四川省凉山彝族自治州2024届数学高二下期末质量跟踪监视模拟试题含解析

四川省凉山彝族自治州2024届数学高二下期末质量跟踪监视模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数的虚部为（）A． B． C． D．2．设a，b均为正实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．设为虚数单位，复数为纯虚数，则（）．A．2 B．-2 C． D．4．已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知函数f(x)=lnx+ln(a-x)的图象关于直线A．0 B．1 C．lna D．6．在用数学归纳法证明:“凸多边形内角和为”时，第一步验证的等于（）A．1 B．3 C．5 D．77．下面四个命题：：命题“”的否定是“”；:向量，则是的充分且必要条件；：“在中，若，则“”的逆否命题是“在中，若，则“”；：若“”是假命题，则是假命题.其中为真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，，分别是边长为4的等边的中线，圆是的内切圆，线段与圆交于点.在中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（）A． B． C． D．9．在上可导的函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为（）A． B． C． D．10．六位同学排成一排，其中甲和乙两位同学相邻的排法有（）A．60种 B．120种 C．240种 D．480种11．的展开式存在常数项，则正整数的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．1412．已知函数的值域是，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，已知正方体，,E为棱的中点，则与平面所成角为_____________.（结果用反三角表示）14．若不等式有且只有1个正整数解，则实数a的取值范围是______.15．将参数方程（为参数）化成普通方程为__________.16．已知关于的不等式的解集为，则实数______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，，，的对边分别为，，，若，（1）求的大小；（2）若，，求，的值.18．（12分）小王每天自己开车上班，他在路上所用的时间（分钟）与道路的拥堵情况有关.小王在一年中随机记录了200次上班在路上所用的时间，其频数统计如下表，用频率近似代替概率.（分钟）15202530频数（次）50506040（Ⅰ）求小王上班在路上所用时间的数学期望；（Ⅱ）若小王一周上班5天，每天的道路拥堵情况彼此独立，设一周内上班在路上所用时间不超过的天数为，求的分布列及数学期望.19．（12分）实数m取什么数值时，复数分别是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？20．（12分）已知函数的导函数为，的图象在点处的切线方程为，且.（1）求函数的解析式；（2）若对任意的：，存在零点，求的取值范围.21．（12分）求证：.22．（10分）如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为中点.求证：平面平面；若，求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

先由题意得到，进而可求出结果.【题目详解】由题意可得：，所以虚部为.故选C【题目点拨】本题主要考查复数的应用，熟记复数的概念即可，属于常考题型.2、A【解题分析】

确定两个命题和的真假可得．【题目详解】∵a，b均为正实数，若，则，命题为真；若，满足，但，故为假命题．因此“”是“”的充分不必要条件．故选：A.【题目点拨】本题考查充分必要条件的判断．解题时必须根据定义确定命题和的真假．也可与集合包含关系联系．3、D【解题分析】

整理得：，由复数为纯虚数列方程即可得解．【题目详解】因为又它是纯虚数，所以，解得：故选D【题目点拨】本题主要考查了复数的除法运算，还考查了复数的相关概念，考查方程思想，属于基础题．4、A【解题分析】

先将函数有零点，转化为对应方程有实根，构造函数，对函数求导，利用导数方法判断函数单调性，再结合图像，即可求出结果.【题目详解】由得，令，则，设，则，由得；由得，所以在上单调递减，在上单调递增；因此，所以在上恒成立；所以，由得；由得；因此，在上单调递减，在上单调递增；所以；又当时，，，作出函数图像如下：因为函数恰有两个零点，所以与有两不同交点，由图像可得：实数的取值范围是.故选A【题目点拨】本题主要考查函数零点以及导数应用，通常需要将函数零点转化为两函数交点来处理，通过对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性、最值等，根据数形结合的思想求解，属于常考题型.5、A【解题分析】

利用对称列方程解得a，从而求出f(1)。【题目详解】由题意得x1+xf所以f(x)=lnx+【题目点拨】本题主要考查了函数对称轴的问题，即在函数上任意两点x1,x2关于直线6、B【解题分析】

多边形的边数最少是，即三角形，即可得解；【题目详解】解：依题意，因为多边形的边数最少是，即三角形，用数学归纳法证明:“凸多边形内角和为”时，第一步验证的等于时，是否成立，故选：【题目点拨】本题主要考查数学归纳法的基本原理，属于简单题.用数学归纳法证明结论成立时，需要验证时成立，然后假设假设时命题成立，证明时命题也成立即可，对于第一步，要确定，其实就是确定是结论成立的最小的.7、B【解题分析】

根据全称命题的否定是特称命题判断；根据向量垂直的坐标表示判断；根据逆否命题的定义判断；由且命题的性质判断.【题目详解】：命题“”的否定是“”，不正确；:的充分且必要条件是等价于,即为，正确；：由逆否命题的定义可知，“在中，若，则“”的逆否命题是“在中，若，则“”，正确；：若“”是假命题，则是假命题或是假命题，不正确.所以，真命题的个数是2，故选B.【题目点拨】本题通过对多个命题真假的判断，主要综合考查全称命题的否定、向量垂直的充要条件、逆否命题的定义、“且”命题的性质，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.8、A【解题分析】

利用等边三角形中心的性质，求得内切圆的半径和阴影部分面积，再根据几何概型计算公式计算出所求的概率.【题目详解】在中，，，因为，所以，即圆的半径为，由此可得图中阴影部分的面积等于，的面积为，故所求概率.故选A.【题目点拨】本题考查几何概型问题，考查数据处理能力和应用意识.属于中档题.9、B【解题分析】

分别讨论三种情况，然后求并集得到答案.【题目详解】当时：函数单调递增，根据图形知：或当时：不成立当时：函数单调递减根据图形知：综上所述：故答案选B【题目点拨】本题考查了根据图像判断函数的单调性，意在考查学生的读图能力.10、C【解题分析】分析：直接利用捆绑法求解.详解：把甲和乙捆绑在一起，有种方法，再把六个同学看成5个整体进行排列，有种方法，由乘法分步原理得甲和乙两位同学相邻的排法有种.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查排列组合的应用，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)遇到相邻问题，常用捆绑法，先把相邻元素捆绑在一起，再进行排列.11、C【解题分析】

化简二项式展开式的通项公式，令的指数为零，根据为正整数，求得的最小值.【题目详解】，令，则，当时，有最小值为7.故选C.【题目点拨】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查与正整数有关问题，属于基础题.12、C【解题分析】

函数在时取得最大值,在或时得,结合二次函数图象性质可得的取值范围.【题目详解】二次函数的图象是开口向下的抛物线.最大值为，且在时取得，而当或时，.结合函数图象可知的取值范围是．故选:C．【题目点拨】本题考查二次函数的图像和性质,考查数形结合思想的应用,属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

作出辅助线，由题意首先找到AE与平面所成角，然后结合几何关系求解线面角的大小即可.【题目详解】如图所示，连结BE,由题意可知：，∵AB⊥平面B1BCC1,∴∠AEB是AE与平面B1BCC1所成的角，，.故答案为：．【题目点拨】本题主要考查线面角的计算，空间几何体中的线面关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14、【解题分析】

令（），求出，由导数研究函数的单调性，可得唯一的正整数解是什么，从而得出的范围．【题目详解】令（），则.当时，由得；由得；所以在单调递增，在单调递减，不合题意，舍去；当时，有，显然不成立；当时，由得；由得；所以在单调递减，在单调递增，依题意，需解得，故实数a的取值范围是.【题目点拨】本题考查不等式的正整数解，实质考查用导数研究函数的单调性．掌握用导数研究函数单调性的方法是解题关键．15、.【解题分析】

在参数方程中利用加减消元法或代入消元法消去参数，可将参数方程化为普通方程.【题目详解】由得，两式相加得，即，因此，将参数方程（为参数）化成普通方程为，故答案为.【题目点拨】本题考查参数方程与普通方程的互化，将直线的参数方程化普通方程，常见的有代入消元法和加减消元法，考查计算能力，属于基础题.16、【解题分析】

因为，可得，根据根据关于的不等式的解集为，可得，分别讨论和不等式解情况，即可求得答案.【题目详解】根据关于的不等式的解集为可得解得：①，故不合符题意，舍去.②综上所述，.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了根本绝对值不等式解情况求参数值，解题关键是掌握将绝对值不等式解法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2），或，.【解题分析】分析：（1）利用正弦定理把化成，即为，从而解得.（2）利用余弦定理及构建关于的方程，解出.详解：（1）由已知得，∴.∵，∴.∵，所以，∴，所以（2）∵，即，∴∴，又∵，∴，或，点睛：三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.18、(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析.【解题分析】分析：（Ⅰ）先由题得到x=15,20,25,30，再求出其对应的概率，最后得到X的分布列和期望.（Ⅱ）利用二项分布求的分布列及数学期望.详解：（Ⅰ），，，，的分布列为15202530所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，每天上班在路上所用时间不超过的概率为，依题意，，分布列为，，012345.点睛：（1）本题主要考查随机变量的分布列和数学期望，考查二项分布，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)若～则利用该公式可以提高计算效率.19、（1）；（2）；（3）.【解题分析】本试题主要是考查了复数的概念的运用．先求解实数和虚数以及纯虚数的前提下各个参数m的取值问题．注意虚数虚部不为零，虚部为零是实数，实部为零，虚部不为零是纯虚数，因此可知结论．解：(1)当，即时，复数z是实数；……4分(2)当，即时，复数z是虚数；……8分(3)当，且时，即时，复数z是纯虚数.…12分20、（1）（2）【解题分析】

（1）根据切线、函数值、导数值计算解析式；（2）计算出在时的值域，再根据求解出的范围.【题目详解】解：（1）∵，∴，，∵，∴，①∵的图象在点处的切线方程为，∴当时，，且切线斜率，则，②.，③，联立解得，，，即；（2）当时，当时，当时，又，，，.所以因为对任意的，存在零点，所以，即，所以【题目点拨】对于形如的函数零点问题，可将其转化为的方程根的问题，或者也可以利用与的函数图象交点来解决问题.21、见解析.【解题分析】分析：直接利用组合数的公式计算证明.====.点睛：（1）本题主要考查组合数的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)组合数公式：===(∈，，且)这里两个公式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算22、证明见解析；.【解题分析