湖北省武汉市新洲一中阳逻校区2024届高二数学第二学期期末达标测试试题含解析

湖北省武汉市新洲一中阳逻校区2024届高二数学第二学期期末达标测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知展开式的常数项为15，则（）A． B．0 C．1 D．-12．已知函数，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．53．已知点在椭圆上，、分别是椭圆的左、右焦点，的中点在轴上，则等于（）A． B． C． D．4．若函数，设，，，则，，的大小关系A． B．C． D．5．将4名志愿者分别安排到火车站、轮渡码头、机场工作，要求每一个地方至少安排一名志愿者，其中甲、乙两名志愿者不安排在同一个地方工作，则不同的安排方法共有A．24种 B．30种 C．32种 D．36种6．对于两个平面和两条直线，下列命题中真命题是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则7．已知椭圆（为参数）与轴正半轴，轴正半轴的交点分别为，动点是椭圆上任一点，则面积的最大值为（）A． B． C． D．8．某医疗机构通过抽样调查(样本容量n=1000)，利用2×2列联表和统计量研究患肺病是否与吸烟有关.计算得，经查阅临界值表知，下列结论正确的是()0.0500.0100.001k3.8416.63510.828A．在100个吸烟的人中约有95个人患肺病 B．若某人吸烟，那么他有的可能性患肺病C．有的把握认为“患肺病与吸烟有关” D．只有的把握认为“患肺病与吸烟有关”9．如果函数在上的图象是连续不断的一条曲线，那么“”是“函数在内有零点”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．函数的部分图象可能是（）A． B．C． D．11．已知随机变量,且,则与的值分别为A．16与0.8 B．20与0.4C．12与0.6 D．15与0.812．执行如图所示的程序框图，则输出的（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．双曲线的焦点是，若双曲线上存在点，使是有一个内角为的等腰三角形，则的离心率是______；14．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数为_____．15．在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科，3门文科）中选择3门学科参加等级考试，小李同学受理想中的大学专业所限，决定至少选择一门理科学科，那么小李同学的选科方案有________种.16．在正四面体P-ABC，已知M为AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，．（1）令，当时，求实数的取值范围；（2）令的值域为，求实数的取值范围；（3）已知函数在，数集上都有定义，对任意的，当时或成立，则称是数集上的限制函数；令函数，求其在上的限制函数的解析式，并求在上的单调区间．18．（12分）如图所示，已知是椭圆：的右焦点，直线：与椭圆相切于点．（1）若，求；（2）若，，求椭圆的标准方程．19．（12分）给出如下两个命题：命题，；命题已知函数，且对任意，，，都有，求实数的取值范围，使命题为假，为真.20．（12分）时下，租车自驾游已经比较流行了．某租车点的收费标准为：不超过天收费元，超过天的部分每天收费元（不足天按天计算）．甲、乙两人要到该租车点租车自驾到某景区游览，他们不超过天还车的概率分别为和，天以上且不超过天还车的概率分别为和，两人租车都不会超过天．（1）求甲所付租车费比乙多的概率；（2）设甲、乙两人所付的租车费之和为随机变量,求的分布列和数学期望.21．（12分）已知在的展开式中，第6项为常数项．求n的值；求展开式的所有项的系数之和；求展开式中所有的有理项．22．（10分）设函数f（x）=，求函数f（x）的单调区间．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项，再根据常数项为15，求得的值．【题目详解】解：二项式的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项为，由此求得，故选：．【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．2、B【解题分析】

由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得f（x），根据条件作出函数f（x）与h（x）的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论．【题目详解】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，当x＝0时，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，则等价为f（x）＝，当2＜x≤4时，0＜x﹣2≤2，此时f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，当4＜x≤6时，2＜x﹣2≤4，此时f（x）＝f（x﹣2）＝[﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，作出f（x）的图象如图，则f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝，设h（x）＝，则h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，即函数g（x）的零点个数为3个，故选：B．【题目点拨】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．3、A【解题分析】由题意可得，设P，且，所以=，选A.【题目点拨】若，是椭圆的左、右焦点，且，则点P的坐标为．4、D【解题分析】

根据题意，结合二次函数的性质可得在上为增函数，结合对数的运算性质可得，进而可得，结合函数的单调性分析可得答案．【题目详解】根据题意，函数，是二次函数，其对称轴为y轴，且在上为增函数，，，，则有，则；故选：D．【题目点拨】本题考查函数的奇偶性以及单调性的判定以及应用，涉及对数的运算，属于基础题．5、B【解题分析】

利用间接法，即首先安排4人到三个地方工作的安排方法数N，再求出当甲、乙两名志愿者安排在同一个地方时的安排方法数n，于是得出答案N-n。【题目详解】先考虑安排4人到三个地方工作，先将4人分为三组，分组有C42种，再将这三组安排到三个地方工作，则安排4人到三个地方工作的安排方法数为当甲、乙两名志愿者安排在同一个地方时，则只有一个分组情况，此时，甲、乙两名志愿者安排在同一个地方工作的安排方法数为n=A因此，所求的不同安排方法数为N-n=36-6=30种，故选：B。【题目点拨】本题考查排列组合综合问题的求解，当问题分类情况较多或问题中带有“至少”时，宜用间接法来考查，即在总体中减去不符合条件的方法数，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题。6、D【解题分析】

根据线面平行垂直的位置关系判断．【题目详解】A中可能在内，A错；B中也可能在内，B错；与可能平行，C错；，则或，若，则由得，若，则内有直线，而易知，从而，D正确．故选D．【题目点拨】本题考查线面平行与垂直的关系，在说明一个命题是错误时可举一反例．说明命题是正确时必须证明．7、B【解题分析】分析：根据椭圆的方程算出A（4，1）、B（1，3），从而得到|AB|=5且直线AB：3x+4y﹣12=1．设点P（4cosθ，3sinθ），由点到直线的距离公式算出P到直线AB距离为d=|sin﹣1|，结合三角函数的图象与性质算出dmax=（），由此结合三角形面积公式，即可得到△PAB面积的最大值．详解：由题得椭圆C方程为：，∴椭圆与x正半轴交于点A（4，1），与y正半轴的交于点B（1，3），∵P是椭圆上任一个动点，设点P（4cosθ，3sinθ）（θ∈[1，2π]）∴点P到直线AB：3x+4y﹣12=1的距离为d==|sin﹣1|，由此可得：当θ=时，dmax=（）∴△PAB面积的最大值为S=|AB|×dmax=6（）.点睛：(1)本题主要考查椭圆的参数方程和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)对于|sin﹣1|，不是sin=1时，整个函数取最大值，而应该是sin=-1，要看后面的“-1”.8、C【解题分析】

将计算出的与临界值比较即可得答案。【题目详解】由题得，且由临界值表知，所以有的把握认为“患肺病与吸烟有关”，故选C.【题目点拨】本题考查独立性检验，解题的关键是将估计值与临界值比较，属于简单题。9、A【解题分析】

由零点存在性定理得出“若，则函数在内有零点”举反例即可得出正确答案.【题目详解】由零点存在性定理可知，若，则函数在内有零点而若函数在内有零点，则不一定成立，比如在区间内有零点，但所以“”是“函数在内有零点”的充分而不必要条件故选：A【题目点拨】本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于中档题.10、B【解题分析】∵，∴，∴函数的定义域为，又，∴函数为偶函数，且图象关于轴对称，可排除、．又∵当时，，可排除．综上，故选．点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．11、D【解题分析】因为随机变量，且，且，解得，故选D.12、B【解题分析】

模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化即可得到答案.【题目详解】由题意，输入值，，第一次执行，，，不成立；第二次执行，，，不成立；第三次执行，，，不成立；第四次执行，，，不成立；第五次执行，，，成立，输出.故选：B【题目点拨】本题主要考查循环框图的应用，按照框图的程序运行即可得出正确答案，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的腰应该为与或与，不妨设等腰三角形的腰为与，故可得到的值，再根据等腰三角形的内角为，求出的值，利用双曲线的定义可得双曲线的离心率.【题目详解】解：根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的两个腰应为与或与，不妨设等腰三角形的腰为与，且点在第一象限，故，等腰有一内角为，即，由余弦定理可得，，由双曲线的定义可得，，即，解得：.【题目点拨】本题考查了双曲线的定义、性质等知识，解题的关键是要能准确判断出等腰三角形的腰所在的位置.14、40【解题分析】设B层中的个体数为，则，则总体中的个体数为15、19【解题分析】

6门学科（3门理科，3门文科）中选择3门学科可以分为全为理科，有理科有文科，全为文科，决定至少选择一门理科学科包括前两种，考虑起来比较麻烦，故用间接法：用总数减去全为文科的数量.【题目详解】根据题意，从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科任选3门，有种选取方法，其中全部为文科科目，没有理科科目的选法有种，所以至少选择一门理科学科的选法有20－1＝19种；故答案为：19，【题目点拨】本题考查排列组合.方法：1、直接考虑，适用包含情况较少时；2、间接考虑，当直接考虑情况较多时，可以用此法.16、【解题分析】分析：取的中点，连接，由三角形中位线定理可得即为与所成的角或其补角，利用余弦定理可得结果.详解：取的中点，连接，由三角形中位线定理可得，，故即为与所成的角或其补角，因为是正四面体，不妨设令其棱长为，则由正四面体的性质可求得，故，故答案为.点睛：本题主要考查余弦定理的应用以及异面直线所成角的求法，求异面直线所成的角的做题步骤分为三步，分别为：作角、证角、求角，尤其是第二步证明过程不可少，是本题易失点分，切记.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）增区间为在【解题分析】

（1）由分段函数求值问题，讨论落在哪一段中，再根据函数值即可得实数的取值范围；（2）由分段函数值域问题，由函数的值域可得，再求出实数的取值范围；（3）先阅读题意，再由导数的几何意义求得，再利用导数研究函数的单调性即可.【题目详解】解:（1）由,且时，当时,有时,,与题设矛盾,当时,有时,,与题设相符,故实数的取值范围为:;（2）当，，因为，所以，即，当，，因为，所以，即，又由题意有，所以，故实数的取值范围为；（3）由的导函数为，由导数的几何意义可得函数在任一点处的导数即为曲线在这一点处切线的斜率，由限制函数的定义可知，由，即函数在为增函数，故函数在为增函数.【题目点拨】本题考查了分段函数求值问题、分段函数值域问题及导数的几何意义，重点考查了阅读理解能力，属中档题.18、（1）；（2）.【解题分析】

（1）把直线方程与椭圆方程联立，消去得的一元二次方程，直线与椭圆相切，则，结合可求得；（2）利用（1）中结论可求得点坐标，作轴于点,轴于点,由,,则有，因此,,这样可由点坐标表示出点坐标，由在直线上可得，这样结合，可解得得椭圆标准方程．【题目详解】（1）由直线与椭圆方程联立得，①，因直线与椭圆相切，则，因此可得；若，则；（2）将代入方程①式可得，因此，，因此点，作轴于点,轴于点,∵,,则有，因此,,∴，，∴，∵在直线上，因此，化简得；又由，则可得，即有，∵，∴，则，，因此所求的椭圆方程为.【题目点拨】本题考查求椭圆的标准方程．考查直线与椭圆位置关系．直线与椭圆相切，只能由直线方程与椭圆方程联立，消元后得二次方程，则有结论．第（2）小题有一定的难度，关键是还要一个的关系式，题中解法是通过几何方法，由点坐标表示出点坐标，僄代入直线方程得到关系式．另一种方法是，然后取中点为，则有（不需要再求线段长了），这样两个垂直也可以建立起的关系式．19、【解题分析】

判断命题的否定为真时，实数的取值范围，从而得到命题为真时实数的取值范围，化简不等式可知只需在上是减函数。取绝对值讨论在不同区间内的解集即可。【题目详解】由已知，若命题，，是真命题令则在区间没有零点令，可得，其对称轴为要使得在区间没有零点即解得实数的取值范围为则当命题p为真时，因为，所以，。设，依题意，在上是减函数，。①当时，

，。令，得：对恒成立。设，则。因为，所以。所以在上是增函数，则当时，有最大值为，所以。②当时，

，。令，得：。设，则，所以在上是增函数。所以，所以。综合①②，又因为在上是图形连续不断的，所以。故若q为真，则则p真q假为则q真p假综上【题目点拨】本题主要考查了转化化归的思想以及导数的应用，存在性的命题可将其转化为否定命题，进而得到原命题的真假，属于难题.20、（1）；（2）见解析【解题分析】

（1）将情况分为甲租天以上，乙租不超过天；甲租天，乙租天两种情况；分别在两种情况下利用独立事件概率公式可求得对应概率，加和得到结果；（2）首先确定所有可能的取值，再求得每个取值所对应的概率，从而得到分布列；利用数学期望计算公式求得期望.【题目详解】（1）若甲所付租车费比乙多，则分为：甲租天以上，乙租不超过天；甲租天，乙租天两种情况①甲租天以上，乙租不超过天的概率为：②甲租天，乙租天的概率为：甲所付租车费比乙多的概率为：（2）甲、乙两人所付