信號：按一定的時間間隔重複變化為週期，它是使信號重複出現的最短時間間隔X(t)tA……*１－單個脈衝持續期有限２－持續期無限幅度有限３－持續期無限幅度無限非週期信號：

b.非週期信號：一般就是單個信號，不重複變化X(t)t0-222*例1：是週期函數嗎？若是，請求出週期。解：為和的最小公倍數例2：是週期信號嗎？不是週期信號。答：*４．按能量有限或功率有限來分類先談一下能量和功率的定義式信號的電壓或電流是x(t)，電阻是R=1暫態功率是：或在所有的時間內的能量在一個週期內的功率

*1)能量信號：

2)功率信號：

週期信號：功率信號非週期信號：

1－單個脈衝持續期有限－>能量信號

２－持續期無限幅度有限－>功率信號３－持續期無限幅度無限－>

非功率、非能量信號*OX(t)tOX(t)tOX(t)t能量信號功率信號非功率、非能量信號５．按信號x(t)是否等於它的複共軛信號

實信號復信號*§1.4信號的基本運算與波形變換１）加法運算(離散）(連續）×２）乘法運算∑*３）標量乘法

a為常量

４）反轉引數t以－t代替

x(t)x(-t)相當於把x(t)的波形以縱軸為對稱軸反轉而得X(t)0-12t*３）標量乘法

a為常量

４）反轉引數t以－t代替

x(t)x(-t)相當於把x(t)的波形以縱軸為對稱軸反轉而得X(t)0-12-21t0X(-t)t*５）延時把波形向右移動了的位置

把波形向左移動了的位置

x(t－)比x(t)延時了的時間x(t+)比x(t)超前了的時間x(t-2)x(2-t)是把x(t-2)以t=2為軸左右反轉而得。x(t-2)0214t*５）延時把波形向左移動了的位置

把波形向右移動了的位置

x(t－)比x(t)延時了的時間x(t+)比x(t)超前了的時間x(t-2)x(2-t)是把x(t-2)以t=2為軸左右反轉而得。x(2-t)023tx(t-2)0214t*例*例：*例：如何完成x(t)->x(2-t)*例：如何完成x(t)->x(2-t)*６）尺度變換性質

x(t)->x(at)相當於x(t)信號壓縮了a倍，週期是原來的1/a倍例：x(t)=sintu(t)0t此時x(t)當x(t)->x(2t)=sin2tu(t)0x(t)*當x(t)->x(1/2t)u(t)0x(t)t所以當x(t)x(at)時，如果|a|>1時，則信號壓縮為原來的１/|a|倍如果|a|<1時，則信號擴展為原來的1/|a|倍*７）綜合變換方法一：反轉擴展平移例1.1已知連續時間信號x(t)-10123t12x(t)(a)１）反轉：將t-t

得x(t)的反轉波形x(t)２）擴展：將x(-t)中的tt/3

得x(-t)的擴展波形x(-t/3)３）平移：將x(-t/3)中的tt-6

得x(-(t-6)/3)*-3-2-10112tx(-t)(b)x(-t/3)t-9-6-30312(c)t-3036912x(2-t/3)-1(d)*方法二：擴展反轉平移-10123t12x(t)(a)x(-t/3)t-9-6-30312(c)t-31369x(t/3)(b)*補充方法例１：１.x(t)x(2-t/3)-10123t12x(t)(a)t-3036912x(2-t/3)-1(d)*

第一步x(t)x(m)-10123m12x(m)第二步m=2-t/3

標出相應t座標的數值-101239630-3mt=3(2-m)*9630-312369-30-12第三步把原x(t)圖畫在新的座標上第四步從負到正把新的x(2-t/3)畫出來1*例２：已知x(2-t/3),求x(t)=?解：m=-3m=0m=3m=6m=9

t=3t=2t=1t=0t=-1２）2-m/3=t4)-10123t12x(t)１）x(2-t/3)x(2-m/3)369-30-1m12x(2-t/3)

3)3210-1t12-1x(t)*８）微分將x(t)在信號沿時間軸對時間變數求導，得x'(t)tx(t)2682268tx’(t)1-1*９）積分將x(t)在區間

內沿時間軸對積分

記為例1：12tx(t)2t20012x(t)=202其他*例2：122tx(t)x(t)=2(t-1)0其他t121其他*１０）分解與疊加信號可以分解為一系列基本信號的加權疊加而系統對第n個基本信號的回應為,則系統對x(t)的回應為*§1.5基本連續時間信號一.複指數信號連續時間複指數信號的形式為式中c和a一般為複數１、實指數信號

x(t)ta>0a<0a=0C0*１）a<0因為a在指數上，它小於０，說明

x(t)隨t指數衰減２）a>0

x(t)隨時間t而指數增加３）a=0此時x(t)==c為一直流信號２、虛指數信號

這時這種信號具有如下特點１）它是週期為的週期信號*這是因為2）它是復信號有實部，也有虛部3）它的實部和虛部都是實數信號，而且具有相同基波週期*3、複指數信號這時，c和a都是複數r代表振盪的包絡r>0幅度增加r<0幅度減小代表振盪的角頻率*這是我們經常用到的二、單位階躍和單位沖激信號1、單位階躍函數1）定義式u(t)=0t<01t>010tu(t)t10*此函數在t=0處不連續，它從0跳變到1，此點未定義或定義為同時延時的單位階躍函數定義為1t>0t<*Au(t)表示信號A在t=0處接入電路A表示信號A在時刻接入電路例：tu(t-2)tu(t-2)2t2)u(t)函數的作用（1）通常把u(t)表示為信號作用的起始時間*（2）常用u(t)加權和來表示一些階梯信號20468246x(t)tx(t)=4u(t-2)+2u(t-6)-6u(t-8)*2、單位沖激函數（1）定義t(1)t(1)或00*0t當時，形成一個幅度為無窮而寬度為0的窄脈衝而*(2)的用途描述一個理想的信號源，使電容的電壓和電感的電流可以突變～°°°°＋－KC＋－伏C=1法拉安L=1亨沖激電流源沖激電壓源*（3）函數的性質(a)階躍函數為的積分即1t>00t<0=u(t)(b)函數是階躍函數的導數即(c)的採樣性質而*×(d）函數是t的偶函數即這是因為*(e)這個結果，以代入計算(4)函數的導數當即沖激的強度越來越大，其極限即為函數的導數***(5)函數的性質1)對時間的積分就是單位沖激函數*或2)是奇函數3)包含的面積為零4)的採樣性質*§1.6基本離散時間信號1、單位階躍序列連續單位階躍信號是定義為u(t)=0t<01t>0離散的單位階躍序列定義為u[n]=0n=-1,-2…1n=0,1,2…不同的是序列只在離散的點n=0,1,2…上有離散的數值，而不是在連續的點上有值*2、單位抽樣序列1)定義式1n=00其他1n=k0其他-220n264n*2)與的比較不同點：在n=0時取值為1，而在t=0處取值為類似點：(1)n012…n012…33*(2)在連續系統中在離散系統中我們亦可用的抽樣序列來表示微分->差分積分->求和n012…3*3、複指數序列標準形式：1)實指數序列：當均為實數*2)虛指數序列在中，c為實數，為複數時，設則*3)複指數序列此時，皆為複數，即代入x[n]式中得到*4、複指數序列的週期性質連續離散1）愈高，振盪頻率加快愈小，振盪頻率減慢對沒有週期性對有週期性2）對任何都是t的週期函數1）對等複指數序列是完全相等的即是以為週期的2）對不同的不一定都是n的週期函數，只有為有理數時，才使為週期（因為任何都是週期函數)*2)對頻率是具週期性的變化週期為*2)對不同的值不一定都是n的週期函數為有理數時才是週期的基波頻率數字頻率基波週期整數*§1.7系統的基本概念1、系統的意義：實現某種特定要求的裝置的集合連續系統:微分器積分器乘法器*離散時間系統倍乘器單位延遲器相加器*2、子系統1)級聯2)並聯*§1.8系統的特性與分類

PropertiesandClassificationofSystems

線性性質齊次性 疊加性齊次性：*疊加性：*2、增量線性系統1）系統滿足分解特性2）零輸入線性：僅由初態激勵引起的回應滿足線性性質。3）零狀態線性：僅由輸入激勵引起的回應亦必須滿足線性性質*

只有當系統同時滿足以上三個條件時，此系統為線性系統，否則就是非線性系統。有時稱這樣的線性系統為增量線性系統。例：為線性系統嗎？解：

∴不是線性系統。3、時變和時不變系統*x(t)t

y(t)ttt系統系統時不變系統：系統的輸出波形僅取決於輸入波形和系統的特性而與輸入信號接入系統的時間無關即系統的參數不隨時間而變化，該系統就具有時不變性質。例如變容元件的C*4、因果系統和非因果系統

因果系統：它的輸出僅取決於現在與過去的輸入，而與將來的輸入無關。

非因果系統：系統的輸出與未來的輸入有關， 即沒有原因就產生結果。*

如果系統滿足輸入有界，輸出也有界，則此系統為穩定系統，反之如果系統滿足輸入有界，輸出無界（無限值），則此系統叫做不穩定系統5、穩定與不穩定系統*6、記憶性、可逆性*第一章小結1信號的時域描述方法及基本運算2三種基本的連續/離散時間信號複指數信號階躍信號沖激（抽樣）信號3系統的基本概念及互聯方式4系統的六個基本性質只研究線性時不變系統（連續和離散）作業：7、12、13、21*第二章連續時間系統的時域分析83§2.1引言本章解法時域解法微分方程法古典法奇次通解特解零輸入回應零狀態回應卷積積分零狀態回應奇異函數用奇異函數表示任意時間信號沖激回應h(t)的求法卷積積分的定義式卷積積分的圖解法卷積積分的數值法84§2.2LTI系統的微分方程描述

§2.3零輸入、零狀態回應的求法85§2.4用衝擊函數表示任意信號卷積積分1、用衝擊函數表示任意信號信號可以分解為一系列基本信號的加權疊加而系統對第n個基本信號的回應為,則系統對x(t)的回應為86tx(t)tx(t)t87當連續變數，在時域中，把任意函數分解為無限多個沖激函數的疊加積分表示式88多點抽樣一點抽樣2、卷積積分輸入零狀態回應89討論幾個問題1、以上卷積公式如果的信號是一個有始信號，從零開始90中，當即時，當即時，2、卷積意義的進一步說明激勵函數作用於電路的時間反映了在軸上移動的距離回應與輸入的持續時間是重設的引數，t是參變數它是從0開始到t對輸入函數的加權積分91§2.5卷積積分的運算和圖解例11tx(t)h(t)1t進行卷積積分運算9293例3任意函數與函數卷積的結果t-TT01-TT0求94解：t1T2T-T95例2：已知和的圖形如圖示，試計算卷積積分17t2t225½96

τ2t-7t-12）平移1）翻轉解：2-1-7

τ973）分步相乘、積分(a)若t-1<2,即t<3t-7t-1252½98(b)若2<t-1<5即3<t<6t-72t-152½99(c)若t-1>5t-7<2即6<t<9t-725t-11002t-75t-1(d)若2<t-7<5即9<t<12101(e)若t-7>5,即t>12s(t)=02t-75t-12½1020t<3t-33<t<636<t<912-t9<t<120t>12s(t)=336912ts(t)103§2.6單位沖激回應的演算法一、定義：所謂單位沖激回應h(t)是系統在單位沖激激勵的情況下的零狀態回應所謂單位階躍回應s(t)是系統在單位階躍激勵的情況下的零狀態回應！注意三點：1。單位2。零狀態，即初態為零3。h(t)104§2.7卷積積分的性質1。卷積運算滿足交換律，即x(t)與h(t)的位置可以交換2、結合律105對於兩個串聯的系統1）兩系統級聯的沖激回應x(t)w(t)y(t)x(t)y(t)x(t)w(t)y(t)單位沖激回應的卷積即2）級聯的單位沖激與子系統連接的次序無關1063、分配律對於一個並聯系統而言y(t)x(t)107兩個並聯子系統構成的系統，其單位沖激回應為兩個子系統單位沖激回應之和4、微積分性質微分性質：如果則對於n階導數有108積分性質：則有推廣之則有例：求109見下圖11011t112tt-11t1111t12(-2)(1)t123t112§2.10連續時間系統的模擬一、模擬圖的意義h(t)y(t)x(t)我們設法用實驗來模擬它實驗模擬方法的好處在於其回應的變化很容易通過實驗來進行觀察，以便調正。而我們要講的模擬圖還不是實驗的安裝，而是指數學意義上的模擬。113二、模擬圖的種類1、時域頻域2、功能加法器乘法器a積分器114y(t)x(t)y(0)三、連續時間系統微分方程的模擬圖步驟:1)把輸出函數的最高階導數項放在左邊其餘專案都放在右邊2)經過若干個積分器，可得到y(t)115116∫輸入特性與級聯次序無關，將兩個積分器合併為一個。++∫++∫117∫∫118直接Ⅱ型所用的積分器最少，所以也稱為正准型，將正准型的加法器相加即得簡化的模擬圖。直接Ⅰ型和直接Ⅱ型的模擬圖見下頁119∫∫∫∫∫∫直接Ⅰ型++++++++120∫∫∫直接Ⅱ型++++++++121第二章小結1卷積積分的物理意義、公式、運算及其性質；2單位沖激回應的物理意義；3連續時間系統的模擬。作業：5(a)(b)(c),6(a)(b),18,21第三章LTI離散時間系統的時域分析123§3.1引言

連續系統離散系統表示方法：微分方程差分方程解的分析：完全回應=零輸入+零狀態完全回應=零輸入+零狀態系統的特性：h(t)單位沖激回應h(n)單位脈衝回應零狀態回應：卷積積分卷積和124§3.2LTI離散時間系統的差分方程一、從微分方程到差分方程y(n)和y(n-1)代表前後兩點y座標的數值125為一階後向差分為一階前向差分一階後差二階後差相當於連續系統相當於126三階後差說明：連續系統中是微分方程，在離散系統中就是差分方程二、從實際的離散問題列寫差分方程127例1、有人在銀行存款，在t=kT時存入為f(k)T為一固定的時間間隔，這裏為一個月，銀行的月息為，每月的利息不取出，使用差分方程寫出第K月初的本利y(k)解：設原有存款y[0]第一個月：第二個月：第K個月：設第K月初的本利y(k)128例2：由一個電阻的梯形網路，每一串臂電阻值為R，每一併臂電阻值為aR,a為某一正實數U(0)=EU(n)=0求任一節點的電壓U(k)=?+-129解：取出此電路的一個T型結構雙方乘以R得130討論幾點1）差分方程的引數可以是時間n，亦可以是其他的離散變數。2）差分方程的一般形式後向差分方程回應輸入131前向差分方程表示y[n]與y[n+1]，y[n+2]….之間的關係我們一般用後向差分的形式3）差分方程如果同時加減一個數，差分方程所描寫的的輸入-輸出關係不變。表示的形式不一樣，實質是一樣的。1324）方程如想得到確定唯一解，必須給出初始條件，這與連續系統是一樣的四、差分方程的解法一共有三種方法：遞推法、經典法和零輸入、零狀態回應法。1）遞推法：就是用手算，逐次代入求解例1：初始條件y(-1)=c輸入133求：系統的回應y[n]其中c和k都是常數解：以n=0為起點方程可寫成134優點：方法簡便缺點：不便於得到解析式子135§3.4用抽樣序列表示任意序列單位抽樣回應136(2)h(t)的求法微分方程法零狀態→零輸入(3)y(t)=x(t)*h(t)在離散系統中按這三個步驟進行運算1、用抽樣序列表示任意序列137…n與連續的類似不同點：1）連續系統中是積分，離散系統中是求和2）連續系統是單位沖激函數，離散系統中是單位函數，它的幅度為1x[0]x[1]x[-1]-3-20132-11382、單位抽樣回應h(n)的求法：定義式：h[n]是離散時間系統在輸入為單位抽樣序列的情況下的零狀態回應！要注意兩點：1）單位抽樣2）零狀態回應139§3.5LTI離散時間系統的零狀態回應卷積和卷積和公式利用系統線性時不變性質140與連續系統的卷積積分公式相比相似點：1）在離散系統中為而在連續系統中為2）對有始信號和因果系統而言K的上下限為1413）與連續系統一樣，可以交換位置，即2、卷積和的計算方法1）利用等比級數求和的公式進行計算例2、設求：卷積和解：142根據等比級數求和的公式y[n]=當時當時0n<01432）用查表的方法公式10為把上面兩式代入公式11為當a=b時1443）圖形卷積求和法設時要進行它的步驟是：01230123321145a.把一個圖形翻轉h[k]→h[-k]翻轉01233210123146a.把一個圖形翻轉h[k]→h[-k]32101230-1-2-3147b.平移h[-k]→h[n-k]3210-110123148c.相乘x[k]h[n-k]0123012301233456734149d.求各個和x[n]與h[n]不是有限數列，它的卷積和為無窮多項1023456391518150x[k]的序列長度為序列的長度則卷積和y[n]的長度為4）矩陣計算法y[n]=x[n]*h[n]y[0]=1y[1]=1+1/2=3/2y[2]=1+1/2+1/4=7/4x(0)x(1)x(2)x(3)y(0)y(1)y(2)y(3)151§3.6

反卷積及其應用實際問題中，已知輸入x[n]和輸出y[n]，求系統回應h[n]例如，發射一個信號x[n]下去，又接收它的回波信號y[n]x[n]y[n]h[n]152x[n]和y[n]來測定系統的沖激回應h[n]對於有始信號，因果系統的回應式可以取為現在分別令n=0,1,2……N代入153簡寫HX=Y...154y[0]=h[0]x[0]y[1]=h[1]x[0]+h[0]x[1]y[2]=h[0]x[0]+h[1]x[1]+h[0]x[2]...y[N]=h[N]x[0]+h[N-1]x[1]+……+h[0]x[N]一共N+1個方程可寫成155計算尺y[n]固定尺上方，從左到右，按增長的序列即有y[n]的值156x[n]固定尺下方，從左到右，按同樣的順序即有x[n]的值h[n]滑動尺從右到左，按n的順序即有h[n]的值例如157例x[n]={1,1,2}y[n]={1,-1,3,-1,6}求：h[n]=?158解：下一步159解：下一步160解：下一步161解：162同理可得時，h[n]=0163上尺為等數值下尺為等數值而中間尺就是x[0],x[1]……就是中間的數值，計算的方法與前面的一樣已知y[n],h[n],求x[n]=?164§3.7用單位抽樣回應表示系統的性質我們要說明h[n]必須滿足什麼條件，才能使系統是因果的、穩定的、記憶的或可逆的，必須給出它的判別公式。1、LTI系統的穩定性165即和的絕對值小於絕對值乘積之和166例1、設,試判斷此系統的穩定性系統穩定例2、再設系統不穩定1672、LTI系統的因果性因果系統的意思就是，輸出只與現在與過去的輸入有關，而與未來的輸入無關。h[n]=0當n<0時當當168例3、試判斷下麵的一些LTI離散時間系統的單位抽樣回應，哪些是因果的，哪些不是因果的169解：因果系統因果系統只有才有輸出系統為非因果系統系統為非因果系統1703、LTI系統的記憶性非記憶系統是指即時系統記憶系統除了與當時的輸入有關，還與以前的輸入有關

是系統是無記憶系統的條件171如果k=1則y[n]=x[n],系統為恒等系統此時非記憶系統記憶系統h[n]=0可能例：的系統為記憶系統否？(1)從h[n]來看，當n不等於0時[如n=1時，h[n]=1]，即系統為記憶系統172(2)因為輸出不僅與當時的輸入有關，而且還與以前的輸入有關。系統為記憶系統練習題：P1043.201734LTI系統的聯接級聯：級聯繫統的單位抽樣回應等於各子系統單位抽樣回應的卷積。並聯：並聯系統的單位抽樣回應等於各子系統單位抽樣回應的和。174§3.8離散時間系統的模擬175第三章小結1差分方程的解法；2單位抽樣回應的物理意義；3卷積和的物理意義、計算方法及性質；4離散時間系統的模擬。作業：8(a)(d)，9(b)(c)(d)，13，17，

19(a)(c)，20連續時間信號的付裏葉分析

第四章177§4.1引言時域分析連續信號卷積積分以為基準信號離散信號卷積和以為基準信號頻域分析連續信號付裏葉分析以為基準信號連續系統付裏葉分析離散信號與系統付裏葉分析178變換域分析連續信號拉氏變換法以為基準信號離散信號Z變換法以為基準信號以作為基準信號的原因:P106要求必須滿足正交性，完備性§4.2複指數函數的正交性1、向量的正交179兩個向量的點乘積當時點積為零向量正交當重合時點積為常數與1802、函數的正交如果在區間內，一個復函數集中的各個復函數間，滿足如下條件0k181即在函數互乘時積分為零，而在自乘時積分為一個常數k,則稱n=0,1,2…N為正交函數集！注意幾點：a、一個實函數，則正交公式將變為0k182b、以上式中，如果k=1,則稱，n=0,1,2…3為歸一化的正交函數集c、當在區間內，對於正交函數集如果我們再也找不到一個函數使能滿足m=0,1,2,…N則稱此函數集n=0,1,2,…是完備的183d、係數的計算由兩邊積分由於和滿足正交條件所以除了m=n以外，其餘項皆為零1843、複指數函數的正交性對於複指數信號0185！注意幾點a、以上複指數函數是週期性的，角頻率為，週期為b、把以上複指數函數用歐拉公式展開成和兩項，他們滿足正交條件01860對所有的m和n§4.3用付裏葉級數表示週期信號1、用複指數形式的付裏葉級數表示週期信號187而！注意：如果是正弦將是如何？2、用三角形式的付裏葉級數表示週期信號三角級數當時亦是一組正交函數集，從複指數付裏葉級數亦可亦分解成三角付裏葉級數188在此設189190可以證明比較：(a)複指數付裏葉級數展開式綜合公式分析公式191平均值三角付裏葉級數展開式綜合分析192(b)比較二者n從有正負頻率項n從只有正頻率項(c)三角級數中，要計算出和才能代表諧波的幅度和相位，只需計算一次因為計算出的是複數，它既有模又有相位所以比較方便193(4)兩者係數的關係例1：已知x(t)是一個週期性的鋸齒波如圖試求其付裏葉級數t1/2-1/20194幅譜圖-2-1012195§4.4波形的對稱性和付裏葉級數196§4.5週期信號的頻譜一、頻譜的意義和特點綜合分析1971981991）離散性：是一根根離散的線譜2）諧波性：（一根線就代表一次諧波的1/2）每根線所在的位置是處於各諧波處3）收斂性：隨著n的增大，譜線的幅度愈來愈降低，對於高次諧波它的幅度幾乎為零4）幅譜是n的偶函數對稱於縱軸，而相譜則是的奇函數而200即相譜對來說是奇函數，二、週期方波的頻譜分析1、頻譜分析x(t)t對稱於原點。A201P1134-50式改寫一下202畫出其頻譜圖如右2031）幅度當當n=0時當n=1時當n=2時204當n=n時隨著n的增大，其包絡是按的規律在變化此時叫做抽樣函數，是非常重要的2）間隔一個間隔就等於一個基波週期函數2053）節點即的分子時當時206特點：2072082092102112122132143、關於相譜問題4、頻帶寬度問題~215§4.7非週期信號的付裏葉變換一、公式的推導週期信號的付裏葉級數使週期信號非週期化216217推導反變換公式218不同點：219三、常用信號的付裏葉變換例1、單邊指數信號220221例2、門函數A0比較單個脈衝的頻譜與週期信號的頻譜，我們可以看到2221)頻譜的形狀是相同的，都是按的規律變化2)它們的節點一樣都是只與脈衝寬度有關3)它們的信號頻帶可以定義為一樣，即4)它們的幅頻譜都是頻率的偶函數，相譜是頻率的奇函數不同點：(1)週期信號為離散線譜，而非週期信號為連續的帶譜223(2)週期方波的最大幅度是例3、求單位沖激函數，的頻譜解：0t1224例4、已知求x(t)=?解：0t10225§4.8付裏葉級數與付裏葉變換的關係狄裏赫利條件就是(1)x(t)絕對可積，即(2)在任何有限區間內，x(t)只有有限個極大值和極小值226(3)在任何有限區間內，x(t)不連續點個數有限，而且在不連續點處x(t)的值是有限的解：227週期信號的付氏變換公式，特點就是有的存在…………228229230§4.9連續時間付裏葉變換的性質1)線性性質說明我們研究的是線性變換2)共軛對稱性231可見其實部是頻率的偶函數其虛部是頻率的奇函數232(1)當x(t)為一般實函數時，3)時移性質證：233注意：幅譜不變、相譜變化例如2344)尺度變換性質2352362372385）反轉性質239例：畫出調製信號的頻譜調製波信號2407)對偶性質例2418)函數下的面積2422439)時域微分性質同理可證明例2、求三角脈衝的付裏葉變換式244步驟：1）先把f(t)連續求導，使全部出現沖擊為止24510)頻域微分性質它說明信號在頻域中對頻譜函數求導，等效於在時域中用-jt去乘它的時間函數同理例或24611)時域卷積定理求三角脈衝的頻譜函數247=.=24812)頻域卷積定理例1、已知 求249例2、解調，把 求相乘相乘低濾x(t)r(t)g(t)解：250wwww002)(-AR時間信號x(t)251為此解調的過程可以寫為H(ω)13)時域積分TimeIntegrantion時域的微分相當於頻域乘上jω時域的積分相當於頻域除上jω，並且後面多了一項252例3、求斜變信號的頻譜Y(ω)=?

解：25314)頻域積分254§4.10週期信號的功率譜、非週期信號的能量頻譜、帕塞瓦爾定理1、週期信號的功率譜255

週期信號的帕塞瓦爾定理，時域的功率之和與頻域的功率之和是恒等的。p2、能量頻譜 一個非週期信號的時域能量公式為256就稱為非週期信號的能量公式3、能量密度函數能譜G(ω)定義為以角頻率ω為中心的單位頻帶中的信號能量。 257258第四章小結1週期信號的傅立葉級數表示；2週期信號的頻譜及特點，常用信號的頻譜；3非週期信號的傅立葉變換及常用變換對；4傅立葉變換與傅立葉級數的關係，週期信號的傅立葉變換；5傅立葉變換的性質及應用。259第四章作業3(2)、6、11(a)、24、25(a,b,c)、27(a,b)、29260第五章離散時間付裏葉變換

離散時間信號的譜分析261

§5.1引言本章主要內容1、抽樣定理連續離散連續抽樣內插2、週期序列的離散傅立葉級數:DFS

非週期序列的離散時間傅立葉變換:DTFT離散傅立葉變換:DFT262

§5.2

抽樣定理

一、定理：如果x(t)的帶寬是有限的,即當時X(ω)=0，則此信號可以由均勻間隔的採樣值唯一地確定.二個要點:1.信號的帶寬必須有限. 2.採樣的時間間隔或263二、計算264265從上圖可以看到,

已知266可見必然包含了X()的頻譜，只不過幅度乘以267三、抽樣頻率的選擇為使兩個波形不重疊,必須 即而抽樣時間即要求結論:1、抽樣頻率必須大於信號最高頻率的 兩倍,

以上的頻率叫做奈奎斯特頻率。2682、抽樣時間必須小於,又叫奈奎斯特時間。四、如何由恢復出

X(t)

設低通濾波器的頻響為H(j)=

H(j)H(ω)269樣本函數 內插抽樣函數270結論:經過低通濾波器以後,無窮多個抽樣函數的疊加,其包絡就是原始信號

X(t)。0271§5.3週期離散時間信號的表示,

離散傅立葉級數一、離散傅立葉級數的表示式連續與離散信號的比較連續信號離散信號1.週期性x(t+T)=x(t)1.x[n+N]=x[n]N為週期性2.基準信號2.

取當為有理數時才是n的周期序列2723.複指數序列

無限多個獨立的複指數函數

3.

只有N個複指數序列是獨立的

是以2π為週期

4.分析公式

5.綜合公式2736.頻譜特點1)

是離散的諧波的收斂的,不是週期的1)

是離散的週期的，它是一個以N為週期的函數即和2742)從綜合公式可以看到無窮多項可以綜合出原來的時間信號，並且此級數必須是收斂的，所以有收斂性問題。2)只需用有限項之和可以綜合出原來的序列信號，所以沒有收斂性問題。275例1:已知，求頻譜係數？

當為一個有理數時，是週期的。當為一個無理數時(如），則就不是週期的。解:276a)當是一個整數N時是一個基波頻率為的週期序列-10+146277b)當時，即時與比較後可得以m=3N=5為例可以得到278又N=5

它的頻譜圖為-4-3-2-101234567894kN279二、離散付裏葉級數其頻譜的特點：離散、週期、無收斂性問題！以離散的週期波為例x[n]n-NN01280書上例(6-3)已經給出其付裏葉級數的結果設N=9,N1=2N為基本週期在連續系統中，可以用1次，1+3次，1+3+5次諧波疊加出方波波形。在離散系統中，當M=1,2,3,4時，請大家看P291的波形281999M=1M=2M=3n00282可見N=9週期不變，譜線的間隔不變，M的變化只說明參加疊加項數的增加當M=4時，2M+1=9則與x(n)一樣。說明只要M=4就可以綜合出原信號x[n],而不需要無窮多項，因此也沒有收斂性問題，它肯定收斂。9M=4n283§5.4非週期離散時間信號的表示

離散時間傅立葉變換

284相同的道理：一個週期為N，寬度為的複指數信號。x(n)0n當N

大時0n285和與連續時間情況一樣定義的包絡為則286定義則①②③④2πx(n)

Ω

Ω

dΩ287一個非週期序列可以表示為一組複指數序列的連續和，每一個複指數序列的幅度為無窮小量，但正比於X(Ω)。∴X(Ω)

仍表示它的頻譜密度,不過此頻譜是連續的，週期的，頻譜週期為2882、連續付裏葉變換與離散時間付裏葉變換的差別對比連續離散1)是否週期性X(ω)非週期X(Ω)是週期的，週期為2)從綜合公式來看從在一個週期2π內積分

3)從X(ω)和X(Ω)的連續與否X(ω)連續連續包絡也是連續離散2894)X(ω)有可否存在的問題，一般要求滿足絕對可積條件（必要不是充要條件）週期級數無收斂性此為在2π區間內∴無收斂問題2903收斂性

週期序列的付裏葉級數，因為在一個週期內只有有限個值，用綜合公式x(n)時沒有收斂性的問題，它是在N的區間內求和，只要取到N個的區間就必然絕對可和，可以綜合出x(n)，以上是對周期序列而言。對於非週期序列：如果序列的長度有限，不存在收斂問題。如果序列的長度無限，則必須滿足序列絕對可和的條件，即<∞291§5.5離散付裏葉級數和離散時間付裏葉變換的關係1、非週期序列的付裏葉變換的表示式-TT

τ0t當T∞0tω292-NNnnΩΩ2π2π

π00當N∞293連續離散線譜連續線譜離散離散連續294四種頻譜分析295四種頻譜分析2962、非週期序列付裏葉變換的特點①與連續信號相比：信號離散化，頻譜週期化。

N為週期，為基頻。②與離散的週期信號相比：求和區間在N之內和在無窮區間內。∴頻譜連續。297問題：與比其頻譜為什麼是週期的？ 它與連續的非週期信號離散化的結果必使頻譜週期化。問題：與比為什麼它的頻譜是連續的？信號從週期變到非週期，頻譜從離散到連續，這也是一條不變的準則。298結論：非週期序列離散付裏葉級數的頻譜是連續的、週期的，其週期為2π。注意Ω的週期是2π，單位是弧度/次， 自動滿足絕對可和的條件<∞,所以它也不存在收斂問題。但是我們在實際應用中仍嫌不夠，為什麼？一個有限長的非週期序列，它的頻譜是連續的，我們在用電腦進行處理時，都需要處理離散的數字信號，為此我們必須瞭解另外一種信號的變換，這就叫做離散付裏葉變換。299§5.6

離散付裏葉變換(DFT)1、DFT的引入週期離散時間信號的DFS離散週期非週期離散時間信號的付裏葉變換連續週期有限長非週期的付裏葉變換離散付裏葉變換

DFT 它的特點：頻譜必須是離散的，可以只取它的一個週期，那麼如何構造出這樣的變換呢？如何保持輸入的x(n)是有限長，而得到的回應也是一個離散的並有限長的回應。3002、DFT的形成 設已經給了我們有限長序列x(n)x(n)nnN-1N-1N第一步把x(n)作週期開拓，它變為一個周期信號開拓後的週期選為N，他只要比x(n)和回應y(n)的持續期長一些即可301第二步：對週期序列求它的DFS離散付裏葉級數，則有則有取的一個周期k=0,1,2…N-1k=0,1,2…N-1

以上一組係數就構成了x(n)的DFT離散付裏葉正變換，叫做有限長序列x(n)的離散付裏葉變換(DFT),X(k)叫做N點的DFT302第三步：把X(k)進行反變換，就是週期離散序列取其一個週期，即為x[n]n=0,1,2,…N-1n=0,1,2,…N-1k=0,1,2,…N-1以上，首先把有限長序列開拓成週期序列求DFS,再求其一個週期的離散付裏葉變換值X(k)，然後對其求反變換，應當也是一個週期序列，再取一303個週期的值，這樣就保證了輸入信號是非週期的有限長序列，而回應是離散的序列，以上有二點要注意：以上的區間叫主值區間，N取的比相應y(n)的區間大一些，另一點X(k)取的N個點，X(k)為N

點離散付裏葉變換。離散付裏葉變換離散付裏葉級數離散時間付裏葉變換有限長序列、離散線譜、取N的區間週期序列、離散線譜、週期非週期序列、連續帶譜、週期3043、重要性1）在時域和頻域都以離散的形式進行分析和綜合運算2）它具有快速有效的FFT演算法4、計算舉例n=0,1,2…N-1k=0,1,2…N-1305解為，則306例1、求矩形脈衝序列 的DFT?0123n1為N=4個點的矩形脈衝有定義式以k=0,1,2,3代入上式可得設N=4307X(0)=1 X(1)=0 X(2)=0 X(3)=0∴X(k)=δ(k)另一方法：308309例2、利用上面的矩陣表示式，求X(k)={1,0,0,0}的反變換。解：當N=4時310這就是前面的x(n)方波N=4的序列∴證明前面計算的DFT是正確的。311

§5.7離散時間付裏葉變換的性質DFS,DFT,DTFT的性質匯總於表6.1~6.3中1、週期性：對Ω總是週期的，其週期為2π，同理 也是週期的，其頻率週期為2π∴離散序列週期頻域3122、線性性質：

和為兩個常數，則3、共軛對稱性①X(Ω)是複數②如x(n)是一個實數序列，則

實部為Ω

的偶函數 虛部為Ω

的奇函數 313離散時間信號頻譜的實部和頻譜的模是Ω的偶函數，虛部和它的相位是Ω的奇函數，X(Ω)的模是Ω的偶函數，而X(Ω)的相位是Ω的奇函數。④4、位移性①連續：如314②若則序域位移相當於頻域增加相移項③DFS:④DFT:5、頻移性若 則在DFS中也有類似的性質，即若 則3156、時域差分連續說明在時域中求一項差分等效於在頻域中用去乘它的頻譜7、時域求和若且則316這是因為時域求和相當於頻域乘以317例：求單位階躍序列y(n)=u(n)的頻譜解：根據上面的求和公式=1318

8、反轉性質若 連續系統是：則在DFS中有：若 則同理：若 則 9、尺度變換性質若設法定義x(at)：在連續系統是319則

n是k的倍數

n不是k的倍數

就是即擴展k倍，在x(n)的值中間插入(k-1)個零而得到的，可以看作是減慢了的x(n)320例如x(n)如圖，則為中間插入兩個點

00213-1-2-3-3-636nn相當於3211n1n1n50-ππ055322當k>1時，相當於在時域展寬了，為此在頻域就壓縮了，x(n)的頻譜X()是週期的，其週期為2，則的頻譜X(k)也是週期的，其週期為它表示了時寬與頻寬成反比的規律在離散時間系統也是同樣適用的。10、頻域微分在連續系統中是一樣的。32311、帕色伐爾定理12、時域卷積定理它說明時域中兩序列的卷積等效於頻域之中兩個序列離散時間付裏葉變換的乘積。324為此求非週期序列通過離散系統求回應時

h(n)H(Ω)﹡例如：已知一個LTI系統325解：326

用以上付裏葉變換法只有在系統滿足穩定條件下才能進行。它保證了付裏葉變換收斂13、頻域卷積定理及其應用與連續時間系統是對應的。327頻譜相卷積、即時域中的乘積運算等效於頻域中的卷積運算。主要運用就是調製上面，所謂調製就是一個信號的幅度受另一個信號的牽制，亦即時間域（或序域）的幅度相乘相當於頻域的卷積。14、週期卷積定理不適用兩個都是週期序列的情況。因為它得不到一個穩定的週期解。信號的週期都相同的時候就形成了圓周卷積。328兩週期序列的週期卷積對應著週期離散付裏葉級數乘N

倍。用途最廣的在於兩個DFT的有限長序列的卷積。329第五章小結1抽樣定理，抽樣信號頻譜的特點；2週期離散時間信號的傅立葉級數DFS；3非週期離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）；4離散傅立葉變換DFT；5DFS、DTFT、DFT的性質。330作業1（a,c,e,g)，5，9(a,c)，11(a,b)，12(a,c)，15離散時間系統的頻域分析第八章Z變換§8.1引言§8.2Z變換及收斂域§8.3Z變換的性質§8.4常用序列的Z變換表§8.5反Z變換§8.1引言，§8.2Z變換及收斂域一、引言時域變換域連續：微分方程 卷積積分離散：差分方程 卷積和付裏葉變換、拉氏變換離散付裏葉變換Z變換二、z變數和s變數之間的關係三、Z變換的定義式提問？拉氏變換式

單邊Z變換雙邊Z變換四、收斂域及其性質在拉氏變換中討論收斂域僅與σ有關，與ω無關。在Z變換中，影響收斂域的主要是r，而與Ω無關。例1、設①先求右邊序列的Z變換：要想使它收斂，即它的收斂域為半徑為的圓以外，∴右邊序列對應的是一個內邊界。②再求左邊序列∴對應於左邊序列，其收斂域是一個外邊界。③對此雙邊信號，其

右邊信號內邊界>圓外左邊信號外邊界<圓內雙邊信號可能存在、可能不存在。對雙邊信號，上例中，對右邊信號，收斂域為內邊界，對左邊信號，收斂域為外邊界，收斂域的性質性質1：x(z)的Roc，在Ｚ平面內是以原點為中心的圓環。性質2：Roc內不包含任何極點，顯而易見。性質3：若x(n)是有限持續期序列，則Roc為整個

Z平面。(z=0和z=∞可能不包含在內）性質4：若x(n)為一雙邊序列，且的圓位於

Roc內，則該Roc一定是由包括的圓環所組成。§8.4常用序列的Z變換

P414的表同一個F(z)不同的收斂域，則有不同的序列函數§8.3Z變換的性質1、線性性質

表示：相交的部分，但不一定變小，亦可能擴大。例1、求序列的Z變換。解：可見，線性疊加以後零極點抵消，收斂域從擴大到全平面。2、時移性質如果則（原點或無窮遠點可能增加或者除掉）3、Z域的尺度變換和頻移定理Z域中，時域被一個複指數函數相乘之後相當於Z域的全部極點旋轉一個角度例1、解：則可以得到其收斂域為右邊序列，即顯然結果與列表相同。4、時間反轉性質5、卷積定理如果他們的零極點相抵消的話，則收斂域可能進一步擴大。例：求下列兩單邊指數序列的卷積解：6、Z域微分

例：如果求解:應用微分性質7、初值和終值定理若n<0x(n)=0,則序列的初值為：終值定理：若n<0x(n)=0，則序列的終值為：從以上可見要想是x(∞)存在，要求X(Z)的收斂域包括單位圓。8、單邊Z變換的性質（時移性質）在雙邊的情況下：,而在單邊情況下①右移序列當m=1，2的情況下當x(n)為因果序列時，即n<0、x(n)=0，則上面①式的第二項為零，因此右移序列的單邊Ｚ變換和雙邊Ｚ變換相同。②

超前序列當m=1和2時，可寫成為此經常用到的是以下二種情況下的時移性質：例：求週期序列的Z變換

則方括號內的幾何級數收斂，它等於把以上的所有性質列於表8.1中P413§8.5Z反變換1、冪級數展開法——長除法例1、寫成通式：優點：方便迅速，缺點：只能寫出前幾項的系數不易得到通項。2、部分分式展開法拉氏變換的基本形式是，而Z變換中的基本形式是例1、將展成部分分式解：可見用部分分式法與冪級數展開法比較結果一樣。例2、設有X(z)為解：a.當收斂域Roc位於最外層極點的外邊∴x(n)必然是一個右邊序列。b.當上面的例子Roc變成時，求c.當上面的例子Roc變成時，求三、曲線積分法——留數法 根據複變函數的留數定理

X(z)的反變換x(n)為：曲線c的選擇應保證收斂域（即包含所有的極點），以原點為中心，以r為半徑的圓。亦就是用各極點的留數來計算例1、對用留數法進行計算解：§8.6Z變換分析法在連續系統中可以把微分方程代數方程拉氏變換在離散系統中可以把差分方程代數方程Z變換可見用三種方法計算的結果一樣。用Z變換法求離散時間系統的回應，亦可以分為零輸入和零狀態兩種，它們分開求亦可以和在一起求。一、求零輸入回應例如一個二階齊次差分方程兩邊進行Z變換得可以看出：分母是差分方程的特徵方程，分子是系統的初始條件，初始條件代入就得到零輸入回應。例、二、零狀態回應

1、H(z)的求法而h[k]是系統在輸入為的情況下的零狀態回應設差分方程兩邊Z變換由於是零狀態三、用Z變換法求解零狀態回應例1、一離散系統的差分方程為若激勵起始值y(-1)=0求回應y(n)解：初始條件y(-1)=0極點位於z=a

和z=b兩邊進行Z變換例2、對上述的差分方程，若激勵不變，但起始值不等於零，而y(-1)=2求：系統的完全回應y(n)解：此時的回應為零輸入回應與零狀態回應之和總結以上Z變換分析法1、記住Z變換的時移性質。2、記住常用函數的Z變換表示式3、熟練部分分式法§8.7離散時間系統的系統函數

一、系統函數H(z)的定義都是反映系統特性的物理量二、H(z)的求法

1、從差分方程求 例如一個LTI系統的差分方程2、從系統的模擬圖求H(z)

a頻域模擬圖2、從時域模擬圖來求D三、系統的穩定性與因果性

1、h[n]和H(z)都反映了系統的固有特性。

2、h[n]代表因果系統時，必須h(n)=0當n<0時 或，即h(n)是一個右邊序 列，為此其H(z)的收斂域極點以外，就得保證h[n]是因果的。3、當h[n]代表一個穩定系統時，必須 絕對可和。亦就是h[n]必須是一個衰減函數，為此

a必然小於1，則H(z)的極點都在單位圓內4、當系統又因果又穩定時，則H(z)的極點全在單位圓內且收斂域包含單位圓。1§8.9Z變換和拉氏變換的關係

1、z變數與s變數的關係為對應關係：s平面z平面1）原點σ=0，ω=0r=1，Ω=0,z=12）虛軸σ=0，a點

ω為任意的數值單位圓上3）左半平面σ<0，c點單位圓內4）右半平面σ>0b點r>1單位圓外5）實軸ω=0正實軸Ω=0

圖示cdebab16）d,c,e各點之間有相同的實部，頻率間隔對應於Z平面是同一個點。 虛軸代表單位圓，左平面是單位圓內，右平面是單位圓外2、X(s)與X(z)的關係 拉氏變換公式第八章小結1z變換、收斂域及性質；2z反變換、常用z變換對；3單邊z變換及性質（時移性質：延時，超前）4z變換分析法、系統函數；5z變換與拉普拉斯的關係。作業：1(a,c,e)、2(a,b,c)、3、6(a,b)、7、17、18(a,b)、20、21、34387系統的狀態變數分析第九章連續時間與離散時間388§9.1引言

輸入——輸出法h(t)1）輸入—輸出法只適用於線性時不變系統，對於時變和非線性系統是不適用的。2）