福建省莆田重点中学2023-2024学年高三上学期第四次月考数学试题

莆田重点中学2023-2024学年上学期第四次月考高三数学一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，，则（）A． B． C． D．2．若（i为虚数单位），则复数z的模为（）A．1 B． C． D．23．已知等差数列的前n项和，若，则（）A．150 B．160 C．170 D．与和公差有关4．若，则（）A． B． C． D．5．要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是m年前的遗物（参考数据：，则m的值为（）A．12302 B．13304 C．23004 D．240346．如图，在中，AD为BC边上的高，，，，，则的值为（）A． B． C．－2 D．7．已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是（）A．2 B． C．4 D．8．已知且，且，且，则（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）A． B．C． D．10．正项等比数列的前n项积为，且满足，，则下列判断正确的是（）A． B． C．的最大值为 D．11．电子通讯和互联网中，信号的传输、处理和傅里叶变换有关．傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和或余弦函数）的线性组合．例如函数的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则（）A．为周期函数，且最小正周期为B．为奇函数C．的图象关于直线对称D．的导函数的最大值为712．在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，点M在线段PC上运动（不含端点），则（）A．存在点M使得B．四棱锥外接球的表面积为C．直线PC与直线AD所成角为D．当动点M到直线BD的距离最小时，过点A，D，M作截面交PB于点N，则四棱锥的体积是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设为等比数列的前n项和，，，则______．14．若平面向量与的夹角为60°，，，则______．15．已知中，点D在边BC上，，，．当取得最小值时，______．16．设函数，的定义域均为R，且函数，均为偶函数．若当时，，则的值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10分）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．（1）求B；（2）若，，求的面积．18．（12分）已知等比数列的各项均为正数，其前n项和为，且，，成等差数列，．（1）求数列的通项公式：（2）设，求数列的前n项和．19．（12分）现有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，每加工一个零件耗时35分钟，第2，3台加工的次品率均为5%，每加工一个零件分别耗时32分钟和30分钟，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；（2）如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时X（分钟）的分布列和数学期望．20．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，E是CD的中点，AE与BD交于点F，G是的重心．（1）求证：平面PCD；（2）若平面平面ABCD，为等腰直角三角形，且，求直线AG与平面PBD所成角的正弦值．21．（12分）已知