上海市闵行区闵行中学2024届数学高二下期末综合测试模拟试题含解析

上海市闵行区闵行中学2024届数学高二下期末综合测试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的导函数为，且满足，则的值为（）A．6 B．7 C．8 D．92．已知集合，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素集合，则可以组成这样的新集合的个数为（）A． B． C． D．3．已知函数的图象关于直线对称，且在上为单调函数，下述四个结论：①满足条件的取值有个②为函数的一个对称中心③在上单调递增④在上有一个极大值点和一个极小值点其中所有正确结论的编号是（）A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③4．若，若，则实数的值为（）A． B． C． D．5．（）A． B． C． D．6．已知，，则A． B． C． D．7．已知定义在R上的偶函数（其中e为自然对数的底数），记，，，则a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．8．已知双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（）A． B． C． D．9．己知弧长的弧所对的圆心角为弧度，则这条弧所在的圆的半径为（）A． B． C． D．10．设是等差数列的前项和，已知，，则等于（）．A． B． C． D．11．已知曲线在点处的切线方程为，则（）A． B． C． D．12．将函数图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移个单位长度，所得函数图像关于对称，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知矩阵，则矩阵的逆矩阵为_________.14．设，则__________．15．以下个命题中，所有正确命题的序号是______.①已知复数，则；②若，则③一支运动队有男运动员人，女运动员人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为的样本，则样本中男运动员有人；④若离散型随机变量的方差为，则.16．将极坐标方程化为直角坐标方程得________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知；方程表示焦点在轴上的椭圆.若为真，求的取值范围.18．（12分）已知向量，，函数，在中，，，点在边上，且．（1）求的长；（2）求的面积．19．（12分）已知点P(2,2),圆，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求点M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.20．（12分）如图，圆的半径为2，点是圆的一条半径的中点，是圆过点的动弦.(1)当是的中点时，求的值;(2)若，,,且.①,的值;②求的值.21．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.22．（10分）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，.（Ⅰ）求及边的值；（Ⅱ）求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

求出，再把代入式子，得到.【题目详解】因为，所以.选C.【题目点拨】本题考查对的理解，它是一个常数，通过构造关于的方程，求得的值.2、C【解题分析】分析：根据解元素的特征可将其分类为：集合中有5和没有5两类进行分析即可.详解：第一类：当集合中无元素5：种，第二类：当集合中有元素5：种，故一共有14种，选C点睛：本题考查了分类分步计数原理，要做到分类不遗漏，分步不重叠是解题关键.3、D【解题分析】

依照题意找出的限制条件，确定，得到函数的解析式，再根据函数图像逐一判断以下结论是否正确．【题目详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，又在上为单调函数，，即，所以或，即或所以总有，故①②正确；由或图像知，在上单调递增，故③正确；当时，只有一个极大值点，不符合题意，故④不正确；综上，所有正确结论的编号是①②③．【题目点拨】本题主要考查三角函数的图像与性质，意在考查学生综合分析解决问题的能力．4、B【解题分析】

令，将二项式转化为，然后利用二项式定理求出的系数，列方程求出实数的值．【题目详解】令，则，所以，展开式的通项为，令，得，，解得，故选B.【题目点拨】本题考查二项式定理，考查利用二项式定理指定项的系数求参数的值，解题的关键依据指数列方程求参数，利用参数来求解，考查计算能力，属于中等题．5、C【解题分析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，即可得到答案．【题目详解】由，故选C．【题目点拨】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6、A【解题分析】，故选A.7、A【解题分析】

先根据函数奇偶性，求出，得到，再由指数函数单调性，以及余弦函数单调性，得到在上单调递增，进而可得出结果.【题目详解】因为是定义在R上的偶函数，所以，即，即，所以，解得：，所以，当时，，因为是单调递增函数，在上单调递减，所以在上单调递增，又，所以，即.故选：A.【题目点拨】本题主要考查由函数单调比较大小，由函数奇偶性求参数，熟记函数单调性与奇偶性即可，属于常考题型.8、B【解题分析】

由渐近线方程得出的值，结合可求得【题目详解】∵双曲线的一条渐近线方程为，∴，∴，解得，即离心率为．故选：B．【题目点拨】本题考查双曲线的渐近线和离心率，解题时要注意，要与椭圆中的关系区别开来．9、D【解题分析】

利用弧长公式列出方程直接求解，即可得到答案．【题目详解】由题意，弧长的弧所对的圆心角为2弧度，则，解得，故选D．【题目点拨】本题主要考查了圆的半径的求法，考查弧长公式等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题．10、C【解题分析】试题分析：依题意有，解得，所以.考点：等差数列的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念.在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．11、D【解题分析】

通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．【题目详解】详解：，将代入得，故选D．【题目点拨】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．12、B【解题分析】

运用三角函数的图像变换，可得，再由余弦函数的对称性，可得，计算可得所求值.【题目详解】函数图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则可得，再把得到的图像向左平移个单位长度，则可得，因为所得函数图像关于对称，所以，即，解得：，所以：故选：B【题目点拨】本题考查了三角函数的图像变换以及余弦函数的对称性，属于一般题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：根据逆矩阵公式得结果.详解：因为的逆矩阵为，所以矩阵A的逆矩阵为点睛：求逆矩阵方法：（1）公式法：的逆矩阵为，（2）定义法：.14、【解题分析】由正态分布中三个特殊区间上的概率知，∴．答案：15、①③④【解题分析】

根据复数的模的运算可知，①正确；代入，，所得式子作差即可知②正确；利用分层抽样原则计算可知③正确；根据方差的性质可知④正确.【题目详解】①，则，①正确；②令，则；令，则，②错误；③抽样比为：，则男运动员应抽取：人，③正确；④由方差的性质可知：，④正确.本题正确结果：①③④【题目点拨】本题考查命题的真假性的判断，涉及到复数模长运算、二项式系数和、分层抽样、方差的性质等知识，属于中档题.16、【解题分析】

在曲线极坐标方程两边同时乘以，由可将曲线的极坐标方程化为普通方程.【题目详解】在曲线极坐标方程两边同时乘以，得，化为普通方程得，即，故答案为：.【题目点拨】本题考查曲线极坐标方程与普通方程之间的转化，解题时充分利用极坐标与普通方程之间的互化公式，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、.【解题分析】试题分析：因为，可命题为真时，又由命题为时，即可求解实数的取值范围.试题解析：因为，所以若命题为真，则.若命题为真，则，即.因为为真，所以.18、（1）3；（2）.【解题分析】

（1）首先化简得到，根据得到，再利用正弦定理即可求出的长度.（2）首先在中利用余弦定理求得，再利用面积公式即可求出.【题目详解】（1）.因为，，，所以，.又因为，所以，在中，由正弦定理得：，解得：.（2）因为，所以.在中，由余弦定理得：.整理得：，解得或（舍去）.所以.【题目点拨】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查了三角函数的恒等变换，属于中档题.19、(1)；(2)直线的方程为，的面积为.【解题分析】

求得圆的圆心和半径.（1）当三点均不重合时，根据圆的几何性质可知，是定点，所以的轨迹是以为直径的圆（除两点），根据圆的圆心和半径求得的轨迹方程.当三点有重合的情形时，的坐标满足上述求得的的轨迹方程.综上可得的轨迹方程.（2）根据圆的几何性质（垂径定理），求得直线的斜率，进而求得直线的方程.根据等腰三角形的几何性质求得的面积.【题目详解】圆，故圆心为，半径为.(1)当C,M,P三点均不重合时,∠CMP=90°,所以点M的轨迹是以线段PC为直径的圆(除去点P,C),线段中点为，，故的轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2(x≠2,且y≠2或x≠0,且y≠4).当C,M,P三点中有重合的情形时,易求得点M的坐标为(2,2)或(0,4).综上可知,点M的轨迹是一个圆,轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上.又P在圆N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以的斜率为，故的方程为，即.又易得|OM|=|OP|=，点O到的距离为，，所以△POM的面积为.【题目点拨】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查圆的几何性质，考查等腰三角形面积的计算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.20、（1）（2）.【解题分析】分析：（1）先根据是的中点时，解得,再根据向量数量积定义求的值;（2）①根据解得，再根据分解唯一性得,的值;②由得，再根据向量夹角公式得结果.详解：解：（1）因为为圆的弦的中点，所以因为为的中点，所以在中,,所以,所以所以（2）①因为所以所以又，且与不共线所以，②因为所以即因为,所以所以因此.点睛：平面向量与几何综合问题的求解方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．21、（1）：，：；（2），此时.【解题分析】试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.试题解析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为.（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．22、(1)，或；(2)