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文档简介
湖北省襄阳市东风中学2024届数学高二第二学期期末考试模拟试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知三棱锥S-ABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为A.34B.C.74D.2.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为,各成员的支付方式相互独立,设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,,,则A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.33.设奇函数的最小正周期为,则()A.在上单调递减 B.在上单调递减C.在上单调递增 D.在上单调递增4.已知曲线,给出下列命题:①曲线关于轴对称;②曲线关于轴对称;③曲线关于原点对称;④曲线关于直线对称;⑤曲线关于直线对称,其中正确命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.45.设X~N(1,σ2),其正态分布密度曲线如图所示,且P(X≥3)=0.0228,那么向正方形OABC中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为()(附:随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%)A.6038 B.6587 C.7028 D.75396.三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,Q是BC边上的一个动点,且直线PQ与面ABC所成角的最大值为则该三棱锥外接球的表面积为()A. B. C. D.7.已知幂函数的图象关于y轴对称,且在上是减函数,则()A.- B.1或2 C.1 D.28.若,则的值是()A.-2B.-3C.125D.-1319.函数有()A.最大值为1 B.最小值为1C.最大值为 D.最小值为10.已知球是棱长为1的正方体的外接球,则平面截球所得的截面面积为()A. B. C. D.11.若对于任意实数,函数恒大于零,则实数的取值范围是()A. B. C. D.12.如下图,在同一直角坐标系中表示直线y=ax与y=x+a,正确的是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.棱长为1的正方体的8个顶点都在球面O的表面上,E、F分别是棱、的中点,则直线EF被球O截得的线段长为________14.在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点,则="______________________."15.某课题组进行城市空气质量调查,按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数分别为4,12,8,若用分层抽样抽取6个城市,则丙组中应抽取的城市数为_______.16.向量,,在正方形网格(每个小正方形的边长为1)中的位置如图所示,若向量与共线,则________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,四棱锥中,底面为平行四边形,底面,是棱的中点,且.(1)求证:平面;(2)如果是棱上一点,且直线与平面所成角的正弦值为,求的值.18.(12分)如图(1)是一个仿古的首饰盒,其左视图是由一个半径为分米的半圆和矩形组成,其中长为分米,如图(2).为了美观,要求.已知该首饰盒的长为分米,容积为4立方分米(不计厚度),假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关,下半部分的制作费用为每平方分米2百元,上半部制作费用为每平方分米4百元,设该首饰盒的制作费用为百元.(1)写出关于的函数解析式;(2)当为何值时,该首饰盒的制作费用最低?19.(12分)已知圆圆心为,定点,动点在圆上,线段的垂直平分线交线段于点.求动点的轨迹的方程;若点是曲线上一点,且,求的面积.20.(12分)证明下列不等式:(1)用分析法证明:;(2)已知是正实数,且.求证:.21.(12分)已知是定义在上的奇函数,且当时,.(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)解不等式.22.(10分)如图,在四棱锥中,平面,底面是正形,,为的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】略视频2、B【解题分析】分析:判断出为二项分布,利用公式进行计算即可.或,,可知故答案选B.点睛:本题主要考查二项分布相关知识,属于中档题.3、B【解题分析】分析:利用辅助角公式将函数进行化简,根号函数的周期和奇偶性即可得到结论.详解:,
∵函数的周期是,,
∵)是奇函数,
即∴当时,即则在单调递减,
故选:B.点睛:本题主要考查三角函数的解析式的求解以及三角函数的图象和性质,利用辅助角公式是解决本题的关键.4、C【解题分析】
根据定义或取特殊值对曲线的对称性进行验证,可得出题中正确命题的个数.【题目详解】在曲线上任取一点,该点关于轴的对称点的坐标为,且,则曲线关于轴对称,命题①正确;点关于轴的对称点的坐标为,且,则曲线关于轴对称,命题②正确;点关于原点的对称点的坐标为,且,则曲线关于原点对称,命题③正确;在曲线上取点,该点关于直线的对称点坐标为,由于,则曲线不关于直线对称,命题④错误;在曲线上取点,该点关于直线的对称点的坐标为,由于,则曲线不关于直线对称,命题⑤错误.综上所述,正确命题的个数为.故选:C.【题目点拨】本题考查曲线对称性的判定,一般利用对称性的定义以及特殊值法进行判断,考查推理能力,属于中等题.5、B【解题分析】分析:求出,即可得出结论.详解:由题意得,P(X≤-1)=P(X≥3)=0.0228,∴P(-1<X<3)=1-0.0228×2=0.9544,∴1-2σ=-1,σ=1,∴P(0≤X≤1)=P(0≤X≤2)=0.3413,故估计的个数为10000×(1-0.3413)=6587,故选:B.点睛:本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量和的应用,考查曲线的对称性.6、C【解题分析】
根据题意画出图形,结合图形找出△ABC的外接圆圆心与三棱锥P﹣ABC外接球的球心,求出外接球的半径,再计算它的表面积.【题目详解】三棱锥P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,直线PQ与平面ABC所成角为θ,如图所示;则sinθ==,且sinθ的最大值是,∴(PQ)min=2,∴AQ的最小值是,即A到BC的距离为,∴AQ⊥BC,∵AB=2,在Rt△ABQ中可得,即可得BC=6;取△ABC的外接圆圆心为O′,作OO′∥PA,∴=2r,解得r=2;∴O′A=2,取H为PA的中点,∴OH=O′A=2,PH=,由勾股定理得OP=R==,∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是S=4πR2=4×=57π.故答案为C【题目点拨】本题主要考查正弦定理和线面位置关系,考查了几何体外接球的应用问题,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键求外接球的半径.7、C【解题分析】分析:由为偶数,且,即可得结果.详解:幂函数的图象关于轴对称,且在上是减函数,为偶数,且,解得,故选C.点睛:本题考查幂函数的定义、幂函数性质及其应用,意在考查综合利用所学知识解决问题的能力.8、C【解题分析】试题分析:由题意可知,令得,令得所以考点:二项式系数9、A【解题分析】
对函数进行求导,判断出函数的单调性,进而判断出函数的最值情况.【题目详解】解:,当时,,当时,,在上单调递增,在上单调递减,有最大值为,故选A.【题目点拨】本题考查了利用导数研究函数最值问题,对函数的导函数的正负性的判断是解题的关键.10、D【解题分析】
根据正方体的特征,求出球的直径和球心O到平面的距离,求出截面圆的半径,即可得到面积.【题目详解】球是棱长为1的正方体的外接球,其体对角线就是球的直径,所以球的半径为,根据正方体的性质O到平面的距离为,所以平面截球所得的截面圆的半径为,所以其面积为.故选:D【题目点拨】此题考查求几何体外接球问题,根据几何特征求出外接球的半径,根据圆心到截面的距离求截面圆的半径,进而求解面积.11、D【解题分析】
求出函数的导数,根据导数的符号求出函数的单调区间,求出最值,即可得到实数的取值范围【题目详解】当时,恒成立若,为任意实数,恒成立若时,恒成立即当时,恒成立,设,则当时,,则在上单调递增当时,,则在上单调递减当时,取得最大值为则要使时,恒成立,的取值范围是故选【题目点拨】本题以函数为载体,考查恒成立问题,解题的关键是分离含参量,运用导数求得新函数的最值,继而求出结果,当然本题也可以不分离参量来求解,依然运用导数来分类讨论最值情况。12、A【解题分析】
由题意逐一考查所给的函数图像是否符合题意即可.【题目详解】逐一考查所给的函数图像:对于选项A,过坐标原点,则,直线在轴的截距应该小于零,题中图像符合题意;对于选项C,过坐标原点,则,直线在轴的截距应该大于零,题中图像不合题意;过坐标原点,直线的倾斜角为锐角,题中BD选项中图像不合题意;本题选择A选项.【题目点拨】本题主要考查分类讨论的数学思想,一次函数的性质等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、.【解题分析】分析:详解:正方体的外接球球心为O,半径为,假设2和线段EF相较于HG两点,连接OG,取GH的中点为D连接OD,则ODG为直角三角形,OD=,根据勾股定理得到故GH=.故答案为.点睛:涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.14、【解题分析】
解:过点(3,0)且与极轴垂直的直线方程为x=3,曲线ρ=1cosθ即ρ2=1ρcosθ,即x2+y2=1x,(x-2)2+y2=1.把x=3代入(x-2)2+y2=1可得y=±,故|AB|=215、2【解题分析】
根据抽取6个城市作为样本,得到每个个体被抽到的概率,用概率乘以丙组的数目,即可得到结果.【题目详解】城市有甲、乙、丙三组,对应的城市数分别为4,12,8.
本市共有城市数24,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本,
每个个体被抽到的概率是,丙组中对应的城市数8,则丙组中应抽取的城市数为,故答案为2.【题目点拨】本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用,属于基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显,层次清晰的抽样,其主要性质是,每个层次,抽取的比例相同.16、【解题分析】
建立平面直角坐标系,从而得到的坐标,这样即可得出的坐标,根据与共线,可求出,从而求出的坐标,即得解.【题目详解】建立如图所示平面直角坐标系,则:;与共线故答案为:【题目点拨】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表示,考查了学生概念理解,数形结合,数学运算的能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2).【解题分析】试题分析:(1)由所以.又因为底面平面;(2)如图以为原点建立空间直角坐标系,求得平面的法向量和.试题解析:(1)连结,因为在中,,所以,所以.因为,所以.又因为底面,所以,因为,所以平面(2)如图以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,则.因为是棱的中点,所以.所以,设为平面的法向量,所以,即,令,则,所以平面的法向量因为是在棱上一点,所以设.设直线与平面所成角为,因为平面的法向量,所以.解得,即,所以考点:1、线面垂直;2、线面角.18、(1);(2)当分米时,该首饰盒制作费用最低.【解题分析】分析:该几何体下面是一个长方体,上面是半个圆柱,由体积求得,然后分别求出上半部分和下半部分的面积,从而可得关于的解析式,注意要由可求得的取值范围.(2)利用导数可求得的最小值.详解:(1)由题知,∴.又因,得,∴.(2)令,∴,令则,∵,当时,函数为增函数.∴时,最小.答:当分米时,该首饰盒制作费用最低.点睛:本题考查导数的实际应用.解题关键是求出费用关于的函数解析式,解题中要注意求出的取值范围.然后就可由导数的知识求得最小值.19、;.【解题分析】
由已知,故,即点轨迹是以、为焦点的椭圆,根据,,得出椭圆方程;由知,又因为,得出,进而求出,算出面积即可.【题目详解】由已知,故点轨迹是以、为焦点的椭圆.设其方程为则即,又,故.点的轨迹的方程为:.由知.又.有,.【题目点拨】本题考查椭圆得方程求法,余弦定理,三角形面积公式的应用,属于中档题.20、(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解题分析】分析:⑴两边同时平方即可证明不等式⑵构造同理得到其他形式,然后运用不等式证明详解:(1)证明:要证成立,只需证,即证,只需证,即证显然为真,故原式成立.(2)证明:∵,∴.点睛:本题主要考查的是不等式的证明,着重考查了基本不等式的变形与应用,考查了综合法和推理论证的能力,属于中档题。21、(Ⅰ);(Ⅱ).【解题分析】
(Ⅰ)当时,,因为是定义在上的奇函数,所以可得;,进而求出解析式.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得出函数的单调性,利用单调性解不等式.【题目详解】(Ⅰ)当时,,因为是
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