特殊平行四边形常考知识点2023年中考数学考点微

考向4.7特殊平行四边形常考知识点专题

例1、(2021•云南•中考真题)如图，四边形ABC。是矩形，E、尸分别是线段AO、BC

上的点，点O是EF与BD的交点.若将BED沿直线折叠，则点E与点尸重合.

(1)求证：四边形8E0F是菱形；

(2)^ED=2AE,ABAD=3y/3,求防.8£)的值.

(1)证明：:•△BE。沿直线8E折叠，点E与点尸重合，

:.BE=BF,DE=DF,NEDB=NFDB,

又•.•四边形ABC。是矩形，且E、尸分别是线段A。、8c上的点，

：.DE//DF,

AED

:./EDB=/FBD,'------大----------—

:・/FDB=/FBD,/\/

:.BF=DF，//

:.BE=BF=DF=DE,

.••四边形8EDF是菱形；BFC

(2)解：：ED=2AE,点E是线段A。上的点，

：.ED=-AD,

3

♦.•四边形BE。尸是菱形，四边形A8CO是矩形，

/.S受*BED产yEFBD=EDAB=|ADAB,

♦:AB.AD=3B

EFBDA3J3,

解得：EFBD=46.

本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，菱形面积的求法，折叠的性质，难度不大，解题的

关键是根据折叠得到线段和角相等，掌握菱形的面积计算方法.

例2、(2021•山东泰安•中考真题)四边形A8C。为矩形，E是AB延长线上的一点.

(1)若AC=EC,如图1,求证：四边形BEC£＞为平行四边形；

(2)若=点尸是A8上的点，AF=BE,EGLAC于点G,如图2,求证：ADC汨

是等腰直角三角形.

证明：（1）•••A8C3是矩形,

J.AB/JCD,CBLAE,

又.AC=EC,

AB=BE,

：.BEHCD,

四边形BEC。是平行四边形.

图1图2

(2)AB=AD,

，矩形ABCO是正方形，

.­.ZC4E=45°,

EGVAC,

：.ZE=ZGAE=45°,

：.GE=GA,

乂AF=BE,

:.AB=FE,

：.FE=AD,

又NZXC=NE=45。，

：./\EGF^/\AGD,

:.GF=GD,ZDGA=ZFGE,

NDGF=ZDGA+ZAGF=NEGF+ZAGF=ZAGE=90°,

.•.VDGP是等腰直角三.角形.

本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、正方形的判定与性质和全等三角形的判定与性质,

解题关键是熟练准确运用相关知识进行推理证明.

例3.（2021.广西贺州•中考真题）如图.在边长为6的正方形ABCD中,

点E,F分别在BC,上，BC=3BES.BE=CF,AE1BF，垂足为

G,。是对角线8。的中点，连接OG、则OG的长为.

解：以8为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图：

•..四边形ABCO是正方形，边长为6,

：.AB=BC=6,NABE=NBCF=90°,

'：BC=3BE,BE=CF,

:.BE=CF=2,

：.E(2,0),F(6,2),A(0,6),D(6,6),

0=2a+/?

设直线AE解析式为则

6=b

a=-3

解得

b=6

.•・直线AE解析式为尸-3x+6,

设直线BF解析式为y=cx,则2=6c,

解得C=1,

•.•直线.解析式为产3,

9

y=-3x+6x=­

5

由,1得<

y=-x3'

3y二一

5

93

・•・0(-,-),

・：0为BD中点,

：.O(3,3),

OG=J(3管+(3_|>=华,

故答案为：—>/5.

1、建立平面直角坐标系解决几何问题是高中学习中常见的方法，也是中考中的热点;

2、本题考查正方形的性质及应用，解题的关键是以8为原点，BC所在直线为x轴，建立直角

坐标系，求出。和G的坐标.

1、三角形中位线平行于第三边并等于第三边一半；

2、直角三角形斜边上中线等于斜边一半；

3、菱形的面积等于对角线积的一半，往往和等面积结合在一起解题；

4、矩形对角线分得的四个三角形为等腰三角形；菱形对角线分得的四个三个形为直角三角形；正方形

对角线分得的四个三角形为全等的等腰直角三角形；

5、正方形面积等于对角线平方的一半。

经典变式练

一、单选题

1.(2021・广东广州•中考真题)下列命题中，为真命题的是()

(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形

(2)对角线互相垂直的四边形是菱形

(3)对角线相等的平行四边形是菱形

(4)有一个角是直角的平行四边形是矩形

A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(4)D.(3)(4)

2.(2021•广西柳州•中考真题)如图，在菱形43co中，对角线47=8,80=10,则

的面积为()

A.9B.10C.11D.12

3.(2021.山东潍坊•中考真题)若菱形两条对角线的长度是方程x2-6x+8=0的两根，则该

菱形的边长为()

A.75B.4C.25D.5

4.(2021•内蒙古呼和浩特•中考真题)在平面直角坐标系中，点A(3,0),3(0,4).以A8为

一边在第一象限作正方形ABCZ),则对角线3D所在直线的解析式为()

A.y=-y%+4B.y=C.y=--x+4D.y=4

5.(2021•辽宁丹东•中考真题)如图，在矩形A3CO中，连接30,将△88沿对角线折

叠得到,3£区灰交于点O,座恰好平分NABO,若A8=2百，则点。到的距离为

()

E

6.（2021•江苏泰州•中考真题）如图，尸为A8上任意一点,分别以AP、PB为边在AB同侧作

正方形APCD、正方形P8EE设NC8E=a，则NAQ为（）

A.2aB.90°-aC.45°+aD.90°-

7.（2021•广西梧州•中考真题）如图，在放△ABC中，点。，E,7分别是边AB,AC,BC

的中点，AC=8,BC=6,则四边形CEQF的面积是（）

8.（2021•浙江嘉兴•中考真题）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后

剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.矩形D.菱形

9.（2021.贵州遵义.中考真题）如图，将矩形纸片A8CD的两个直角进行折叠，使CB,AD

恰好落在对角线AC上，B',。分别是8,。的对应点，折痕分别为CF,AE.若AB=4,

8c=3,则线段夕。的长是（

53

A.-B.2C.-D.1

22

10.（2021.湖南郴州•中考真题）如图,在边长为4的菱形ABC。中，ZA=60。.点P从点A

出发，沿路线Af8fC-。运动.设户点经过的路程为了,以点A,D,P为顶点的三

角形的面积为y,则下列图象能反映y与x的函数关系的是（）

二、填空题

11.（2021•江苏盐城.中考真题）如图，在於一ABC中，CL＞为斜边AB上的中线，若CD=2,

贝AB=.

12.（2021・湖南益阳•中考真题）如图，已知四边形A8CE）是平行四边形，从①=

®AC=BD,③NABC=NA£>C中选择一个作为条件，补充后使四边形A8CO成为菱形，则

其选择是一（限填序号）.

13.（2021•江苏扬州•中考真题）如图，在RfABC中，NACB=90°,点。是A3的中点,

过点。作DEL8C,垂足为点E,连接CD,若8=5,SC=8,则0E=.

14.（2021・山东济南・中考真题）如图，正方形AMNP的边AM在正五边形ABCDE的边AB上,

则NPAE=°.

15.（2021•山东东营•中考真题）如图，正方形纸片A8CO的边长为12,点尸是A。上一点,

将_O）F沿CF折叠，点。落在点G处，连接OG并延长交A8于点E.若AE=5,则GE

的长为.

16.（2021.湖南株洲•中考真题）如图所示，线段8C为等腰ABC的底边，矩形AO8E的对

角线A8与交于点。，若。D=2,则AC=

17.（2021.黑龙江牡丹江.中考真题）如图，在矩形A8C。中，对角线AC、8。相交于点。,

在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使矩形ABCD是正方形.

18.（2021•黑龙江•中考真题）如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC、3D相交于点O,

在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使平行四边形是

矩形..

19.（2021・湖南株洲•中考真题）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蠕,

同"蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小

三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“檀’和慢”为“样”和“只。图②为某蝶几设计

图，其中△A3。和二C必为"大三斜''组件（"一梯二叟'的大三斜组件为两个全等的等腰直角

三角形），已知某人位于点尸处，点尸与点A关于直线。。对称，连接CP、DP.若

ZADQ=24°,贝1J//守=度.

三、解答题

20.（2021•湖南益阳・中考真题）如图，在矩形ABC£＞中，已知A8=6,N£）8C=3（）。，求AC的

长.

21.（2021•江苏连云港.中考真题）如图，点C是8E的中点，四边形A8CD是平行四边形.

（1）求证：四边形ACED是平行四边形；

（2）如果=求证：四边形ACE3是矩形.

一、单选题

1.（2021•广西河池•中考真题）已知平行四边形ABCD,下列条件中，不能判定这个平行四

边形为矩形的是（）

A.ZA=ZBB.ZA=ZCC.AC=BDD.AB±BC

2.（2021.四川阿坝・中考真题）如图，菱形ABC。中，对角线AC,8。相交于点O,E为AB

的中点.若菱形ABC。的周长为32,则OE的长为（）

A.3B.4C.5D.6

3.（2021•甘肃兰州•中考真题）如图，菱形A8CD的对角线AC与利相交于点。，点E在利

上，连接AE,CE,ZABC=6O°,NBCE=15°,ED=2+2g，则A£>=（）

A.4B.3C.272D.2

4.（2021.广西来宾•中考真题）如图，矩形纸片ABC。，AO:AB=0:1,点、E,尸分别在

AD,BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A,8的对应点分别为A,B',连接44'并延长

pc

交线段C。于点G,则名的值为（）

5.（2021♦浙江嘉兴•中考真题）如图，在A4BC中，ZBAC=90°,AB=4C=5,点。在AC上,

且AD=2,点E是AB上的动点，连结OE,点F，G分别是8C,OE的中点，连接AG,

FG,当AG=FG时，线段£）£长为（）

c

F

\

AEB

A.V13B.侦C.—D.4

22

6.（2021.重庆・中考真题）如图，把含30。的直角三角板PMN放置在正方形ABC。中，

4PMN=30。,直角顶点尸在正方形A8C。的对角线8。上，点M,N分别在A5和CZ）边

上，MN与BD交于点O,且点。为MN的中点，则N/VWP的度数为（）

A.60°B.65°C.75°D.80°

7.（2021・海南・中考真题）如图，在菱形43C£＞中，点反产分别是边3C、CD的中点，连

接AE、A产、EF.若菱形A8CO的面积为8,则,，4E厂的面积为（）

A.2B.3C.4D.5

8.（2021•广西河池•中考真题）如图，在边长为4的正方形A8C。中，点E,F分别在CQ,

AC上，BFVEF,CE=\,则AF的长是（）

DE

A-------------

A.25/2B.-C.-A/2D.—yjl,

234

9.（2021・辽宁朝阳•中考真题）如图，在菱形ABC。中，点E,尸分别在AB,CD±.,且BE

=2AE,DF=2CF,点G,，分别是AC的三等分点，则S师姚EHFG+SOMBCD的值为（）

10.（2021・广西贵港・中考真题）如图，在正方形ABC。中，E,尸是对角线4c上的两点，

且EF=2AE=2CF,连接DE并延长交AB于点M,连接DF并延长交BC于点N,连接MN,

A.—B.-C.1D.!

432

II.（2021.江苏无锡•中考真题）如图，。、E、尸分别是,ABC各边中点，则以下说法错误的

是（）

A

A.一反应和DCF的面积相等B.四边形尸是平行四边形

C.若A8=8C,则四边形AE/卯是菱形D.若NA=90。，则四边形AEZ"是矩

形

12.（2021•青海西宁・中考真题）如图1,动点P从矩形ABCZ）的顶点A出发，在边AB,BC

上沿4—8—C的方向，以lcm/s的速度匀速运动到点C,△APC的面积S（cm2）随运动时

A.—cmB.3cmC.4cmD.6cm

2

13.（2021・广东深圳・中考真题）在正方形A6CD中，AB=2,点七是8C边的中点，连接OE,

延长EC至点F,使得EF=DE,过点F作/G_LOE,分别交C。、AB于N、G两点，连

接CM、EG、EN,下列正确的是：@tanZGFB=-；②MN=NC；③也=,；

A.4B.3C.2D.1

14.（2021•内蒙古通辽•中考真题）如图，已知A£W8C,AB1BC,A8=3,点E为射线BC

上一个动点，连接AE,将△ABE沿AE折叠，点B落在点力处，过点8'作AO的垂线，分

别交A。，BC于M,N两点，当夕为线段MN的三等分点时，BE的长为（）

A/D

C.——^/2D.h6■或二旧

2225

二、填空题

15.（2021.四川阿坝•中考真题）如图，有一张长方形片A8CD,A8=8cm,3c=10cm.点

E为CO上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边8C’恰好经过点D,则线段DE的长为

16.（2021・上海•中考真题）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有

点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2,中心为0,在正方形外有一点？。。=2,

当正方形绕着点0旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为.

17.（2021・海南・中考真题）如图，在矩形A8CD中，AB=6,AD=8,将此矩形折叠，使点

C与点A重合，点。落在点。处，折痕为EF,则4y的长为,£>£>'的长为.

D'

18.（2021•江苏苏州・中考真题）如图，四边形438为菱形，ZABC=70°,延长8c到E,

在/Z）CE内作射线CM,使得NECN=15。，过点。作OFLCM,垂足为F，若DF=非,

则对角线8。的长为.（结果保留根号）

19.（2021.山东威海.中考真题）如图，在正方形ABC力中，AB=2,E为边AB上一点，F

为边BC上一点.连接。E和AF交于点G,连接BG.若AE=BF,则BG的最小值为

20.（2021•浙江台州•中考真题）如图，点£,F,G分别在正方形ABCO的边A8,BC,AD

上，AFVEG.若AB=5,AE=DG=1,则BF=.

21.（2021•贵州毕节・中考真题）如图，在菱形A8CO中，BC=2,ZC=120°,Q为A8的

中点，P为对角线8。上的任意一点，则AP+PQ的最小值为.

D

Q.

22.（2021•山东泰安•中考真题）如图，将矩形纸片ABC。折叠（">>•）,使A8落在AO

上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动,将BE边折起，使点8

落在AE上的点G处，连接。E,若DE=EF,CE=2,则的长为.

23.（2021・辽宁锦州•中考真题）如图，在矩形ABC。中，A8=6,8c=10,以点8为圆心、

BC的长为半径画弧交AO于点E,再分别以点C,E为圆心、大于gcE的长为半径画弧，

两弧交于点F,作射线BF交C。于点G,则CG的长为.

24.（2021辽宁大连•中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=2,点E在边BC上，点F

在边A"的延长线上AF=EF,设BE=x,AF=y,当0<x<2时，y关于x的函数解析式

为.

25.（2021•广西贺州•中考真题）如图，在矩形ABCD中，E,F分别为BC,DA的中点，

以CD为斜边作RtAGCD,GD=GC,连接GE,GF.若BC=2GC,则NEGF=

AED

BFC

26.（2021•四川眉山•中考真题）如图，在菱形ABC。中，AB=AC=\0,对角线AC、BO相

交于点。，点M在线段AC上，且A〃=3,点户为线段8。上的一个动点，则MP+gpb的

最小值是______.

27.（2021•内蒙古呼伦贝尔•中考真题）如图，点4在直线/：＞=；》上，点名的横坐标为1,

过点用作轴，垂足为A，以为边向右作正方形4片GA?，延长4G交直线/于

点与；以为边向右作正方形A282c2A3,延长4G交直线/于点纥；……；按照这个规

律进行下去，点鸟021的坐标为.

参考答案

1.B

【分析】正确的命题叫真命题，根据定义解答.

解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故（1）是真命题；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故（2）不是真命题：

对角线相等的平行四边形是矩形，故（3）不是真命题；

有一个角是宜角的平行四边形是矩形，故（4）是真命题；

故选：B.

【点拨】此题考查真命题的定义，熟记定义并正确掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理

是解题的关键.

2.B

【分析】菱形的对角线互相垂直平分，故△AOD的面积为对角线的一半的乘积的g.

解：ABCD是菱形

，AC1BD,AO=OC,BO=OD

△A8的面积=1AOx。。

2

=-x-ACx-BD

222

11c1s

=­x—Xox—x10

222

=10

故选B.

【点拨】本题考查了菱形的性质及三角形面积，理解八!。。是直角三角形是解题的关键.

3.A

【分析】先求出方程的解，即可得到AC=4,BD=2,根据菱形的性质求出AO和DO,

根据勾股定理求出AO即可.

x

解：解方程x?—6x+8=0,得\2,x2=4,

即AC=4,BD=2,

•••四边形ABCO是菱形，

二ZA8=90°,AO=CO=2,BO=DO=1,

由勾股定理得A£>=^ACP+DO2=V22+l2=石•

即菱形的边长为石，

故选：A.

【点拨】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，正确求出方程的根是解题的关键.

4.A

【分析】过点。作。轴于点E,先证明一8。=ZME(/L4S),再由全等三角形对应边

相等的性质解得。(7,3),最后由待定系数法求解即可.

解：正方形ABC。中，过点D作轴于点E,

ZABO+ZBAO=ZBAO+ZDAE=90°

ZABO^ZDAE

ZBOA=ZAED=90°,AB=AD

:...ABO^DAE(AAS)

AO=DE=3,OB=AE=4

。(7,3)

设直线8£)所在的直线解析式为y=kx+b(k^O),

代入8(0,4),。(7,3)得

fb=4

\lk+h=3

\k=--

：.'7

b=4

/.y=-y%+4,

【点拨】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，涉及正方形性质、全等三角形的判定与

性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

5.B

【分析】如图，过点。作OF，即于尸，可得O尸为点O到即的距离，根据矩形的性质可

得/A=NABC=90。，根据折叠性质可得/E8庆/CBO,根据角平分线的定义可得

ZABO=ZEBD,即可得出/A2O=30。，根据角平分线的性质可得OA=OF,利用/A2。的正

切值求出04的值即可得答案.

解：如图，过点。作于F,

为点。到BD的距离，

•••四边形A8C。是矩形，

ZA=ZABC=90°,

:将△BCD沿对角线8。折叠得到^BDE,

：.ZEBD=ZCBD,

「BE恰好平分Z/记。，

AZAB0=ZEBD,OA=OF,

：.NEBD=/CBD=/ABO,

：./ABO=30°,

•AB=2>/3，

工OF=OA=ABlan30°=29

E

故选：B.

【点拨】本题考查矩形的性质、折叠性质、角平分线的性质及解直角三角形，熟练掌握相关

性质，熟记特殊角的三角函数值是解题关键.

6.B

【分析】根据题意可得&4加=\CBPkSAS),从而N4乎=4cBp=90。-a即可.

解：•••四边形APCO和四边形尸8EF是正方形，

：.AP=CP,PF=PB,ZAPF=乙BPF=4PBE=90°,

&AFP=ACBP(SAS),

：.ZAFP=ZCBP,

乂•：ZCBE=a,

：.NAFP=4cBp="BE-4CBE=90°-«,

故选：B.

【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等二角形的判定，熟练掌握正方形的性质，全等

三角形的判定方法是解题的关键.

7.B

【分析】利用三角形的中位线定理，先证明四边形DECF是矩形，再利用矩形的面积公式

进行计算即可.

解：,点O,E,F分别是边48,AC,8c的中点，AC=8,BC=6,

DE//BC,DE=-BC=3,DF//AC,DF=-AC=4,

22

四边形OECF是平行四边形，

.ZC=90°,

四边形QEC尸是矩形，

S矩形阻尸=3x4=12.

故选：B.

【点拨】本题考查的是三角形的中位线的性质，矩形的判定与性质，掌握利用三角形的中位

线证明四边形是平行四边形是解题的关键.

8.D

【分析】此题是有关剪纸的问题，此类问题应亲自动手折一折，剪一剪.

解：由题可知，AO平分的C,折叠后AAEO与VA尸。重合，故全等，所以EO=OF;

又作了AQ的垂直平分线，即E。垂直平分AQ,所以4。=。。，且EOL4。；

由平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形为平行四边形，所以4加尸为平行四边形;

又ADLEF,所以平行四边形AEOF为菱形.

故选：D

【点拨】本题主要考察学生对于立体图形与平面展开图形之间的转换能力，与课程标准中“能

以实物的形状想象出几何图形，有儿何图形想象出实物的图形''的要求相一致，充分体现了

实践操作性原则.

9.D

【分析】先利用矩形的性质与勾股定理求解AC再利用轴对称的性质求解A8',CD',从而

可得答案.

解：矩形纸片A8CD,

AE>=8C=3"=OC=4,4=NO=90°,

AC-J32+42=5,

由折叠可得：NCB'F=ZB=90。,CB'=CB=3,

：.AB'=AC-CB'=2,

同理：S'=2,

B'D'^AC-AB'-CD'^5-2-2=\,

故选：D.

【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，矩形的性质，掌握以上知识是解题

的关键.

10.A

【分析】当点尸在A8I:运动时，过点/,作AO卜一的高记作〃，可得含30。角的直角三角形,

根据含30。角直角三角形的性质可得AD边上的高〃是4尸的一半，即〃=且了,再根据三角

2

形面积公式列出面积表达式即可判断；当点P运动到B点时，过点8作8EJL4力于点E,

由题意易得4B=AO=BC=4,8E=2道，当点P在线段BC上时，△AD尸的面积保持不变,

当点P在CO上时，过点P作AO上的高记作〃，可得含30。角的直角三角形，根据含30。

角直角三角形的性质可得边上的高〃是等于日。P,即〃=3(12-彳)，再根据三角形面

枳公式列出面积表达式即可判断.

解：当点P在A8上运动时，过点P作AC上的高记作力，

由30。角所对直角边等于斜边一半，可推导〃=且4/>=3》，

22

所以y=1x4x—x=-fix；

'22

过点B作于点E,如图所示：

,••边长为4的菱形A8CO中，ZA=60°,

AB=AD^BC=4,

：./ABE=30°,

/.AE=2,

：.BE=26,

点P与点B重合时，△AOP的面积最大，最大为5仞.=；4。1E=46；

当点尸在线段BC上时，AADP的面积保持不变，

当点/，在CO上时，过点P作43上的高记作爪

根据含30。角直角三角形的性质，可得A。边上的高〃是等于*DP,即辰祖(12-x).

所以y=—X4X^-(12-JC)=12布-下>x；

，综上可得只有4选项符合题意；

故选A.

【点拨】本题主要考查函数图象及菱形的性质、勾股定理，熟练掌握函数图象及菱形的性质、

勾股定理是解题的关键.

11.4

(分析］根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可解决问题；

解：如图，

A

D

C---------------7

「△ABC是直角三角形，C£>是斜边中线，

：.CD=-AB,

2

,:CD=2,

：.AB=4,

故答案为4.

【点拨】本题考查直角三角形的性质，解题的关键是记住直角三角形斜边上的中线等于斜边

的一半.

12.①

【分析】根据菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质即可得.

解：①他时，平行四边形ABC。是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）；

②4c=8。时，平行四边形ABC。是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；

③由平行四边形的性质可知，ZABC=ZADC,则不能作为构成菱形的条件；

故答案为：①.

【点拨】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方

法是解题关键.

13.3

【分析】根据直角三角形的性质得到A3=10,利用勾股定理求出AC,再说明DE〃AC,得

到黑=啜=，即可求出。£

ACAIJ2

解：..・NAC5=90。，点。为43中点，

：.AB=2CD=\0f

•；BC=8,

•*-AC=>JAB2-BC2=6，

VDE1BC,AC1BC,

：.DE//ACf

.DEBD]口”DEBD1

.•-----=------=—,KJ—~=------=—,

ACAB26AB2

：.DE=3,

故答案为：3.

【点拨】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解题的关键是通

过平行得到比例式.

14.18

【分析】由正方形的性质及正五边形的内角可直接进行求解.

解：:四边形尸是正方形，五边形A8CDE是正五边形，

.（5-2）x180°

../EAB='——；-----=108°,/PAB=90°,

ZPAE=ZEAB-ZPAB=\80；

故答案为18.

【点拨】本题主要考查正多边形的性质，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键.

15.竺

13

【分析】因为折叠，则有。GLCF,从而可知△AEOs/V/OC,利用线段比求出DG的长,

即可求出EG.

解：如图，四边形43CQ是正方形，

/.Zl+Z2=90°,

因为折叠，设垂足为H,

:.DH=HG,

.-.Z2+Z3=90°,

.・Z=/3,

.HED^AHDC,

AEPH

DC，

22

AE=5,AD=DC=12fDE=7AD+AE=13»

5DH

...—=------•

1312

13

:.EG=ED-GD

=ED-2GH

=1IC3-2cx—60

13

49

~13

故答案为w.

【点拨】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理,

找到△AEA丛HDC是解题的关键.

16.4

【分析】先求出矩形的对角线的长，得到的取值，再利用等腰三角形的概念直接得到

AC的值.

解：•矩形ADBE的对角线AB与DE交于点0,

：.AB=DE,OE=OD,

：.AB=DE=2OD=4,

•.•线段BC为等腰&ABC的底边，

：.AC=AB=4,

故答案为:4.

【点拨】本题考查了矩形的性质和对等腰三角形概念的理解，解决本题的关键是理解相关概

念与性质，能灵活运用题干信息，将它们用数学符号进行表示，本题较基础，考查了学生的

几何语言表述的能力以及基本功.

17.ACA.BD（答案不唯一）

【分析】根据正方形的判定定理可直接进行求解.

解：：四边形ABCO是矩形，

,根据“一组邻边相等的矩形是正方形”可添加：=或=或3c=8或

AD=CD,

根据“对角线互相垂直的矩形是正方形“可添加：AC1BD,

故答案为AC_L8Q（答案不唯一）.

【点拨】本题主要考查正方形的判定定理，熟练掌握正方形的判定是解题的关键.

18.ZABC=90°

【分析】根据矩形的判定方法即可得出答案.

解：•••四边形A8C7）为平行四边形，

，当ZABC=90°时，四边形ABCD为矩形.

故答案为：ZABC^9Q0.

【点拨】本题考查了矩形的判定，熟记矩形的判定方法是解题的关键.

19.21

【分析】由题意易得四边形ABCC是正方形，进而根据轴对称的性质可得A£）=CP,

ZPDQ=ZADQ=24°,则有CO=OP,然后可得N8P=138。，最后根据等腰三角形的性质

可求解.

解：；CBD^ABD,且都为等腰直角三角形，

，四边形48C。是正方形，

/.ZCDA=90°,CD=AD,

•.•点户与点A关于直线OQ对称，ZADQ=24°,

ZPDQ=ZADQ=24°,AD^DP,

：.CD=DP,ZADP=43°,

：.NCDG=138°,

180°-ZCDP

NDCP=NDPC==Z],

2

故答案为21.

【点拨】本题主要考查正方形的判定与性质、轴对称的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握

正方形的判定与性质、轴对称的性质及等腰三角形的性质是解题的关键.

20.12.

【分析】先根据矩形的性质可得8=A3=6,AC=BRN8CD=90。，再根据直角三角形的

性质可得80=28=12,由此即可得出答案.

解：四边形A8C3是矩形，AB=6,

：.CD=AB=6,AC=BD,ABCD=90°,

在Rf8c。中，ZDBC=30°,

:.BD=2CD=12,

AC=BD=12.

【点拨】本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键.

21.（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是8E的中点，得至IJA/）〃CE,AD=CE,从而证

明四边形ACEO是平行四边形；

（2）由平行四边形的性质证得OC=4E,从而证明平行四边形ACE。是矩形.

解：证明：（I）•••四边形ABC7）是平行四边形，

C.AD//BC,KAD=BC.

•・•点。是BE的中点,

:・BC=CE,

:.AD=CE,

■:AD//CE,

・•・四边形是平行四边形;

(2),・,四边形A8C。是平行四边形,

：.AB=DCf

t

：AB=AE1

DC=AEf

•・,四边形4CEO是平行四边形,

・・・四边形ACE。是矩形.

【点拨】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键.

参考答案

1.B

解：【分析】由矩形的判定方法即可得出答案.

【详解】A、NA=NB,ZA+ZB=180°,所以NA=NB=90。，可以判定这个平行

四边形为矩形，正确；

B、/A=/C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；

C、AC=BD,对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；

D、AB1BC,所以NB=90。，可以判定这个平行四边形为矩形，正确，

故选B.

【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形、

对角线相等的平行四边形是矩形、有三个角是直角的四边形是矩形''是解题的关键.

2.B

【分析】利用菱形的对边相等以及对角线互相垂直，进而利用直角三角形斜边上的中线等于

斜边的一半得出答案.

解：.••四边形ABCD是菱形，

.".AC1BD,AB=BC=CD=AD,

.".ZAOB=90°,

又AB+BC+CD+AD=32.

，AB=8,

在RtAAOB中，OE是斜边上的中线，

Z.OE=yAB=4.

故选：B.

【点拨】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质.注意：直角三角形斜边

上的中线等于斜边的一半.

3.A

【分析】根据菱形的性质以及已知条件，可得，ABC是等边三角形，可得=进

2

而根据NBCE=15。，可得NECO=45°,进而可得OC=OE,根据£>E=OE+OE>,

ED=2+2G，AD=BC,即可求得40.

解：四边形ABCO是菱形，

.\AC±BD.AO=OC.BO=OD9AB=BC1

ZABC=60°,

二•扁ABC是等边三角形,

1八

•••ZACB=ABAC=60°,OC=-BC,OB=BC.sinZACB="BC,

ZBCE=15°,

・•.ZECO=ZACB=60°-15°=45°,

ACA.BD,

ZCEO=45°,

OC=OE,

DE=OE+OD=OE+OB=2+2百,

即更BC=2+2>/3.

22

:.BC=4,

AD=BC=4.

故选A.

【点拨】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角

形的性质，综合运用以上知识是解题的关键.

4.A

【分析】根据折叠性质则可得出所是AV的垂直平分线，则由直角三角形性质及矩形性质

可得/AEO=/AG£>,NFHE=/D=90。,根据相似三角形判定推出△E尸HsaGAf),再利

用矩形判定及性质证得即可求得结果.

解：如图，过点尸作尸于点”,

AEA=EA,FB=FA，

是44,的垂直平分线.

，ZAOE=90°.

♦.•四边形ABC。是矩形，

ZBAD=NB=ZD=90°.

ZOAE+NAEO=NOAE+4AGD,

：.ZAEO=ZAGD.

,：FHLAD,

AZFW£=ZD=90°.

：.»EFHsRGAD.

.EFFH

'~~AG~~AD'

,?NAHF=NBAD=NB=90。,

，四边形ABF”是矩形.

：.FH=AB.

.EFFHAB1_x/2

''^G~^D~~AD~^2~~2'

故选：A.

【点拨】本题考查了矩形的折叠问题，掌握折叠的性质、矩形及相似三角形的判定与性质是

解题的关键.

5.A

【分析】连接。凡EF,过点尸作尸NJ_AC,FMA.AB,结合直角三角形斜边中线等于斜边

的一半求得点A,D,F,E四点共圆，ZDFE=90°,然后根据勾股定理及正方形的判定和性

质求得4E的长度，从而求解.

解：连接QF,EF,过点F作RVLAC,FMLAB

•.•在AAfiC中，ABAC=90°,点G是OE的中点，

：.AG=DG=EG

y.,：AG^FG

...点A,D,F,E四点共圆，且DE是圆的直径

ZDF£=90°

•.,在防ZkABC中，AB=AC=5,点尸是8c的中点，

CF=BF=-BC=—，FN=FM=-

222

义,：FNJLAC,FM1AB,ABAC=90°

四边形NAMF是正方形

：.AN=AM^FN=-

2

乂,/ZNFD+ZDFM=90°,ZDFM+AMFE=90°

ZNFD=ZMFE

:.△NFD^^MFE

:.ME=DN=AN-AD=g

：.AE^AM+ME=3

在町△D4E中，DE=ylAD2+AE2=V13

【点拨】本题考查直径所对的圆周角是90。，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理

解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键.

6.C

【分析】根据斜边中线等于斜边一半，求出NMPO=30。，再求出/MOB和NOM2的度数，

即可求出NAMP的度数.

解：：四边形A3CD是正方形中，

，NMBg/NDO=45°,

•・•点。为MN的中点

・・・OM=ON,

u：NMPN=90。，

：・OM=OP,

：./PMN=NMPO=30。,

：.ZMOB=ZMPO+ZPMN=60°,

,ZBMO=180o-60°-45o=75°,

ZAMP=180o-75°-30o=75°,

故选：C.

【点拨】本题考查了正方形的性质和直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟

练运用相关性质，根据角的关系进行计算.

7.B

【分析】连接AC3。，相交于点。，AC交跖丁点G,先根据菱形的性质可得

AC±BD,OA=OC^ACBD=8,再根据三角形中位线定理可得即〃,然后

22

根据相似三角形的判定与性质可得言=若=3,从而可得AG=《AC,最后利用三角形

的面积公式即可得.

解：如图，连接AC,BD,相交于点。，AC交EF于点、G,

B

四边形ABC。是菱形，且它的面枳为8,

:.AC1BD,OA=OC,-ACBD=8,

2

•点区厂分别是边BC、8的中点，

/.EFHBD,EF=-BD,CF=-CD,

22

r.EFlAC,CFGyCDO,

.CGCF\

~OC~~CD~29

CG=-OC=-AC

24f

3

AG=-AC,

4

11133

则的面积为—EF,AG=-x—;AC=」x8=3,

22248

故选：B.

【点拨】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识点,

熟练掌握菱形的性质是解题关键.

8.B

【分析】过/作A5的垂线分别交4氏8于N,M,由M_LEF,证明物△NB/L设

ME=/W=x,根据MN=4,求得式,在心AFN中，利用勾股定理即可求得A尸.

解：如图，过尸作A3的垂线分别交AB,CO于N,M,

四边形ABC。是正方形，

・•.ZABC=ZBCD=/BNM=90°,

AB=BC=CD=4,

二•四边形CMN8是矩形，

.,.MN=BC=4,CM=BN,

BFVEF,

:"EFB=/FNB=90。、

ZFBN+4NFB=Z