2024届陕西省西安市第四十六中学高二数学第二学期期末考试试题含解析

2024届陕西省西安市第四十六中学高二数学第二学期期末考试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．平面内有两个定点和，动点满足，则动点的轨迹方程是（）．A． B．C． D．2．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=A． B． C．2 D．33．已知随机变量Xi满足P(Xi=1)=pA．E(X1B．E(X1C．E(X1D．E(X14．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为()A．(－1,4) B．(－2,0) C．(－1,0) D．(－1,2)5．等差数列{}中，，则前10项和()A．5 B．25 C．50 D．1006．正边长为2，点是所在平面内一点，且满足，若，则的最小值是（）A． B． C． D．7．在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，若曲线与的关系为（）A．外离 B．相交 C．相切 D．内含8．已知复数满足，则共轭复数()A． B． C． D．9．已知复数且，则的范围为（）A． B．C． D．10．曲线的参数方程是(是参数,),它的普通方程是(

)A． B．C． D．11．在极坐标系中，由三条直线，，围成的图形的面积为（）A． B． C． D．12．函数的图象在点处的切线方程为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若展开式的二项式系数之和为，则________14．将集合中所有的数按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形表:则该数表中，从小到大第50个数为__________．15．已知函数的零点，则整数的值为______.16．设，则二项式的展开式的常数项是.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆经过点离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，为椭圆的左焦点，若，求直线的方程．18．（12分）近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（，简称）是定量描述空气质量状况的指数.环保部门记录了某地区7天的空气质量指数，其中，有4天空气质量为优，有2天空气质量为良，有1天空气质量为轻度污染.现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究.（I）求抽取的3天中至少有一天空气质量为良的概率；（Ⅱ）用表示抽取的3天中空气质量为优的天数，求随机变量的分布列和数学期望.19．（12分）某市交通管理有关部门对年参加驾照考试的岁以下的学员随机抽取名学员，对他们的科目三（道路驾驶）和科目四（安全文明相关知识）进行两轮测试，并把两轮成绩的平均分作为该学员的抽测成绩，记录数据如下：学员编号科目三成绩科目四成绩（1）从年参加驾照考试的岁以下学员中随机抽取一名学员，估计这名学员抽测成绩大于或等于分的概率；（2）根据规定，科目三和科目四测试成绩均达到分以上（含分）才算合格，从抽测的到号学员中任意抽取两名学员，记为抽取学员不合格的人数，求的分布列和数学期望．20．（12分）已知椭圆:的离心率，过椭圆的上顶点和右顶点的直线与原点的距离为，（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线经过椭圆左焦点与椭圆交于,两点，使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在,求出直线方程；若不存在,请说明理由.21．（12分）已知，p：；q：不等式对任意实数x恒成立.（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；（2）如果“”为真命题，且“”为假命题，求实数m的取值范围.22．（10分）已知函数.（Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）求证：当时，函数的图像与函数的图像在区间上没有交点.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

由已知条件知，点的运动轨迹是以，为焦点的双曲线右支，从而写出轨迹的方程即可.【题目详解】解：由可知，点的运动轨迹是以，为焦点的双曲线右支，，，，.所以动点的轨迹方程是.故选：D.【题目点拨】本题考查双曲线的定义，求双曲线的标准方程，属于基础题.2、D【解题分析】

由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！3、C【解题分析】

根据题目已知条件写出X1,【题目详解】依题意可知：X01P1-pX01P1-p由于12<p1<p2<1，不妨设【题目点拨】本小题主要考查随机变量分布列期望和方差的计算，考查分析与阅读理解能力，属于中档题.4、A【解题分析】

根据函数的奇偶性和周期性将条件进行转化，利用不等式的解法即可得到结论．【题目详解】∵f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，∴f（5）=f（5﹣6）=f（﹣1）=f（1），∴由f（1）＜1，f（5）=，得f（5）=＜1，即﹣1＜0，＜0，即（a﹣4）（a+1）＜0，解得：﹣1＜a＜4，故选：A．【题目点拨】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键．5、B【解题分析】试题分析：因为.考点：等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质．点评：等差数列的性质之一：若,则．6、A【解题分析】分析：建立直角坐标系后求出各点坐标，用坐标表示详解：如图：以为原点，所在直线为轴，过点垂直于为轴则，，设，则点轨迹为由可得：故当时，故选点睛：本题主要考查的是平面向量的基本定理．设不共线的两个向量为基底，求参量和的最值，本题的解法较多，可以通过建立空间直角坐标系，求交点坐标建立数量关系，也可以用等和线来解．7、B【解题分析】

将两曲线方程化为普通方程，可得知两曲线均为圆，计算出两圆圆心距，并将圆心距与两圆半径差的绝对值和两半径之和进行大小比较，可得出两曲线的位置关系.【题目详解】在曲线的极坐标方程两边同时乘以，得，化为普通方程得，即，则曲线是以点为圆心，以为半径的圆，同理可知，曲线的普通方程为，则曲线是以点为圆心，以为半径的圆，两圆圆心距为，，，，因此，曲线与相交，故选：B.【题目点拨】本题考查两圆位置关系的判断，考查曲线极坐标方程与普通方程的互化，对于这类问题，通常将圆的方程化为标准方程，利用两圆圆心距与半径和差的大小关系来得出两圆的位置关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8、D【解题分析】

先利用复数的乘法将复数表示为一般形式，然后利用共轭复数的定义得出.【题目详解】，因此，，故选D.【题目点拨】本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，解复数相关的问题，首先利用复数四则运算性质将复数表示为一般形式，然后针对实部和虚部求解，考查计算能力，属于基础题．9、C【解题分析】

转化为，设，即直线和圆有公共点，联立，即得解.【题目详解】由于设联立：由于直线和圆有公共点，故的范围为故选：C【题目点拨】本题考查了直线和圆，复数综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.10、B【解题分析】

将曲线的参数方程利用代入法消去参数，即可得到它的普通方程.【题目详解】由,得,故,又,,故,因此所求的普通方程为，故选B.【题目点拨】本题考查参数方程和普通方程的转化，属于简单题.消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法.11、B【解题分析】

求出直线与直线交点的极坐标，直线与直线交点的极坐标，然后利用三角形的面积公式可得出结果.【题目详解】设直线与直线交点的极坐标，则，得.设直线与直线交点的极坐标，则，即，得.因此，三条直线所围成的三角形的面积为，故选：B.【题目点拨】本题考查极坐标系中三角形面积的计算，主要确定出交点的极坐标，并利用三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.12、C【解题分析】f′(x)＝，则f′(1)＝1，故函数f(x)在点(1，－2)处的切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.故选C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据二项展开式二项式系数和为可构造方程求得结果.【题目详解】展开式的二项式系数和为：，解得：本题正确结果：【题目点拨】本题考查二项展开式的二项式系数和的应用，属于基础题.14、1040【解题分析】用表示，下表的规律为：…，则第行的第个数，，故答案为.【方法点睛】本题归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.15、3【解题分析】

根据函数单调性可知若存在零点则零点唯一，由零点存在定理可判断出零点所在区间，从而求得结果.【题目详解】由题意知：在上单调递增若存在零点，则存在唯一一个零点又，由零点存在定理可知：，则本题正确结果：【题目点拨】本题考查零点存在定理的应用，属于基础题.16、6【解题分析】试题分析：设第项为常数项，则，令可得故答案为6考点：二项式定理三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）或．【解题分析】

（Ⅰ）由题中已知条件可得，，代入椭圆的方程，将点的坐标代入椭圆方程可求出c的值，进而得出、b的值，于是可得到椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l的方程为，设点，将直线l的方程代入椭圆的方程，列出韦达定理，由等式结合韦达定理可求出的值，即可求出直线l的方程．【题目详解】（Ⅰ）设椭圆的焦距为，则，，所以，椭圆的方程为，将点的坐标代入椭圆的方程得，解得，则，因此，椭圆的方程为；（Ⅱ）设直线l的方程为，设点，将直线l的方程代入椭圆的方程，并化简得，，解得或．由韦达定理可得，，同理可得，所以，，解得，合乎题意！因此，直线l的方程为或．【题目点拨】本题考查直线与椭圆的综合，考查韦达定理的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题．18、（I）；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）可先计算对立事件“抽取的3天空气质量都不为良”的概率，再利用相关公式即得答案；（Ⅱ）找出随机变量的所有可能取值，分别计算相关概率，从而列出分布列计算数学期望.【题目详解】（Ⅰ）解：设事件为“抽取的3天中至少有一天空气质量为良”，事件的对立事件为“抽取的3天空气质量都不为良”，从7天中随机抽取3天共有种不同的选法，抽取的3天空气质量都不为良共有种不同的选法，则,所以，事件发生的概率为.（Ⅱ）解：随机变量的所有可能取值为0，1，2，3.，所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望.【题目点拨】本题主要考查对立事件的相关概念与计算，超几何分布的分布列与数学期望，意在考查学生的分析能力，逻辑推理能力和计算能力.19、（1）；（2）见解析.【解题分析】

（1）根据表格中的数据得出个学员中抽测成绩中大于或等于分的人数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率；（2）先根据表格中的数据得出到号学员合格与不合格的人数，可得知随机变量的可能取值有、、，然后再根据超几何分布的概率公式计算出随机变量在相应取值时的概率，并列出分布列，结合数学期望公式可计算出的值.【题目详解】（1）学员抽测成绩大于或等于分的有个，从年参加驾照考试的岁以下学员中随机抽取一名学员，估计这名学员抽测成绩大于或等于分的概率；（2）号至号学员中有个合格，个不合格，的可能取值为、、，，，，的分布列为：因此，随机变量的数学期望为．【题目点拨】本题考查利用古典概型概率公式计算事件概率，同时也考查了离散型随机变量分布列与数学期望的计算，解题时要弄清楚随机变量所满足的分布类型，结合相应的概率公式进行计算，考查计算能力，属于中等题.20、（1）；（2），或.【解题分析】试题分析：（1）由题意，根据离心率定义得到与的关系式，再由点求出直线的方程，根据点到直线距离公式，得到与的关系式，再结合，从而得出椭圆方程；（2）根据题意，可将直线斜率存在与否进行分类讨论，由“线段为直径”，得，再利用向量数量积的坐标运算，从而解决问题.试题解析：（1）由已知得，因为过椭圆的上顶点和右顶点的直线与原点的距离为，所以，解得故所求椭圆的方程:（2）椭圆左焦点，①当直线斜率不存在时，直线与椭圆交于两点，显然不存在满足条件的直线.………6分②当直线斜率存在时，设直线联立，消得，由于直线经过椭圆左焦点，所以直线必定与椭圆有两个交点，恒成立设则，若以为直径的圆过点，则，即(*)而，代入(*)式得，即，解得，即或．所以存在或使得以线段MN为直径的圆过原点．故所求的直线方程为，或.21、（1）（2）【