四川省乐山市2021年中考数学真题（含答案）

四川省乐山市2021年中考数学试卷

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.

1.如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作+2,支出5元记作（）.

A.5元B.-5元C.-3元D.7元

【答案】B

【解析】

【分析】结合题意，根据正负数的性质分析，即可得到答案.

【详解】根据题意得：支出5元记作-5元

故选：B.

【点睛】本题考查了正数和负数的知识；解题的关键是熟练掌握正负数的性质，从而完成求解.

2.在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、

亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（）•

类型健康亚健康不健康

数据（人）3271

_74

A.32B.7C.—D.一

105

【答案】D

【解析】

【分析】结合题意，根据频率的定义计算，即可得到答案.

324

【详解】根据题意，得测试结果为“健康”的频率是一=—

405

故选：D.

【点睛】本题考查了抽样调查的知识；解题的关键是熟练掌握频率的性质，从而完成求解.

3.某种商品用千克的售价为〃元，那么这种商品8千克的售价为（）

*8〃，一、c",一、八8机/一、c，一、

A.—（兀）B.----（兀）C.---（兀）D.—（兀）

m8mn8〃

【答案】A

【解析】

【分析】先求出1千克售价，再计算8千克售价即可;

【详解】•••〃［千克的售价为〃元，

n

・・・1千克商品售价为一，

m

••.8千克商品的售价为J（元）；

m

故答案选A.

【点睛】本题主要考查了列代数式，准确分析列式是解题的关键.

4.如图，已知直线4、44两两相交，且若a=50。，则夕的度数为（）

A.120°B.130°C.140°D.150°

【答案】C

【解析】

【分析】由垂直的定义可得N2=90°；根据对顶角相等可得Nl=Na=50°,再根据三角形外角的性质即

可求得N/?=140。.

【详解】

•.・/|-L/3,

AZ2=90°；

・・•Zl=Za=50°f

/.=N1+N2=50°+90°=140°.

故选C.

【点睛】本题考查了垂直的定义、对顶角的性质、三角形外角的性质，熟练运用三角形外角的性质是解决

问题的关键.

5.如图，已知直线4：y=-2x+4与坐标轴分别交于A、B两点,那么过原点。且将AQ3的面积平分的

直线，2的解析式为（）

3

A.y=­XB.y=xC.y=-xD.y=2x

2-2

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知解析式求出点A、B坐标，根据过原点。且将的面积平分列式计算即可;

解得：x—2,

/.4(2,0),

当x=0时，y=4,

.♦.8(0,4),

•••C在直线AB上，

设C(/n,-2m+4),

SaOBC=/XOBx|Xc|,

53=3。必归，

•••4且将，AO6的面积平分，

,,S4OBC=S4OCA'

：.(9Bx|xc|=OAx|yc|,

/.4m=2x(-2/w+4),

解得m=\,

：.C(l,2),

设直线，2的解析式为y=丘，

贝味=2,

y=2x；

故答案选D.

【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，准确计算是解题的关键.

6.如图是由4个相同的小正方体成的物体，将它在水平面内顺时针旋转90°后，其主视图是()

主视

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据该几何体它在水平面内顺时针旋转90°后，旋转后几何体的主视图与该几何体旋转前从右面

看到的图形一样，由此即可解答.

【详解】把该几何体它在水平面内顺时针旋转90°后，旋转后的主视图与该几何体旋转前从右面看到的图

形一样，

•.•该几何体的从右面看到的图形为

，该几何体它在水平面内顺时针旋转90°后，旋转后几何体的主视图为

故选C.

【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟知把该几何体它在水平面内顺时针旋转90°后，旋转后几何

体的主视图与该几何体旋转前从右面看到的图形一样是解决问题的关键.

7.七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，

如图1所示.19世纪传到国外，被称为"唐图"（意为"来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方形分割

制作的七巧板拼摆成的"叶问蹬”图.则图中抬起的"腿"（即阴影部分）的面积为（）

图1

图2

75

A.3B.-C.2D.-

22

【答案】A

【解析】

【分析】根据由边长为4的正方形分割制作的七巧板，可得共5种图形，然后根据阴影部分的构成图形,

计算阴影部分面积即可.

【详解】解：如下图所示，由边长为4的正方形分割制作的七巧板，共有以下几种图形:

①腰长是2近的等腰直角三角形,

②腰长是2的等腰直角三角形,

③腰长是正的等腰直角三角形,

④边长是血的正方形,

⑤边长分别是2和0,顶角分别是45和135的平行四边形,

根据图2可知，图中抬起的"腿"（即阴影部分）是由一个腰长是&的等腰直角三角形，和一个边长分别是

2和血,顶角分别是45和135的平行四边形组成，

如下图示，

根据平行四边形的性质可知，顶角分别是45和135的平行四边形的高是03,且DB=a

・•・一个腰长是0的等腰直角三角形的面积是：血=1,

顶角分别是45和135的平行四边形的面积是：、巧x0=2，

,阴影部分的面积为：1+2=3,

故选：A.

【点睛】本题考查了七巧板中的图形的构成和面积计算，熟悉七巧板中图形的分类是解题的关键.

8.如图，已知点P是菱形A3CD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作A。、。。延长线的垂线，垂

足分别为点E、F.若NABC=120°,AB=2,则PE—PE的值为（)

35

A.-B.Jr3C.2D.—

22

【答案】B

【解析】

【分析】根据菱形的基性质，得到/FE=30。，，利用勾股理求出AC=26，则AP=26+PC,

PE=-AP=^+-PC,由NPCF=NDCA=30°,得至1」刊三,七，最后算出结果.

222

【详解】解：•••四边形ABCO是菱形且/A8C=120。，AB=2,

：.AB^BC=CD=DA=2,ZBAD=60°,AC1,BD,

：.ZCAE=30°,

•：ACLBD,NC4E=30。，/10=2,

；.AC=24^=2拒，

:.AP=26+PC,

在直角△AEP中，

ZPAE=30°,AP=2y/3+PC,

：.PE=yAP=也+；PC,

在直角中，

•.,/PCF=30°,

：.PF=—PC,

2

/.PE-PF=百+；PC-JPC=6,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、勾股定理的应用以及在直角三角形中，30。角所对的直角边等于

斜边的一半，关键会在直角三角形中应用30°.

9.如图，已知。4=6,08=8,BC=2,P与OB、A3均相切，点尸是线段AC与抛物线丫=。必

的交点，则。的值为（）

911

A.4B.-C.—D.5

22

【答案】D

【解析】

【分析】在RtZXAOB中，由勾股定理求得BC=10：再求得直线AC的解析式为y=-x+6；设1.P的半

径为m,可得尸(加，加+6)；连接P8、PO.PC,根据S.op=SAOP+S”s+S80P求得巾=1,即可得点

P的坐标为(1,5)；再由抛物线'过点p,由此即可求得。=5.

【详解】在RtZ\AOB中，。4=6,03=8,

BC=ylOA'+OB2=A/62+82=10；

,：0B=8,8c=2,

OC=6,

：.C(0,6)；

0A-6,

；.A(6,0)；

设直线AC的解析式为y=kx+b,

(6k+b=Q

,,0=6

化=—1

解得＜(，

b-6

：.直线AC的解析式为y=-x+6.

设OP的半径为加

与。8相切，

...点P的横坐标为处

•.•点P在直线直线AC上,

:.P{tn,-m+6)；

连接PB、PO、PA,

P与。8、AB均相切,

/\OBP边OB上的高为m,/\AOB边AB上的高为m,

P(m,-m+6)；

，△AOP边OA上的高为加+6,

•°AOB-°AOP干°APB十0BOP'

/.—x6x8=-x6x(-m+6)+—x10/77+—x8m,

22v722

解得m-\9

：.P(1,5)；

•.•抛物线丁=依2过点P,

・・Q=5.

故选D.

【点睛】本题考查了切线的性质定理、勾股定理、待定系数法求解析式，正确求出产的半径是解决问题

的关键.

3

10.如图，直线4与反比例函数y=—(x>0)的图象相交于A、3两点,线段A5的中点为点C,过点。作

x

X轴的垂线，垂足为点。.直线4过原点。和点C.若直线12上存在点尸(加，〃)，满足=

则加+〃的值为()

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，得A（l,3）,8（3,1）,直线4：y=x；根据一次函数性质，得机=〃；根据勾股定理,

得PC=Q2（m-2）2；连接R4，PB,FB，根据等腰三角形三线合一性质，得C（2,2）,0C1AB；

根据勾股定理逆定理，得NABO=90。；结合圆的性质，得点A、8、。、P共圆，直线4和A8交于点尸,

历

点F为圆心；根据圆周角、圆心角、等腰三角形的性质，得="；分PC=尸产+尸。或尸。=尸尸一尸。

2

两种情况，根据圆周角、二次根式的性质计算，即可得到答案.

【详解】根据题意，得8（3,|）,即A（l,3）,8（3,1）

•••直线乡过原点。和点C

直线乙：）=x

P（m,n）在直线4上

/.m-n

：.PC=《2（111—2）2

连接F4，PB,FB

:•PA=PB，线段AB的中点为点C

AC(2,2),OCLAB

过点C作x轴的垂线，垂足为点。

D(2,0)

；•AD=J(2-iy+(()—3)2=W，AB=^/(1-3)2+(3-1)2=2A/2，80=J(3-+1=0

，AD2=AB2+BD1

：.ZABD=90°

.•.点A、B、D,P共圆，直线6和AB交于点F,点F为圆心

BDV2

:.cosZADB=----=

ADM

•：AC^BC,FB=FA=-AD

2

ZBFC=-ZAFB

2

■:ZAPB=ZADB，且=必

2

ZAPB=ZADB=ZBFC

FCpcB

.cos/APB=cosNBFC=，=-^=，=

••FB回回

F

・・FC=--

2

...PC=PF+FC或PC=PF-FC

当PC=W—尸C时，Z4尸8和NADB位于直线4B两侧，即NAPB+NAZ)3=180°

PC=PF—FC不符合题意

APC=PF+FC=—+-＞且加＜2

22

，PC=^2(/77-2)2=后(2-间，

m+n-2m=3->/5

故选:A.

【点睛】本题考查了圆、等腰三角形、反比例函数、一次函数、三角函数、勾股定理、二次根式的知识；

解题的关键是熟练掌握圆心角、圆周角、等腰三角形三线合一、三角函数、勾股定理的性质，从而完成求

解.

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.

11.计算：（2021-万）°=.

【答案】1

【解析】

【分析】直接利用零指数哥的性质计算得出答案.

【详解】解：（2021—万）°=1.

故答案为：1.

【点睛】本题考查零指数基，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.

12.因式分解：44—9=.

【答案】（2a-3）（2。+3）

【解析】

【分析】此多项式可直接采用平方差公式进行分解.

【详解】解：4«2-9=（2a）2-32

—(2a—3)(2a+3).

故答案为：(2a-3)(2。+3).

【点睛】本题考查了公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可

以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解.

13.如图是根据甲、乙两人5次射击的成绩(环数)制作的折线统计图.你认为谁的成绩较为稳？

(填“甲”或"乙”)

【答案】甲

【解析】

【分析】先分别求出甲乙的平均数，再求出甲乙的方差，由方差越小成绩越稳定做出判断即可.

【详解】解：％=C7+6+9+6+7)+5=7(环)，

1乙=C5+9+6+7+8)+5=7(环)，

52甲=[(7-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(6-7)2+(7-7)2H5=1.2,

『乙=[(5-7)2+(9-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2H5=2,

V1.2<2,

甲的成绩较为稳定，

故答案为：甲.

【点睛】本题考查平均数、方差、折线统计图，会求一组数据的平均数、方差，会根据方差判断一组数

据的稳定性是解答的关键.

14.如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点。处测得石碑顶A点的仰角为30。，她朝石

碑前行5米到达点。处，又测得石顶A点的仰角为60°,那么石碑的高度AB的长=米.(结果保

留根号)

A

【答案】侦

2

【解析】

【分析】先根据已知条件得出aAOC是等腰三角形，再利用AB=s%60°XAO计算即可

【详解】解：由题意可知：/A=30°,ZADB=60°

：.ZCAD=30Q

...△AOC是等腰三角形，

.*.OA=OC又£>C=5米

故AD=5米

在R/Z\ACB中，ZADB=60Q

：.AB=si〃600XAD=—x5=米

22

故答案为：生叵

2

【点睛】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形，熟练记忆特殊角的锐角三角函数值是关键

15.在Rr.ABC中，NC=90°.有一个锐角为60°,A8=4.若点P在直线43上（不与点A、8重合）,

且NPCB=30°,则CP的长为.

【答案】6或2百或2

【解析】

【分析】依据题意画出图形，分类讨论，解直角三角形即可.

详解】解：情形1：NA=60°,则NB=30°,

,/NPC6=30°,

/.ZACP=60°,

•••是等边三角形，

CP=AC=-AB=2

2;

情形2：ZB=60°,则ZA=30°,BC=2,AC=2y/3,

B

CA

NPCB=30°,

：.CP±AB,

：.^ACBC=^ABCP,解得CP=6；

情形3：ZB=60°,则ZA=30°,BC=2,AC=2y[^，

•••NPCB=30°,

CP=AC=26；

故答案为：百或2百或2.

【点睛】本题考查解直角三角形，掌握分类讨论的思想是解题的关键.

16.如图，已知点A(4,3),点3为直线y=-2上一动点，点C(0,〃)，一2<〃<3,ACJ.BC于点C,

连接若直线与x正半轴所夹的锐角为a,那么当sina的值最大时，〃的值为

【答案】|

【解析】

【分析】设直线y=-2与y轴交于G,过A作直线y=-2于H,AFLy轴于F,根据平行线的性质

得到N43”=a,由三角函数的定义得到Sina=—,根据相似三角形的性质得到比例式——="—，

BA3-〃4

于是得到GB=—,(〃+2)(3-/0(«--)2+—,根据二次函数的性质即可得到结论.

44216

【详解】解：如图，设直线y=-2与)，轴交于G,过A作A”J_直线)，=-2于H,AF_Ly轴于尸，

轴，

ZABH=a,

在RtZsABH中，AB=IAH?+BH?，sina=三,

5

即sina=—=/、—

BAyjAH2+BH2

VSina随BA的减小而增大,

・••当BA最小时sina有最大值；即最小时，sina有最大值，即8G最大时，sina有最大值,

VZBGC=ZACB=ZAFC=90°，

：.ZGBC+ZBCG=ZBCG^-ZACF=90°,

：.ZGBC=ZACF,

：.AACFs^CBG,

•,.-B-G=-C-G,

CFAF

•.•A(4,3),C(0,〃)

BGn+2

即Hn----=-----,

3—«4

/.BG=(n+2)(3-ri')=(〃)2+—,

44216

•••-2<〃<3

...当〃=:1时，8G最大值=2，5

216

故答案为：.

2

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线证得

△ACFsACBG是解题的关键.

三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分.

।a9r-1

17.当x取何正整数时，代数式r上上与二一的值的差大于1

23

【答案】1,2,3,4

【解析】

【分析】根据题意，列一元一次不等式并求解，即可得到x的取值范围；结合x为正整数，通过计算即可得

到答案.

【详解】根据题意得：--^-^>1,

23

解得：x<5

•••X为正整数，

yI02r—1

.•.X为1,2,3,4时，代数式1「与的值的差大于1.

23

【点睛】本题考查了解一元一次不等式；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的性质，从而完成求解.

18.如图，已知AB=OC,NA=NO，AC与OB相交于点0,求证：ZOBC=ZOCB.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】根据全等三角形的性质，通过证明△ABO名△DCO,得QB=OC,结合等腰三角形的性质,

即可得到答案.

ZA=ZD

【详解】NAO8=NOOC,

AB=DC

：.(AAS),

OB-OC>

ZOBC=ZOCB.

【点睛】本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的

性质，从而完成求解.

AB2.x—6

19.已知-----，求A、3的值.

X-12,—x(x—l)(x—2)

【答案】A的值为4,3的值为-2

【解析】

【分析】根据分式、整式加减运算，以及二元一次方程组的性质计算，即可得到答案.

ABA(x-2)B(x-l)

【详解】----------------=-------------------1------------------

x—12—x(x—l)(x—2)(x—l)(x-2)

A(x—2)+5(x—1)2x—6

(x-l)(x-2)~-(x-l)(x-2)

A(x—2)+B(x—1)=2x—6,

即(A+B)x—(2A+B)=2x—6.

A+B=2

••2A+3=6'

[A=4

解得：,

B=-2

，A的值为4,3的值为—2.

【点睛】本题考查了分式、整式、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算、整式加

减运算、二元一次方程组的性质，从而完成求解.

四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分.

20.已知关于X的一元二次方程/+工一加=（）.

（1）若方程有两个不相等的实数根，求加的取值范围；

（2）二次函数旷=/+》-/??的部分图象如图所示，求一元二次方程/+%一〃?=。的解.

【答案】（1）m>--；（2）%=1,x,=-2

4

【解析】

【分析】（1）根据时，一元二次方程有两个不相等的实数根求解m的取值范围即可；

（2）根据二次函数图象与x轴的交点的横坐标就是当产0时对应一元二次函数的解，故将产1代入方程中

求出，"值，再代入一元二次方程中解方程即可求解.

【详解】解：（1）由题知A=l+4m>0,

1TL>--.

4

（2）由图知f+x一〃z=0的一个根为1,

F+1一m=0，m—2,

即一元二次方程为九2+%一2=0，

解得王=1,X2=-2,

二一元二次方程X、+*-加=0的解为%=1,x2=-2.

【点睛】本题考查一元二次方程根判别式、解一元一次不等式、解一元一次方程、解一元二次方程，会

解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键.

21.某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬.学校德育处随后决定在全校1000

名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动.张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况,

并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图.

(1)求这组数据的平均数和众数；

(2)经调查，当学生身上的零花钱多于15元时，都到出零花钱的20%,其余学生不参加捐款.请你估计

周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？

(3)捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从4人中随机指定两

人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率.

2

【答案】(1)平均数为20.5；众数为20；(2)3150元；(3)-

【解析】

【分析】(1)根据众数和平均数的定义求解；

(2)由图可知零花钱多于15元的学生有12人，可算出12人的零花钱平均数再计算这12人的捐款额，即

可计算1000人的捐款额：

(3)设捐款最多的两名学生分别为4、A?,另一个学校的两名学生分别为耳、B2,列表后利用概率公式

求解可得.

5x1+10x3+15x4+20x6+25+30x3+40

【详解】解：(1)平均数:=20.5,

20

众数：根据图可知有6人零花钱是20,故众数为20

故答案为：20.5；20

(2)由图可知零花钱多于15元的学生有12人，则这12人的零花钱平均数为:

20x6+25+30x3+40x2105

~12―丁

（竽X20%卜得X1000）=3150（元）.

...周五这一天该校收到捐款数约为:

(3)设捐款最多的两名学生分别为4、&,另一个学校的两名学生分别为用、B2,

列表如下:

4A2与B2

AA44打

44百4员

A艮

员48再

•••由表可知，均等机会共12种，两人来自不同学校的结果有8种，

Q9

...这两人来自不同学校的概率

123

【点睛】本题考查的是条形统计图读懂统计图，平均数和众数的定义，用样本估计总体，同时考查了概率

公式，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.

k

22.如图，直线/分别交x轴，y轴于A、B两点,交反比例函数y=—(攵#0)的图象于P、。两点.若

(1)求&的值;

(2)当点尸的横坐标为一1时，求△尸。。的面积.

【答案】(1)-6；(2)8

【解析】

【分析】(1)过尸作PE垂直于x轴，垂足为E，证明根据相似三角形的性质可得

S4

A0=20E,三皿=3，由此可得S”E=9，SPEO=3.再由反比例函数比例系数4的几何意义即可

'APE,

求得％值.

(2)先求得P(-1,6),8(0,4),再利用待定系数法求得直线P8的解析式为y=-2x+4.与反比例函数的

解析式联立方程组，解方程组求得Q(3,-2).再根据SPOQ=SPOB+SQOB即可求解.

/.一ABO^APE.

:AB=2BP，S^AOB=4,

•・,uqAPE-Q7,oqPED_-J3•

：.\k\=-x3,\k\=6,即左=—6.

2

(2)由(1)知了=—,P(—1,6).

x

'：AB=2PB,：.SMo=2,，|8。|=4,8(0,4).

设直线PB的解析式为y=kx+b,

6=-k+b

将点P(T,6)、3(0,4)代入>=履+匕，得〈

。=4

7=-2

解得《

b=4

直线尸8的解析式为y=-2x+4.

-6

V=—

联立方程组丁X,解得玉=3,x2=-l,

y--2x+4

2(3,-2).

POQ=SPOB+SQOB=；|OB|X(XQ-Xp)=g*4x4=8.

【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题，熟练运用反比例函数比例系数上的几何意义是解决问题的

关键.

五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分.

23.通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴

趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散.学生注意力指标)随时间x(分钟)

变化的函数图象如图所示，当0<x<10和10Wx<20时，图象是线段；当20WXW45时，图象是反比例

函数的一部分.

(1)求点A对应的指标值；

(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合

题的讲解时，注意力指标都不低于36?请说明理由.

【答案】(1)20；(2)能，见解析

【解析】

【分析】(1)先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值

(2)先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出

-5x+20>36(0<x<10),9空00N36(20<xW45)得出自变量的取值范围3一2<xK25,即可得出结论

2x5

kk

【详解】解：(1)令反比例函数为》=与食＞0),由图可知点(20,45)在＞=—的图象上,

"=20x45=900,

900日小、

：.y=——.将x=45代入

x

将x=45代入得：

点A对应的指标值为&=20.

45

(2)设直线AB的解析式为丫=履+匕，将40,20)、8(10,45)代入y="+6中,

4=20

%=20解得L5.

得<

10女+。=45

IK--2

直线AB的解析式为y=|x+20.

|x+20>36(0<x<10)

32

由题得《45>36(104x420)解得

900小

--->36(20<x<45)

、x

....3293

・ZJ-------=—＞1/,

55

张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.

【点睛】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图像解决实际问

题是中考的常考题型。

24.如图，已知点C是以AB为直径的圆上一点，。是A8延长线上一点，过点。作8。的垂线交AC的

延长线于点E,连结CO,且CD=EZ).

E

（1）求证：CO是.0的切线：

（2）若tanNDCE=2,BD=1,求。。的半径.

3

【答案】（1）见解析；（2）-

2

【解析】

【分析】（1）连接OC、BC,根据已知条件证明NE+NQ4c=90°,NEC。+NOC4=90°即可得解;

（2）由（1）可得△DCBSADAC,得到。C2=D4-DB，令AO=r,根据正切的定义列式求解即可;

【详解】解：（1）证明：连结OC、BC.

VOC=OA,DC=DE,

：.ZOCA=ZOAC,Z£=ZDCE.

'：ED±AD,

：.ZADE=90°,

/.ZE+ZOAC=90°,Z.ECD+ZOCA=90°,

ZDCB+ZBCO=90°,

：.DCICO,即CO是C。的切线.

(2)由(1)知，NDCB=NCAO,又KDB=NADC,

...MCBs^DAC,

.DC_DB

即DC2=DADB.

"~DA~~DC

令AO=r,。。2=(2r+1)」.

即。C=12r+l，即DE=J2r+1.

AZ)

tanZDCE=2,即tanNE=2=---,

DE

2r+l3

/./=2,

V2r+1

31

解得r=—或r=一一(舍)，

22

3

A：,O的半径为士.

2

【点睛】本题主要考查了圆的综合运用，结合相似三角形的判定与性质、正切的定义求解是解题的关键.

六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分.

25.在等腰A6c中，A8=AC,点。是8C边上一点(不与点8、C重合)，连结AE>.

(1)如图1,若NC=60°,点。关于直线AB的对称点为点£,结AE，DE，则N80E=；

(2)若NC=60°,将线段绕点A顺时针旋转60。得到线段AE，连结3E.

①在图2中补全图形；

②探究CO与3E的数量关系，并证明；

ARA。

(3)如图3,若——=——=k,且NAT>E=NC,试探究8E、BD、AC之间满足的数量关系，并证

BCDE

明.

【答案】(1)30°；(2)①见解析；②CD=BE；见解析；(3)AC=k(BD+BE),见解析

【解析】

【分析】（1）先根据题意得出△ABC是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可

（2）①按要求补全图即可

②先根据已知条件证明AABC是等边三角形，再证明八4万姓八位）。，即可得出CD=BE

ACBC

（3）先证明——=——,再证明△ACBS^ADE,得出NBAC=NEA£>,从而证明^八位）。,

ADDE

得出8D+BE=3C,从而证明AC=Z（BO+8E）

【详解】解：（1）VAB=AC,ZC=60°

...△A8C是等边三角形

ZB=60°

:点。关于直线AB的对称点为点E

：.ABA.DE,

：.ZBDE=30。

故答案为：30°;

（2）①补全图如图2所示；

②CO与BE的数量关系为：CD=BE；

证明：VAB^AC,NS4c=60。.

•••△ABC为正三角形，

又；AD绕点A顺时针旋转60°,

•••AD=AE，ZEAD=60°,

VABAD+ADAC60°,ZBAD+ZBAE=O）°,

：.NBAE=/DAC,

，AA£B^AADC,

/.CD=BE.

（3）连接AE.

A

ADDE

又•：NADE=NC,

，/\ACB^/\ADE,

AZBAC^ZEAD.VAB=AC,.".AE=AD，

ABAD+ADAC=NBAD+ZBAE,

ZDAC=ZBAE,

；./XAEB学AADC,CD=BE.

'：BD+DC=BC,

BD+BE=BC.

又噎*

：.AC=k(BD+BE).

【点睛】本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称，熟练进

行角的转换是解题的关键，相似三角形的证明是重点

26.已知二次函数y=ox2+H+C的图象开口向上，且经过点812,一;)

(1)求〃的值(用含。的代数式表示)；

(2)若二次函数y=ax2+Z?x+c在1VXW3时，>的最大值为1,求。的值；

(3)将线段A3向右平移2个单位得到线段43'.若线段AB'与抛物线y=a?+笈+。+4。—1仅有一

个交点，求。的取值范围.

513

【答案】(1)b=-2a-1(«>0)；(2)-；(3)-<