2024届广东省深圳市罗湖区罗湖外国语学校高二数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2024届广东省深圳市罗湖区罗湖外国语学校高二数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某锥体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积最小值为（）A． B． C．1 D．22．在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为1，圆心在直线上，若圆上存在点，使得，则圆心的横坐标的取值范围为（）A． B． C． D．3．设x＝，y＝，z＝－，则x，y，z的大小关系是()A．x＞y＞z B．z＞x＞yC．y＞z＞x D．x＞z＞y4．在某次体检中，学号为（）的四位同学的体重是集合中的元素，并满足，则这四位同学的体重所有可能的情况有（）A．55种 B．60种 C．65种 D．70种5．函数的定义域（）A． B．C． D．6．方程所表示的曲线是（）A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分 C．圆的一部分 D．直线的一部分7．已知奇函数的导函数为，当时，，若，，则的大小关系正确的是（）A． B． C． D．8．“”是“”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．已知函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，命题：总存在，有；命题：若函数在区间上有，则是的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要10．已知函数,若是函数唯一的极值点,则实数的取值范围为()A． B． C． D．11．下列关于积分的结论中不正确的是（）A． B．C．若在区间上恒正，则 D．若，则在区间上恒正12．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，=x+2y+3z，则x+y+z=（）A．1 B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已双曲线过点，其渐近线方程为，则双曲线的焦距是_________；14．现在“微信抢红包”异常火爆．在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额9元，被随机分配为元，元，元，元，元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于5元的概率是__________．15．已知一组数据，，，，的方差为，则数据2，2，2，2，2的方差为_______．16．已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_________。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）4个不同的红球和6个不同的白球放入同一个袋中，现从中取出4个球．（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少不同的取法？（2）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球所得总分不少于5分，则有多少种不同取法．18．（12分）如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，，已知，，，四边形为直角梯形，，.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19．（12分）已知过抛物线y2=2pxp>0的焦点，斜率为22的直线交抛物线于（1）求抛物线的方程;（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC=OA+λ20．（12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程为（为参数），曲线C的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）设直线与曲线交于两点，点，求的值.21．（12分）从6名男生和4名女生中任选4人参加比赛，设被选中女生的人数为随机变量，求：(1)的分布列；(2)所选女生不少于2人的概率.22．（10分）如图所示，已知ABCD是直角梯形，，．（1）证明：；（2）若，求三棱锥的体积．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面积最小，计算得到答案.【题目详解】锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面积最小故答案选B【题目点拨】本题考查了锥体的体积，判断底面是等腰直角三角形是解题的关键.2、D【解题分析】

设，由，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．【题目详解】设点，由，知：，

化简得：，

点M的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，

又点M在圆C上，圆C与圆D的关系为相交或相切，

，其中，，即可得，

故选：D．【题目点拨】本题主要考查圆与圆的位置关系的判定，两点间的距离公式，圆和圆的位置关系的判定，属于中档题．3、D【解题分析】

先对y,z分子有理化，比较它们的大小，再比较x,z的大小得解.【题目详解】y＝＝，z＝－＝，∵＋＞＋＞0，∴z＞y.∵x－z＝－＝＝＞0，∴x＞z.∴x＞z＞y.故答案为D【题目点拨】(1)本题主要考查比较法比较大小，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.4、D【解题分析】

根据中等号所取个数分类讨论，利用组合知识求出即可.【题目详解】解：当中全部取等号时，情况有种；当中有两个取等号，一个不取等号时，情况有种；当中有一个取等号，两个不取等号时，情况有种；当中都不取等号时，情况有种；共种.故选：D.【题目点拨】本题考查分类讨论研究组合问题，关键是要找准分类标准，是中档题.5、A【解题分析】

解不等式即得函数的定义域.【题目详解】由题得所以函数的定义域为.故选A【题目点拨】本题主要考查函数的定义域的求法，考查对数函数和幂函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6、B【解题分析】

方程两边平方后可整理出椭圆的方程，由于的值只能取非负数，推断出方程表示的曲线为一个椭圆的一部分．【题目详解】解：两边平方，可变为，即，表示的曲线为椭圆的一部分；故选：．【题目点拨】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意的范围，注意数形结合的思想．7、D【解题分析】

令，则，根据题意得到时，函数单调递增，求得，再由函数的奇偶性得到，即可作出比较，得到答案．【题目详解】由题意，令，则，因为当时，，所以当时，，即当时，，函数单调递增，因为，所以，又由函数为奇函数，所以，所以，所以，故选D．【题目点拨】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中根据题意，构造新函数，利用导数求得函数的单调性和奇偶性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题．8、A【解题分析】

利用充分条件和必要条件的定义进行判断【题目详解】解：当时，，所以，当时，，所以，即所以“”是“”的充分不必要条件故选：A【题目点拨】此题考查充分条件，必要条件的应用，属于基础题9、C【解题分析】

利用充分、必要条件的定义及零点存在性定理即可作出判断.【题目详解】命题推不出命题q，所以充分性不具备；比如：，区间为，满足命题p，但，根据零点存在性定理可知，命题能推出命题p，所以必要性具备；故选：C【题目点拨】本题考查充分必要条件，考查零点存在性定理，属于基础题.10、A【解题分析】分析：由的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根.详解：函数的定义域是，，是函数唯一的极值点,是导函数的唯一根，在无变号零点，即在上无变号零点，令，，在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，必须.故选A.点睛：本题考查由函数的导函数确定极值问题，对参数需要进行讨论.11、D【解题分析】

结合定积分知识，对选项逐个分析可选出答案.【题目详解】对于选项A，因为函数是R上的奇函数，所以正确；对于选项B，因为函数是R上的偶函数，所以正确；对于选项C，因为在区间上恒正，所以图象都在轴上方，故正确；对于选项D，若，可知的图象在区间上，在轴上方的面积大于下方的面积，故选项D不正确.故选D.【题目点拨】本题考查了定积分，考查了函数的性质，属于基础题.12、B【解题分析】

先根据题意，易知，再分别求得的值，然后求得答案即可.【题目详解】在平行六面体中，所以解得所以故选B【题目点拨】本题主要考查了向量的线性运算，属于较为基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由渐近线方程设出双曲线方程为，代入已知点的坐标求出，化双曲线方程为标准方程后可得，从而求得。【题目详解】由题意设双曲线方程为，又双曲线过点，∴，∴双曲线方程为，即，，，∴焦距为。故答案为：。【题目点拨】本题考查双曲线的焦距，求双曲线的标准方程。已知双曲线的渐近线方程为，则可设双曲线方程为，代入已知条件求得，即得双曲线方程。而不需考虑焦点所在的轴。14、【解题分析】

分析：基本事件总数，再利用列举法求出其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的情况种数，能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的概率.详解：所发红包的总金额为元，被随机分配为元，元，元，元，元，共份，供甲、乙等人抢，每人只能抢一次，基本事件总数，其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的情况有，种，甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的概率，故答案为.点睛：本题考查古典概型概率公式的应用，属于简单题.在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.15、2【解题分析】

根据方差的性质运算即可.【题目详解】由题意知：本题正确结果：【题目点拨】本题考查方差的运算性质，属于基础题.16、【解题分析】因为，所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递增，又，即，所以，即，解得，故实数的取值范围为．点睛:解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在函数的定义域内．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】

（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有红、红白、红白三种情况，然后利用分类计数原理可得出答案；（2）若取出的球的总分不少于分，则有红、红白、红白和红白四种情况，然后利用分类计数原理可得出答案.【题目详解】（1）若取出的红球个数不少于白球个数，则有红、红白、红白三种情况，其中红有种取法，红白有种取法，红白有种取法.因此，共有种不同的取法；（2）若取出的个球的总分不少于分，则有红、红白、红白和红白四种情况.其中红有种取法，红白有种取法，红白有种取法，红白有种不同的取法.因此，共有种不同的取法.【题目点拨】本题考查分类加法计数原理应用，在解题时要熟练利用分类讨论思想，遵循不重不漏的原则，考查运算求解能力，属于中等题.18、（1）见解析（2）【解题分析】分析：（1）通过取AD中点M，连接CM，利用，得到直角；再利用可得；而,DE平面ADEF，所以可得面面垂直．（2）以AD中点O建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得平面CAE与直线BE向量，根据直线与法向量的夹角即可求得直线与平面夹角的正弦值．详解：（1）证明：取的中点，连接，，，由四边形为平行四边形，可知，在中，有，∴.又，，∴平面，∵平面，∴.又，，∴平面.∵平面，∴平面平面.（2）解：由（1）知平面平面，如图，取的中点为，建立空间直角坐标系，，，，，，，.设平面的法向量，则，即，不妨令，得.故直线与平面所成角的正弦值.点睛：本题考查了空间几何体面面垂直的综合应用，利用法向量法求线面夹角的正弦值，关键注意计算要准确，属于中档题．19、（1）y2＝8x.（2）λ＝0，或λ＝2.【解题分析】

试题分析：第一问求抛物线的焦点弦长问题可直接利用焦半径公式，先写出直线的方程，再与抛物线的方程联立方程组，设而不求，利用根与系数关系得出x1+x2，然后利用焦半径公式得出焦点弦长公式AB=x1+试题解析：(1)直线AB的方程是y＝22（x-p2），与y2＝2px联立，消去y得8x2－10px＋2p由根与系数的关系得x1＋x2＝54p.由抛物线定义得|AB|＝54(2)由(1)得x2－5x＋4＝0，得x1＝1，x2＝4，从而A(1，－22)，B(4，42)．设OC＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y＝8x3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.【题目点拨】求弦长问题，一般采用设而不求联立方程组，借助根与系数关系，利用弦长公式去求；但是遇到抛物线的焦点弦长问题时，可直接利用焦半径公式，使用焦点弦长公式AB=x1+x2+p，求出弦长.遇到与向量有关的问题，一般采