北京市朝阳陈经纶中学2024届高二数学第二学期期末达标检测模拟试题含解析

北京市朝阳陈经纶中学2024届高二数学第二学期期末达标检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等差数列的第项是二项式展开式的常数项，则（）A．B．C．D．2．在中，，，，点满足，则等于（）A．10 B．9 C．8 D．73．将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（）A． B．C． D．4．已知函数，若集合中含有4个元素，则实数的取值范围是A． B． C． D．5．已知数列是等比数列，其前项和为，，则（）A． B． C．2 D．46．设函数，则“”是“有4个不同的实数根”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件7．已知是虚数单位，复数满足，则（）A． B． C．2 D．18．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为()A．-10 B．6C．14 D．189．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（）A． B． C． D．10．已知变量，满足回归方程，其散点图如图所示，则（）A．， B．，C．， D．，11．函数的定义域为R，，对任意的，都有成立，则不等式的解集为A． B． C． D．R12．下列命题中真命题的个数是（）①，；②若“”是假命题，则都是假命题；③若“，”的否定是“，”A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．执行如图所示的程序框图则输出的实数m的值为______．14．已知满足约束条件则的最大值为______.15．函数在区间上的最大值为，则的最小值为______.16．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为_________________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知、分别是椭圆左、右焦点，右焦点到上顶点的距离为，若．求此椭圆的方程;直线与椭圆交于，两点，若弦的中点为求直线的方程．18．（12分）设函数.（I）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的值域.19．（12分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为，点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，1为半径.（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程.（2）设直线l与圆C相交于AB两点，求.20．（12分）某大型高端制造公司为响应《中国制造2025》中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针,准备加大产品研发投资,下表是该公司2017年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据：月份56789101112研发费用x（百万元）2361021131518产品销量与（万台）1122.563.53.54.5（1)根据数据可知y与x之间存在线性相关关系(ⅰ)求出y关于x的线性回归方程(系数精确到0.001);(ⅱ)若2018年6月份研发投人为25百万元，根据所求的线性回归方程估计当月产品的销量；（2）为庆祝该公司9月份成立30周年,特制定以下奖励制度:以z(单位:万台)表示日销量,,则每位员工每日奖励200元；,则每位员工每日奖励300元；,则每位员工每日奖励400元现已知该公司9月份日销量z（万台）服从正态分布,请你计算每位员工当月(按30天计算)获得奖励金额总数大约多少元.参考数据:，.参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:，.若随机变量X服从正态分布,则，.21．（12分）已知椭圆，若在，，，四个点中有3个在上．（1）求椭圆的方程；（2）若点与点是椭圆上关于原点对称的两个点，且，求的取值范围．22．（10分）已知在中，角，，的对边分别为，，，的面积为.（1）求证：；（2）若，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】试题分析：二项式展开中常数项肯定不含，所以为，所以原二项式展开中的常数项应该为，即，则，故本题的正确选项为C.考点：二项式定理.2、D【解题分析】

利用已知条件，表示出向量,然后求解向量的数量积．【题目详解】在中，，，，点满足，可得则==【题目点拨】本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量．3、C【解题分析】

由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．【题目详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，可得.故选C．【题目点拨】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.4、D【解题分析】

先求出，解方程得直线与曲线在上从左到右的五个交点的横坐标分别为，再解不等式得解.【题目详解】.由题意，在上有四个不同的实根.令，得或，即或.直线与曲线在上从左到右的五个交点的横坐标分别为.据题意是，解得.故选D.【题目点拨】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.5、A【解题分析】

由题意，根据等比数列的通项公式和求和公式，求的公比，进而可求解，得到答案．【题目详解】由题意得，，，公比，则，故选A．【题目点拨】本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6、B【解题分析】分析：利用函数的奇偶性将有四个不同的实数根，转化为时，有两个零点，利用导数研究函数的单调性，结合图象可得，从而可得结果.详解：是偶函数，有四个不同根，等价于时，有两个零点，时，，，时，恒成立，递增，只有一个零点，不合题意，时，令，得在上递增；令，得在上递减，时，有两个零点，，，得，等价于有四个零点，“”是“有4个不同的实数根”的必要不充分条件，故选B.点睛：本题考查函数的单调性、奇偶性以及函数与方程思想的应用，所以中档题.函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.7、A【解题分析】分析:先根据已知求出复数z,再求|z|.详解：由题得，所以.故答案为A.点睛：（1）本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.(2)复数的模.8、B【解题分析】模拟法：输入；不成立；不成立成立输出,故选B.考点：本题主要考查程序框图与模拟计算的过程.9、B【解题分析】

由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，且第一行公差为1,第二行公差为2,第三行公差为4,…,第2015行公差为，故第1行的从右往左第一个数为：，第2行的从右往左第一个数为：，第3行的从右往左第一个数为：，…第行的从右往左第一个数为：，表中最后一行仅有一个数，则这个数是.10、D【解题分析】

由散点图知变量负相关，回归直线方程的斜率小于1；回归直线在y轴上的截距大于1．可得答案.【题目详解】由散点图可知，变量之间具有负相关关系．

回归直线的方程的斜率．

回归直线在轴上的截距是正数．

故选：D【题目点拨】本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题，是基础题．11、A【解题分析】

把原不等式化为右侧为0的形式，令左侧为，利用导数得到的单调性，得解集．【题目详解】原不等式化为，令，则，对任意的，都有成立，恒成立，在R上递减，，的解集为，故选：A．【题目点拨】此题考查了利用导数研究单调性，解决不等式问题，难度适中．对于没有解析式或者表达式比较复杂的不等式，通常采取的方法是，研究函数的单调性和零点，进而得到解集。12、B【解题分析】若，，故命题①假；若“”是假命题，则至多有一个是真命题，故命题②是假命题；依据全称命题与特征命题的否定关系可得命题“”的否定是“”，即命题③是真命题，应选答案B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

先要通读程序框图，看到程序中有循环结构，然后代入初值，看是否进入循环体，是就执行循环体，写清每次循环的结果；不是就退出循环，看清要输出的是何值．【题目详解】模拟执行程序，可得，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，不满足条件，退出循环，输出m的值为1．故答案为：1．【题目点拨】本题考查程序框图要掌握常见的当型、直到型循环结构；以及会判断条件结构，并得到条件结构的结果；在已知框图的条件下，可以得到框图的结果．14、1【解题分析】

做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.【题目详解】约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示.由得，则目标函数过点时，取得最大值，.故答案为：1【题目点拨】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.15、【解题分析】

令，由导函数得最小值为，且端点处函数值.再由时，；时，，可得表达式，问题可得解.【题目详解】则，由得当时，当时所以在上单调递减，在上单调递增.最小值为，又，，且当时，即，解得，；当时，即由，得，.综上，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时取最小值为.故答案为：【题目点拨】本题考查了通过导数分析函数的单调性和最值，考查了绝对值函数，还考查了分类讨论思想，属于难题.16、【解题分析】

先求出截面圆的半径，再算截面面积。【题目详解】截面圆半径为，截面面积为。【题目点拨】先求出截面圆的半径，再算截面面积。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、；.【解题分析】

由已知条件得，由此求出椭圆方程；设，，再结合弦的中点为，求直线的方程.【题目详解】由题意得，所以，所以．设，，，两点在椭圆上，，，弦的中点为，，，，直线的方程为，即.【题目点拨】本题考查椭圆方程和直线方程的求法，属于中档题.18、（I）；（Ⅱ）.【解题分析】

（I）将函数的解析式利用二倍角降幂公式、辅助角公式化简，再利用周期公式可计算出函数的最小正周期；（Ⅱ）由，求出的取值范围，再结合正弦函数的图象得出的范围，于此可得出函数在区间上的值域.【题目详解】（Ⅰ），所以；（Ⅱ）因为，因为，所以，所以，所以的值域为.【题目点拨】本题考查三角函数的基本性质，考查三角函数的周期和值域问题，首先应该将三角函数解析式化简，并将角视为一个整体，结合三角函数图象得出相关性质，考查计算能力，属于中等题．19、（1）直线的参数方程为（t为参数），圆的极坐标方程为；（2）.【解题分析】

（1）首先根据直线的点和倾斜角即可求出直线的参数方程，再根据圆的圆心坐标及半径可求出圆的直角坐标方程，再转化为极坐标方程即可.（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，再利用直线参数方程的几何意义即可求出的值.【题目详解】（1）直线的参数方程为（为参数），∵M的直角坐标为，圆的直角坐标方程为，即，∴圆的极坐标方程为；（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，化简得：，，.【题目点拨】本题第一问考查了直线的参数方程和圆的极坐标方程，第二问考查了直线的参数方程的几何意义，属于中档题.20、(1)(i);(ii)6.415万台；(2)7839.3元.【解题分析】分析：（1）（i)根据平均数公式可求出与的值，从而可得样本中心点的坐标，从而求可得公式中所需数据，求出，再结合样本中心点的性质可得，进而可得关于的回归方程；（ii）将代入所求回归方程，即可的结果；（2）由题知9月份日销量（万台)服从正态分布，则，根据正态曲线的对称性求出各区间上的概率，进而可得结果.详解：（1）（i)因为所以，所以关于的线性回归方程为（ii）当时，（万台）（注：若，当时，（万台）第（1）小问共得5分，即扣1分）（2）由题知9月份日销量（万台)服从正态分布.则.日销量的概率为.日销量的概率为.日销量的概率为.所以每位员工当月的奖励金额总数为元点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.21、(1)．(2)【解题分析】

（1）由于椭圆是对称图形，得点，必在椭圆上，故，再分别讨论在上时和在上时椭圆的方程，根据题意进行排除，最后求解出结果．（2）设，，利用向量的坐标运算表达出的值，根据对称性分类讨论设出直线的方程，联立椭圆方程，结合韦达定理，将转化为求函数的值域问题，从而求解出的范围．【题目详解】解：（1）与关于轴对称，由题意知在上，当在上时，，，，当在上时，，，∴与矛