2024届四川邻水实验学校数学高二第二学期期末统考模拟试题含解析

2024届四川邻水实验学校数学高二第二学期期末统考模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，若，则实数的值为（）A．或 B．或 C．或 D．或或2．先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是()A．出现7点的次数 B．出现偶数点的次数C．出现2点的次数 D．出现的点数大于2小于6的次数3．若在曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”.下列方程：①②；③④对应的曲线中存在的“自公切线”的是（）A．①③ B．②③ C．②③④ D．①②④4．设，则“”是“”的A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知复数，，.在复平面上，设复数，对应的点分别为，，若，其中是坐标原点，则函数的最大值为（）A． B． C． D．6．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则的值等于（）A． B． C． D．7．执行如图所示的程序框图，若输入m=1,n=3，输出的x=1.75，则空白判断框内应填的条件为（）A． B． C． D．8．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）9．将偶函数的图象向右平移个单位长度后，得到的曲线的对称中心为（）A． B．C． D．10．如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（）A．4 B．3 C． D．11．已知函数，，若方程在上有两个不等实根，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．12．复数的共轭复数为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术，得诀自诩无所阻，额上纹起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，……则按照以上规律，若，具有“穿墙术”，则_____．14．己知复数和均是纯虚数，则的模为________.15．若正实数满足，则的最小值为______．16．在侧棱长为的正三棱锥中，，若过点的截面，交于，交于，则截面周长的最小值是______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，数列的前项和为，点（）均在函数的图像上.（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.18．（12分）2119年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了211名学生每周阅读时间(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这211名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若令，则，且．利用直方图得到的正态分布，求．(ii)从该高校的学生中随机抽取21名，记表示这21名学生中每周阅读时间超过11小时的人数，求(结果精确到1．1111)以及的数学期望．参考数据：．若，则．19．（12分）已知集合=，集合=.（1）若，求；（2）若AB，求实数的取值范围.20．（12分）已知，，.（1）用分析法证明：；（2）用反证法证明：与不能同时为负数.21．（12分）设函数的定义域为集合，集合，（1）若，求；（2）若，求.22．（10分）若，求证：．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

就和分类讨论即可.【题目详解】因为当时，，满足；当时，，若，所以或.综上，的值为0或1或2.故选D.【题目点拨】本题考查集合的包含关系，属于基础题，解题时注意利用集合中元素的性质（如互异性、确定性、无序性）合理分类讨论.2、A【解题分析】

根据随机变量的定义可得到结果.【题目详解】抛掷一枚骰子不可能出现点，出现点为不可能事件出现点的次数不能作为随机变量本题正确选项：【题目点拨】本题考查随机变量的定义，属于基础题.3、B【解题分析】

化简函数的解析式,结合函数的图象的特征,判断此函数是否有自公切线．【题目详解】①是一个等轴双曲线,没有自公切线;②,在和处的切线都是,故②有自公切线;③此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合,故此函数有自公切线;④即结合图象可得,此曲线没有自公切线.故选:.【题目点拨】本题考查命题的真假判断与应用,考查学生的数形结合的能力,难度一般.4、B【解题分析】

根据绝对值不等式和三次不等式的解法得到解集，根据小范围可推大范围，大范围不能推小范围得到结果.【题目详解】解得到，解，得到，由则一定有；反之,则不一定有；故“”是“”的充分不必要条件.故答案为：B.【题目点拨】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．5、B【解题分析】

根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解.【题目详解】据条件，，，且，所以，，化简得，，当时，取得最大值为.【题目点拨】本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.6、C【解题分析】本小题属于条件概率所以事件B包含两类：甲5乙2;甲6乙1;所以所求事件的概率为7、B【解题分析】当第一次执行，返回，第二次执行，返回，第三次，，要输出x,故满足判断框，此时，故选B.点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题．属于中档题．处理此类问题时，一般模拟程序的运行，经过几次运算即可跳出循环结束程序，注意每次循环后变量的变化情况，寻找规律即可顺利解决，对于运行次数比较多的循环结构，一般能够找到周期或规律，利用规律或周期确定和时跳出循环结构，得到问题的结果.8、C【解题分析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.9、D【解题分析】

根据函数为偶函数求出函数解析式，根据余弦函数的图象和性质求对称轴即可.【题目详解】∵为偶函数，∴，∴．令，得．故选：D【题目点拨】本题主要考查了诱导公式和余弦函数的图象与性质，属于中档题.10、A【解题分析】

由条件可得，【题目详解】因为函数的图象在点P处的切线方程是所以，所以4故选：A【题目点拨】本题考查的是导数的几何意义，较简单.11、C【解题分析】

对的范围分类，即可将“方程在上有两个不等实根”转化为“在内有实数解，且方程的正根落在内”，记，结合函数零点存在性定理即可列不等式组，解得：，问题得解．【题目详解】当时，可化为：整理得：当时，可化为：整理得：，此方程必有一正、一负根.要使得方程在上有两个不等实根，则在内有实数解，且方程的正根落在内.记，则，即：，解得：.故选C【题目点拨】本题主要考查了分类思想及转化思想，还考查了函数零点存在性定理的应用，还考查了计算能力及分析能力，属于难题．12、B【解题分析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可知：，则复数的共轭复数为.本题选择B选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、9999【解题分析】分析：观察所告诉的式子，找到其中的规律，问题得以解决.详解：，，，，按照以上规律，可得.故答案为9999.点睛：常见的归纳推理类型及相应方法常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．14、1【解题分析】

通过纯虚数的概念，即可求得，从而得到模长.【题目详解】根据题意设，则，又为虚数，则，故，则，故答案为1.【题目点拨】本题主要考查纯虚数及模的概念，难度不大.15、9【解题分析】

根据，展开后利用基本不等式求最值.【题目详解】等号成立的条件是，即，，解得：的最小值是9.【题目点拨】本题考查了基本不等式求最值的问题，属于简单题型.基本不等式求最值，需满足“一正，二定，三相等”，这三个要素缺一不可.16、1【解题分析】

沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，如图，则即为截面周长的最小值，且．中，由余弦定理可得的值．【题目详解】如图所示：沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，如图（2），则即为截面周长的最小值，且．中，由余弦定理可得：.故答案为1．【题目点拨】本题考查余弦定理的应用、棱锥的结构特征、利用棱锥的侧面展开图研究几条线段和的最小值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）1．【解题分析】分析：（1）由已知条件推导出，由此能求出；（2）由，利用裂项求和法求出，由此能求出满足要求的最小整数.详解：（1）当时，当时，符合上式综上，（2）所以由对所有都成立，所以，得,故最小正整数的值为.点睛：利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．18、(1)9，1.78(2)（i）（ii）见解析【解题分析】

（1）直接由平均数公式及方差公式求解；（2）（i）由题知，，则，求出，结合已知公式求解．（ⅱ）由（i）知，可得，由求解，再由正态分布的期望公式求的数学期望．【题目详解】解：（1），；（2）（i）由题知，，∴，．∴；（ⅱ）由（i）知，可得，.∴的数学期望.【题目点拨】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查离散型随机变量得期望，是中档题．19、（1）（2）【解题分析】分析：（1）先化简集合A,B，再求.(2)先化简集合A,B，再根据AB得到，解不等式得到实数的取值范围.详解：（1）当时，，解得.则.由，得.则.所以.（2）由，得.若AB，则解得.所以实数的取值范围是.点睛：（1）本题主要考查集合的运算和集合的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.(2)把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成的形式→化成不等式组→解不等式组得解集.20、(1)见解析(2)见解析【解题分析】分析：（1）利用分析法，原命题等价于证明，则题中的结论成立.（2）假设与同时为负数，而，与假设矛盾，则题中的结论成立.详解：（1）因为，，要证：，只需证：，只需证：，即证：，即证：，显然上式恒成立，故.（2）设与同时为负数，则（1），所以，与（1）式矛盾，所以假设不成立，所以与不能同时为负数.点睛：本题主要考查分析法、反证法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和逻辑思维能力.21、解：（1）；（2）.【解题分析】试题分析：（1）把代入二次不等式求集合B，根据函数定义域化简集合A，