2024届福建省南安市国光中学数学高二第二学期期末统考试题含解析

2024届福建省南安市国光中学数学高二第二学期期末统考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设是实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．已知的模为．且在方向上的投影为，则与的夹角为（）A． B． C． D．3．用数学归纳法证明时，由时的假设到证明时，等式左边应添加的式子是（）A． B．C． D．4．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是（）A． B． C． D．5．命题“，使得”的否定形式是（）A．，使得 B．，使得C．，使得 D．，使得6．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）A．1 B．-1 C．2 D．-27．已知曲线（，）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C．3 D．8．已知,是离心率为的双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，且直线的斜率分别为，，，则的取值范围为（）A． B．C． D．)9．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在内的人数占公司总人数的百分比是（精确到）（）A． B． C． D．10．己知，是椭圆的左右两个焦点，若P是椭圆上一点且，则在中（）A． B． C． D．111．已知函数满足对任意实数，都有，设，，（）A．2018 B．2017 C．-2016 D．-201512．若对于任意实数，函数恒大于零，则实数的取值范围是()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于________________．14．有甲、乙、丙三项不同任务，甲需由人承担，乙、丙各需由人承担，从人中选派人承担这三项任务，不同的选法共有__________种．（用数字作答）15．已知P是底面为正三角形的直三棱柱的上底面的中心，作平面与棱交于点D．若，则三棱锥的体积为_____．16．已知集合则_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，，.求与的夹角；若，，，，且与交于点，求.18．（12分）已知函数.（1）解不等式；（2）若对于任意恒成立，求实数的最小值，并求当取最小值时的范围.19．（12分）已知正项等比数列满足，前三项和．(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足，的前项和为，证明：．20．（12分）已知函数，数列的前项和为，且满足．（1）求的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．21．（12分）已知函数，(1)求函数的单调区间.(2)若函数在上恒成立，求实数m的值．22．（10分）已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递减，q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图像与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

求解不等式，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【题目详解】解：设是实数，若“”则：，即：，不能推出“”若：“”则：，即：，能推出“”由充要条件的定义可知：是实数，则“”是“”的必要不充分条件；故选：B．【题目点拨】本题考查了充分条件和必要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2、A【解题分析】

根据平面向量的投影定义，利用平面向量夹角的公式，即可求解．【题目详解】由题意，，则在方向上的投影为，解得，又因为，所以与的夹角为，故选A．【题目点拨】本题主要考查了平面向量的投影定义和夹角公式应用问题，其中解答中熟记向量的投影的定义和向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．3、B【解题分析】因为当时，等式的左边是，所以当时，等式的左边是，多增加了，应选答案B．点睛：解答本题的关键是搞清楚当时，等式的左边的结构形式，当时，等式的左边的结构形式是，最终确定添加的项是什么，使得问题获解．4、D【解题分析】

利用捆绑法：先从4名男歌手中选一名放在两名女歌手之间，并把他们捆绑在一起看作一个元素和剩余的3名男歌手进行全排列，利用排列组合的知识和分步计数原理求解即可.【题目详解】根据题意，分两步进行：先从4名男歌手中选一名放在两名女歌手之间，同时对两名女歌手进行全排列有种选择；再把他们捆绑在一起看作一个元素和剩余的3名男歌手进行全排列有种选择，由分步计数原理可得，共有出场方案的种数为.故选：D【题目点拨】本题考查利用捆绑法和分步乘法计数原理，结合排列数公式求解排列组合问题；考查运算求解能力和逻辑推理能力；分清排列和组合和两个计数原理是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.5、D【解题分析】试题分析：的否定是，的否定是，的否定是．故选D．【考点】全称命题与特称命题的否定．【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．6、B【解题分析】

根据f（x）是R上的奇函数，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期为4，而由x∈[0，1]时，f（x）=2x-m及f（x）是奇函数，即可得出f（0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．【题目详解】∵是定义在R上的奇函数，且；∴；∴；∴的周期为4；∵时，；∴由奇函数性质可得；∴；∴时，；∴.故选：B.【题目点拨】本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.7、A【解题分析】

将点代入双曲线的渐近线方程，由此求得的值，进而求得双曲线的离心率.【题目详解】双曲线的一条渐近线方程为，将点代入双曲线的渐近线方程得，，故，故选A.【题目点拨】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的离心率的求法，属于基础题.8、B【解题分析】

因为M,N关于原点对称，所以设其坐标，然后再设P坐标，将表示出来.做差得，即有，最后得到关于的函数，求得值域.【题目详解】因为双曲线的离心率，所以有，故双曲线方程即为.设M,N,P的坐标分别是,则，并且做差得，即有，于是有因为的取值范围是全体实数集，所以或，即的取值范围是，故选B.【题目点拨】本题考查双曲线的性质，有一定的综合性和难度.9、A【解题分析】

求出样本平均值与方差，可得年龄在内的人数有5人，利用古典概型概率公式可得结果.【题目详解】,,年龄在内，即内的人数有5人，所以年龄在内的人数占公司总人数的百分比是等于，故选A.【题目点拨】样本数据的算术平均数公式．样本方差公式，标准差.10、A【解题分析】

根据椭圆方程求出、，即可求出、，再根据余弦定理计算可得；【题目详解】解：因为，所以，，又因为，，所以，在中，由余弦定理，即，，故选：【题目点拨】本题考查椭圆的简单几何性质及余弦定理解三角形，属于基础题.11、D【解题分析】

通过取特殊值，可得，进一步可得，然后经过计算可得，最后代值计算，可得结果.【题目详解】由题可知：令，可得令，则所以又由，所以又所以，由所以故选：D【题目点拨】本题考查抽象函数的应用，难点在于发现，，考验观察能力以及分析问题的能力，属中档题.12、D【解题分析】

求出函数的导数，根据导数的符号求出函数的单调区间，求出最值，即可得到实数的取值范围【题目详解】当时，恒成立若，为任意实数，恒成立若时，恒成立即当时，恒成立，设，则当时，，则在上单调递增当时，，则在上单调递减当时，取得最大值为则要使时，恒成立，的取值范围是故选【题目点拨】本题以函数为载体，考查恒成立问题，解题的关键是分离含参量，运用导数求得新函数的最值，继而求出结果，当然本题也可以不分离参量来求解，依然运用导数来分类讨论最值情况。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解题分析】以AD,DC,DD1建立空间直角坐标系，则：得直线和所成角的余弦值等于14、60【解题分析】分析：先从5人中选4人（组合），再给4个人分派3项任务，甲需2人，乙、丙各需由人。详解：先从5人中选4人（组合），再给4个人分派3项任务，甲需2人，乙、丙各需由人（乙、丙派的人不一样故要排列）。共有60种。点睛：分配问题，先分组（组合）后分派（排列）。15、【解题分析】

由题意画出图形，求出AD的长度，代入棱锥体积公式求解．【题目详解】如图，∵P为上底面△A1B1C1的中心，∴A1P，∴tan．设平面BCD交AP于F，连接DF并延长，交BC于E，可得∠DEA＝∠PAA1，则tan∠DEA．∵AE，∴AD．∴三棱锥D﹣ABC的体积为V．故答案为．【题目点拨】本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．16、【解题分析】

先求出集合A，再求得解.【题目详解】由题得所以.故答案为【题目点拨】本题主要考查集合的补集运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、；.【解题分析】

化简得到，再利用夹角公式得到答案.，根据向量关系化简得到，再平方得到得到答案.【题目详解】，.又，，，..又，.，，，，.【题目点拨】本题考查了向量的计算，将表示出来是解题的关键，意在考查学生对于向量公式的灵活运用和计算能力.18、（1）（2）【解题分析】

（1）零点分段去绝对值化简解不等式即可；（2）恒成立，即恒成立，即，由绝对值三角不等式求即可求解【题目详解】（1）当时，不等式化为，解得，可得；当时，不等式化为，解得，可得；当时，不等式化为，解得，可得.综上可得，原不等式的解集为.（2）若恒成立，则恒成立，又最小值为.此时解得.【题目点拨】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式求最值，熟记定理，准确计算是关键，绝对值三角不等式成立条件是易错点，是中档题19、（1）；（2）.【解题分析】分析：（1）根据等比数列的性质，可将转化为，再根据数列各项为正数，可得的值，然后根据前三项和，可求得公比，从而可得数列的通项公式；（2）由（1）可得数列的通项公式，从而可得数列的通项公式，再根据数列的特性，利用裂项相消法即可求得.详解：（1）∵∴∵∴∵，且∴∴（2）∵∴∴．点睛：本题主要考查递推公式求通项的应用，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题.裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：（1）；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.20、（1）（2）猜想．见解析【解题分析】

（1）先求得的值，然后根据已知条件求得，由此求得的值.（2）由（1）猜想数列的通项公式为，然后利用数学归纳法进行证明.【题目详解】（1）由，即，①所以，由①得，②，得．当时，；当时，；当时，．（2）由（1）猜想．下面用数学归纳法证明：①当时，由（1）可知猜想成立；②假设时猜想成立，即，此时，当时，，整理得，所以当时猜想成立．综上所述，对任意成立．【题目点拨】本小题主要考查根据递推关系式求数列某些项的值，考查数学归纳法求数列的通项公式，属于中档题.21、（1）在上单调递增；在上单调递减（2）【解题分析】

（1）对函数求导，讨论参数的取值范围，由导函数求单调区间（2）由题函数在上恒成立等价于在上，构造函数，讨论的单调性进而求得答案。【题目详解】（1）当时，，则函数在上单调递增；当时，由得，解得，由得，解得，所以在上单调递增；在上单调递减。（2）由题函数在上恒成立等价于在上由（1）知当时显然不成立，当时，，只需即可。令，则由解得，由解得所以在上单调递增；在上单调递减，所以所以若函数在上恒成立，则【题目点拨】本题考查含参函数的单调性以及恒成立问题，比较综合，解题的关键是注意讨论参数的取值范围，构造新函数，属于一般题。22、[，1)∪(，＋∞)．【解题分析】

先求出当命题p，q为真命题时的取值范围，由p∨q真，p∧q假可得p与q一真一假，由此可得关于的不等式组，解不等式组可得