2024届湖南省长郡中学数学高二下期末学业水平测试试题含解析

2024届湖南省长郡中学数学高二下期末学业水平测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数，则（）A． B． C． D．2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．16 B．(10＋)π C．4＋(5＋)π D．6＋(5＋)π3．五个人站成一排，其中甲乙相邻的站法有（）A．18种 B．24种 C．48种 D．36种4．已知函数，的值域是，则实数的取值范围是()A．（1,2） B． C．（1,3） D．（1,4）5．角的终边与单位圆交于点,则（）A． B．- C． D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．20 B．10 C．30 D．607．已知的模为．且在方向上的投影为，则与的夹角为（）A． B． C． D．8．已知函数，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．59．下列命题中真命题的个数是（）①，；②若“”是假命题，则都是假命题；③若“，”的否定是“，”A．0 B．1 C．2 D．310．已知i是虚数单位，m,n∈R，且m+i=1+ni，则＝()A．i B．1 C．－i D．－111．已知函数.正实数满足，则下述结论中正确的一项是()A． B．C． D．12．存在实数，使成立的一个必要不充分条件是()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知则的值为．14．已知随机变量服从正态分布，，则__________．15．已知角的终边与单位圆交点的横坐标是，则的值是．16．某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率为________(用数值作答).三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）的展开式中第六项与第七项的系数相等，求和展开式中二项式系数最大的项.18．（12分）在中，角的对边分别是，已知，，.(1)求的值；(2)若角为锐角，求的值及的面积.19．（12分）已知集合，其中，集合．若，求；若，求实数的取值范围．20．（12分）世界那么大，我想去看看，每年高考结束后，处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出（单位:百元）的情况，相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：组别[0,20）[20,40）[40,60）[60,80）[80,100）频数22504502908（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；（2）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布，若该市共有高中毕业生35000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在8100元以上；（3）已知样本数据中旅游费用支出在[80,100）范围内的8名学生中有5名女生，3名男生，现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为，求的分布列与数学期望.附:若，则，21．（12分）学校某社团参加某项比赛，需用木料制作如图所示框架，框架下部是边长分别为的矩形，上部是一个半圆，要求框架围成总面积为.（1）试写出用料（即周长）关于宽的函数解析式，并求出的取值范围；（2）求用料（即周长）的最小值，并求出相应的的值.22．（10分）甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动，在本次海选中有合格和不合格两个等级．若海选合格记1分，海选不合格记0分．假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为，他们海选合格与不合格是相互独立的．（1）求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；（2）记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量,求随机变量的分布列和数学期望．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

首先计算，然后再计算的值.【题目详解】,.故选A.【题目点拨】本题考查了分段函数求值，属于计算题型.2、C【解题分析】分析：由该几何体的三视图判断出组合体各部分的几何特征，以及各部分的几何体相关几何量的数据，由面积公式求出该几何体的表面积.详解：该几何体是两个相同的半圆锥与一个半圆柱的组合体，其表面积为：S＝π＋4π＋4＋π＝4＋(5＋)π.故选：C.点睛：本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是根据三视图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据.3、C【解题分析】

将甲乙看作一个大的元素与其他元素进行排列，再乘即可得出结论．【题目详解】五个人站成一排，其中甲乙相邻，将甲乙看作一个大的元素与其他3人进行排列，再考虑甲乙顺序为，故共种站法.故选：C.【题目点拨】本题考查排列组合的应用，求排列组合常用的方法有：元素优先法、插空法、捆绑法、隔板法、间接法等，解决排列组合问题对学生的抽象思维能力和逻辑思维能力要求较高，本题属于简单题.4、B【解题分析】

先求出当x≤2时，f（x）≥4，则根据条件得到当x＞2时，f（x）=3+logax≥4恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可．【题目详解】当x≤2时，f（x）=﹣x+6≥4，要使f（x）的值域是[4，+∞），则当x＞2时，f（x）=3+logax≥4恒成立，即logax≥1，若0＜a＜1，则不等式logax≥1不成立，当a＞1时，则由logax≥1=logaa，则a≤x，∵x＞2，∴a≤2，即1＜a≤2，故选：D．【题目点拨】本题主要考查函数值域的应用，利用分段函数的表达式先求出当x≤2时的函数的值域是解决本题的关键．5、D【解题分析】

根据三角函数的定义，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解.【题目详解】由题意，角的终边与单位圆交于点,则，由三角函数的定义，可得，则，故选D.【题目点拨】本题主要考查了三角函数的定义，以及余弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的定义，以及余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6、B【解题分析】

根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果.【题目详解】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：；底面面积：三棱锥体积：本题正确选项：【题目点拨】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.7、A【解题分析】

根据平面向量的投影定义，利用平面向量夹角的公式，即可求解．【题目详解】由题意，，则在方向上的投影为，解得，又因为，所以与的夹角为，故选A．【题目点拨】本题主要考查了平面向量的投影定义和夹角公式应用问题，其中解答中熟记向量的投影的定义和向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．8、B【解题分析】

由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得f（x），根据条件作出函数f（x）与h（x）的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论．【题目详解】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，当x＝0时，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，则等价为f（x）＝，当2＜x≤4时，0＜x﹣2≤2，此时f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，当4＜x≤6时，2＜x﹣2≤4，此时f（x）＝f（x﹣2）＝[﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，作出f（x）的图象如图，则f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝，设h（x）＝，则h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，即函数g（x）的零点个数为3个，故选：B．【题目点拨】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．9、B【解题分析】若，，故命题①假；若“”是假命题，则至多有一个是真命题，故命题②是假命题；依据全称命题与特征命题的否定关系可得命题“”的否定是“”，即命题③是真命题，应选答案B．10、A【解题分析】

先根据复数相等得到的值，再利用复数的四则混合运算计算.【题目详解】因为，所以，则.故选A.【题目点拨】本题考查复数相等以及复数的四则混合运算，难度较易.对于复数的四则混合运算，分式类型的复数式子，采用分母实数化计算更加方便.11、A【解题分析】由，即，从而，令，则由得，，可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，，，可得或，又，因此成立，故选A.【方法点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，一元二次不等式的解法及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将方程问题转化为利用导数求最值进而通过解不等式解答.12、D【解题分析】分析：先求成立充要条件，即的最小值，再根据条件之间包含关系确定选择.详解：因为存在实数，使成立，所以的最小值,因为，所以,因为，因此选D.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

试题分析：,.考点：分段函数求值．14、0.22.【解题分析】

正态曲线关于x＝μ对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。【题目详解】【题目点拨】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题．15、【解题分析】试题分析：由题意得.考点：三角函数的定义；同角三角函数的基本关系式；诱导公式.16、【解题分析】

直接运用独立重复试验次，有次发生的事件的概率公式进行求解.【题目详解】投球10次，恰好投进3个球的概率为,故答案为.【题目点拨】本题考查了独立重复试验次，有次发生的事件的概率公式，考查了数学运算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、,二项式系数最大的项为．【解题分析】

利用二项式定理的通项公式及其性质、排列与组合数的计算公式即可得出．【题目详解】，，依题意有，，化为：，解得．所以的展开式中，二项式系数最大的项为．【题目点拨】本题考查二项式定理展开式及其性质、排列与组合数的计算公式、方程的解法，考查推理能力与计算能力，属于基础题．18、(1)；(2)，.【解题分析】试题分析：（1）根据题意和正弦定理求出a的值；

（2）由二倍角的余弦公式变形求出，由的范围和平方关系求出，由余弦定理列出方程求出的值，代入三角形的面积公式求出的面积．试题解析：(1)因为，，由正弦定理，得.(2)因为，且，所以，.由余弦定理，得，解得或(舍)，所以.19、（1）；【解题分析】

解出二次不等式以及分式不等式得到集合和，根据并集的定义求并集；由集合是集合的子集，可得，根据包含关系列出不等式，求出的取值范围.【题目详解】集合，由，则，解得，即，，则，则．，即，可得，解得，故m的取值范围是【题目点拨】本题考查集合的交并运算，以及由集合的包含关系求参数问题，属于基础题．在解有关集合的题的过程中，要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.20、（1）51；（2）805；（3）见解析【解题分析】试题分析：（1）根据中位数定义列式解得中位数，（2）由正态分布得旅游费用支出在元以上的概率为，再根据频数等于总数与频率乘积得人数.(3)先确定随机变量取法，再利用组合数分别求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析：（1）设样本的中位数为，则，解得，所得样本中位数为（百元）.（2），，，旅游费用支出在元以上的概率为，，估计有位同学旅游费用支出在元以上.（3）的可能取值为，，，，，，，，∴的分布列为.21、（1），；（2），此时【解题分析】

（1）根据面积可得到与的关系，写出周长即可（2）根据（1）写出的，利用均值不等式求解即可.【题目详解】（1），，，由得.（2），，当且仅当，即等号成立.【题目点拨】本题主要考查了实际问题中的函数关系，均值不等式，属于中档题.22、（1）．（2）的分布列为

0

1

2

1

．【解题分析】试