机械原理齿轮机构教材

第十章齿轮机构及其设计§10－1齿轮机构的应用和分类§10－2齿轮的齿廓曲线§10－3渐开线的形成及其特性§10－4渐开线齿廓的啮合特性§10－6渐开线直齿圆柱齿轮任意圆上的齿厚§10－5渐开线齿轮各部分的名称和尺寸§10－7渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动§10－8渐开线齿轮的切制§10－9变位齿轮概述§10－11斜齿圆柱齿轮传动§10－12交错轴斜齿轮传动§10－13蜗杆传动§10－14圆锥齿轮传动传动§10－15其他曲线齿廓的齿轮传动简介§10－10变位齿轮传动甘肃工业大学专用§10－1齿轮机构的应用和分类作用：传递空间任意两轴（平行、相交、交错）的旋转运动，或将转动转换为移动。结构特点：圆柱体外（或内）均匀分布有大小一样的轮齿。优点：①传动比准确、传动平稳。②圆周速度大，高达300m/s。③传动功率范围大，从几瓦到10万千瓦。④效率高(η→0.99)、使用寿命长、工作安全可靠。缺点：加工成本高、不适宜远距离传动(如单车)。分类：甘肃工业大学专用平面齿轮传动（轴线平行）外齿轮传动内齿轮传动齿轮齿条直齿斜齿人字齿圆柱齿轮非圆柱齿轮

空间齿轮传动（轴线不平行）按相对运动分

按齿廓曲线分直齿斜齿曲线齿圆锥齿轮两轴相交两轴交错蜗轮蜗杆传动交错轴斜齿轮准双曲面齿轮渐开线齿轮(1765年)摆线齿轮(1650年)圆弧齿轮(1950年)按速度高低分:按传动比分:按封闭形式分：齿轮传动的类型应用实例：提问参观对象、SZI型统一机芯手表有18个齿轮、炮塔、内然机。高速、中速、低速齿轮传动。定传动比、变传动比齿轮传动。开式齿轮传动、闭式齿轮传动。球齿轮抛物线齿轮(近年)分类：甘肃工业大学专用准双曲面齿轮曲线齿圆锥齿轮斜齿圆锥齿轮2ω21ω1非圆齿轮甘肃工业大学专用共轭齿廓：一对能实现预定传动比(i12=ω1/ω2)规律的啮合齿廓。§10－2齿轮的齿廓曲线1.齿廓啮合基本定律一对齿廓在K点接触时，有：

i12=ω1/ω2＝O2P/O1P齿廓啮合基本定律:互相啮合的一对齿轮在任一位置时的传动比，都与连心线O1O2被其啮合齿廓的在接触处的公法线所分成的两段成反比。vk2vk1如果要求传动比为常数，则应使O2P/O1P为常数。

节圆：设想在P点放一只笔，则笔尖在两个齿轮运动平面内所留轨迹。o2ω2o1ω1nnttP但其法向分量应相同。否则要么分离、要么嵌入根据三心定律可知：P点为相对瞬心。其相对速度vk2k1方向，只能是沿齿廓接触点的公法线方向。k由于O2

、O1为定点，故P必为一个定点。两节圆相切于P点，且两轮节点处速度相同，故两节圆作纯滚动。vk1≠vk2甘肃工业大学专用----应用最广渐开线2.齿廓曲线的选择

理论上，满足齿廓啮合定律的曲线有无穷多，但考虑到便于制造和检测等因素，工程上只有极少数几种曲线可作为齿廓曲线，如渐开线、其中应用最广的是渐开线，其次是摆线(仅用于钟表)和变态摆线。(摆线针轮减速器)，近年来提出了圆弧和抛物线。渐开线具有很好的传动性能，而且便于制造、安装、测量和互换使用等优点。本章只研究渐开线齿轮。摆线变态摆线圆弧抛物线渐开线齿廓的提出已有近两百多年的历史，目前还没有其它曲线可以替代。甘肃工业大学专用rb§10－3渐开线的形成及其特性1.渐开线的形成―条直线在圆上作纯滚动时，直线上任一点的轨迹2.渐开线的特性②渐开线上任意点的法线切于基圆纯滚动时，

B为瞬心，速度沿t-t线，是渐开线的切线，故BK为法线③B点为曲率中心，BK为曲率半径。④渐开线形状取决于基圆⑤基圆内无渐开线。BK－发生线，①AB=BK;渐开线起始点A处曲率半径为0。可以证明tt发生线Bk基圆OArkθk基圆－rbθk－AK段的展角A1B1o1θkKB3o3θkA2B2o2－渐开线渐开线⑥同一基圆上任意两条渐开线公法线处处相等。当rb→∞，变成直线。甘肃工业大学专用rbO⑥同一基圆上任意两条渐开线的公法线处处相等。ACBC’由性质①和②有：两条反向渐开线：两条同向渐开线：B1E1=A1E1－A1B1B2E2=A2E2－A2B2B1E1=B2E2∴

A1B1=A2B2A1E1=A2E2AB=AN1+N1B=A1N1+N1B1

=A1B1AB=AN2+N2B=A2N2+N2B2

=A2B2A1B1N1A2B2N2E2EE1C”顺口溜：弧长等于发生线，基圆切线是法线，曲线形状随基圆，基圆内无渐开线。甘肃工业大学专用为使用方便，已制成函数表待查。3.渐开线方程式tgαk=BK/rb

θk=

tgαk-αk上式称为渐开线函数，用invαk

表示：θk＝invαk直角坐标方程：x=OC-DB

y=BC+DKrkθkrbαk=rb

sinu极坐标方程：=rb

cosu=rb(θk+αk)/rb式中u称为滚动角:

u=θk+αkαkvk定义：啮合时K点正压力方向与速度方向所夹锐角为渐开线上该点之压力角αk。有：αk=∠BOKBAK(x,y)yxrbOCuuDurb＝rk

cosαk

＝tgαk-αk-

rbucosu

+rbusinu=AB/rb)OABk甘肃工业大学专用ω1ω2O2rb1rb2§10－4渐开线齿廓的啮合特性1.渐开线齿廓能保证定传动比传动N2N1K’PC1要使两齿轮作定传动比传动，则两轮的齿廓无论在任何位置接触，过接触点所作公法线必须与两轮的连心线交于一个定点。两齿廓在任意点K啮合时，过K作两齿廓的法线N1N2，是基圆的切线，为定直线。i12=ω1/ω2=O2P/O1P=const工程意义：i12为常数可减少因速度变化所产生的附加动载荷、振动和噪音，延长齿轮的使用寿命，提高机器的工作精度。2.齿廓间正压力方向不变N1N2是啮合点的轨迹，称为啮合线该线又是接触点的法线，正压力总是沿法线方向，故正压力方向不变。该特性对传动的平稳性有利。C2两轮中心连线也为定直线，故交点P必为定点。在位置K’时同样有此结论。K甘肃工业大学专用3.运动可分性△O1N1P≌△O2N2P由于上述特性，工程上广泛采用渐开线作为齿轮的齿廓曲线。实际安装中心距略有变化时，不影响i12，这一特性称为运动可分性，对加工和装配很有利。O1ω1ω2O2rb1rb2N2N1PC1C2K故传动比又可写成：

i12=ω1/ω2=O2P/O1P=rb2/rb1－基圆之反比。基圆半径是定值甘肃工业大学专用§10－5渐开线齿轮各部分的名称和尺寸一、外齿轮1.名称与符号pnr齿顶圆－

da、ra齿根圆－

df、rf齿厚－sk

任意圆上的弧长齿槽宽－ek

弧长齿距（周节）－pk=sk+ek

同侧齿廓弧长齿顶高ha齿根高hf齿全高h=ha+hf齿宽－BhahfhrbOBprapb分度圆－－人为规定的计算基准圆表示符号：d、r、s、e，p=s+e法向齿距（周节）－pnseskek=pbrfpk甘肃工业大学专用2.基本参数②模数－m①齿数－z为了计算、制造和检验的方便分度圆周长：πd=zp,d=zp/π,出现无理数,不方便称为模数m

。模数的单位：mm，它是决定齿轮尺寸的一个基本参数。齿数相同的齿轮，模数大，尺寸也大。于是有：d=mz，r=mz/2人为规定：

m=p/π只能取某些简单值，m=4z=16m=2z=16m=1z=16甘肃工业大学专用

0.350.70.91.752.252.75(3.25)3.5(3.75)第二系列

4.55.5(6.5)79(11)14182228(30)3645表10-1标准模数系列表（GB1357－87）

0.10.120.150.20.250.50.40.50.60.8第一系列

11.251.522.5345681012162025324050为了便于制造、检验和互换使用，国标GB1357-87规定了标准模数系列。P306。甘肃工业大学专用Oωrb速度方向正压力方向N③分度圆压力角得：αi＝arccos(rb/ri)由

rb＝ri

cosαi对于分度圆大小相同的齿轮，如果α不同，则基圆大小将不同，因而其齿廓形状也不同。α是决定渐开线齿廓形状的一个重要参数。定义分度圆压力角为齿轮的压力角：或rb＝rcosα，对于同一条渐开线：→αi↓αb＝0α1AαiαiB1K1r1α＝arccos(rb/r)Orfrarbrdb＝dcosαBiKiriri

↓α甘肃工业大学专用由d=mz知：m和z一定时，分度圆是一个大小唯一确定的圆。规定标准值：α＝20°某些场合采用α＝14.5°、15°、22.5°、25°。如航空齿轮由db＝dcosα可知，基圆也是一个大小唯一确定的圆。称

m、z、α为渐开线齿轮的三个基本参数。甘肃工业大学专用pnrfrhahfhrbOrapbNαse齿轮各部分尺寸的计算公式：齿顶高：ha=ha*m齿根高：hf=(ha*+c*)m全齿高：h=ha+hf齿顶圆直径：da=d+2haha*

－齿顶高系数，取标准值

ha*＝1齿根圆直径：df=d-2hf基圆直径：db=dcosα法向齿距：pn=pbca*

－顶隙系数，取标准值

c*=0.25标准齿轮：详细计算公式见表10－2(P307)分度圆直径：d=mz=mzcosα=πdb/z=πmcosα=pcosα统一用pb表示=(2ha*+c*)m=(z+2ha*)m=(z-2ha*-2c*)mm、α、ha*

、c*取标准值，且e=s的齿轮。甘肃工业大学专用二、齿条特点：齿廓是直线，各点法线和速度方向线平行1)压力角处处相等，且等于齿形角，2)齿距处处相等:

p=πm其它参数的计算与外齿轮相同,如：

s=πm/2e=πm/2

esppnBhahfz→∞的特例。齿廓曲线（渐开线）→直线ha=ha*mhf=(ha*+c*)mpn=pcosαα为常数。ααα甘肃工业大学专用1)轮齿与齿槽正好与外齿轮相反。2)df>d>da三、内齿轮3)为保证齿廓全部为渐开线，要求da>db。，da＝d-2ha,df＝d+2hf结构特点：轮齿分布在空心圆柱体内表面上。不同点：rrbrfrapnhNαsehahfpBO甘肃工业大学专用BBrraAArbO§10－6渐开线直齿圆柱齿轮任意圆上的齿厚设计和检验齿轮时，常需要知道某些圆上的齿厚。如为了检查轮齿齿顶的强度，就需要计算齿顶圆上的齿厚；为了确定齿侧间隙，就需要计算节圆上的齿厚。一般表达式：

si=CC=riφ

求出φ则可解φ=∠BOB-2∠BOCφSi=riφ其中：αi=arccos(rb/ri)顶圆齿厚：Sa=(sra/r)-2ra(invαa-invα)节圆齿厚：S’=(sr’/r)-2r’(invα’-invα)基圆齿厚：Sb=(srb/r)+2rbinvα=cosα(s+mzinvα)=scosα+2rcosαinvα

=(sri/r)-2ri(invαi-invα)=(s/r)=(s/r)-2(NαiαsriCCsiθsb-2(θi-θ)sainvαi-invα)θi甘肃工业大学专用pb2pb2pb2pb1pb1<pb2pb1>pb2pb1=pb2pb1pb1不能正确啮合!不能正确啮合!能正确啮合!rb1r1O1ω1rb2r2O2ω2rb1r1O1ω1rb1r1O1ω1rb2r2O2ω2rb2r2O2ω2PN1N2B2B1PN1N2B2B1PN1N2B1B2§10－7渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动一对齿轮传动时，所有啮合点都在啮合线N1N2上。渐开线齿廓能满足齿廓啮合基本定律，那么，是否任意两个渐开线齿轮都能组成一对齿轮传动呢？m1<m2从外观看齿1比齿2小m1>m2外观齿1比齿2大甘肃工业大学专用要使进入啮合区内的各对齿轮都能正确地进入啮合，两齿轮的相邻两齿同侧齿廓间的法向距离应相等：1.正确啮合条件

pb1=pb2将pb=πmcosα代入得：

m1cosα1=m2cosα2因m和α都取标准值，使上式成立的条件为：m1=m2，α1=α2结论：一对渐开线齿轮的正确啮合条件是它们模数和压力角应分别相等。pb2pb1rb2r2O2rb1r1O1ω1ω2PN1N2B2B1甘肃工业大学专用2.中心距a及啮合角α’2.1外啮合传动对标准齿轮，确定中心距a时，应满足两个要求：2)顶隙c为标准值。

储油用两轮节圆总相切：a=r’1+r’2

此时有：

a=ra1+c+rf2=r1+ha*m+c*m+r2-(ha*m+c*m)=r1+r2=m(z1+z2)/2a=r1+r2=r1+r2两轮的传动比：i12=r’2/r’1r’1=r1r’2=r2节圆与分度圆重合=r2/r1标准中心距为了便于润滑、制造和装配误差，以及受力受热变形膨胀所引起的挤压现象，实际上侧隙不为零，由公差保证1)理论上齿侧间隙为零。甘肃工业大学专用rb2r2O2r1O1ω1ω2PN1N2rb1ra1ra1rf2rf2caa’>aO1rb2r2O2r1ω1ω2PN2rb1ra1rf2N1r'2r’1α’=αα’>α定义：N1N2

线与VP

之间的夹角，称为啮合角α’，即节圆压力角。标准安装时：α’＝α，非标准安装时：由于a’>a此时α’>α。,两分度圆将分离，强调提问：a’<a可能吗？rb1＋rb2=

(r1+r2)cosα=a

cosα甘肃工业大学专用r1N2v22非标准安装时：由于a’>a，两分度圆将分离，此时α’>α但基圆不变：比较后有：2.2齿轮齿条传动标准安装：非标准安装：O11N1rf1ra1ω1α’=αN2v22r1O11N1rf1ra1ω1B1B2α’=αB1B2P节圆与分度圆重合，节线与分度线重合,=

a’cosα’P无穷远α’＝αN1N2

线与齿廓垂直，故节点位置不变，且r1’=r1

rb1＋rb2=

(r1’+r2’)cosα’a’cosα’=

acosα

重要结论标准安装时：rb1＋rb2=a

cosαα’＝α节线与分度线不重合

甘肃工业大学专用N1N2O1rb1Prb2ω2ω1O23.一对轮齿的啮合过程B1B2

－实际啮合线轮齿在从动轮顶圆与N1N2

线交点B2处进入啮合，主动轮齿根推动从动轮齿顶。N1N2

：理论上可能的最长啮合线段

因基圆内无渐开线N1、N2

－啮合极限点阴影线部分－齿廓的实际工作段。ra1ra2随着传动的进行，啮合点沿N1N2

线移动。在主动轮顶圆与N1N2

线交点处B1脱离啮合。主动轮：啮合点从齿根走向齿顶，而在从动轮，正好相反。B1B2－理论啮合线段N2N1甘肃工业大学专用O1N2N1KO2ω2ω1pb4.连续传动条件为保证连续传动，要求：实际啮合线段B1B2≥pb(齿轮的法向齿距)，B1B2定义:

εα=B1B2/pb

为一对齿轮的重合度一对齿轮的连续传动条件是：为保证可靠工作，工程上要求：表10-3[εα]的推荐值：使用场合一般机械制造业汽车拖拉机金属切削机

[εα]1.41.1～1.21.3从理论上讲，重合度为1就能保证连续传动，但齿轮制造和安装有误差即：B1B2/pb≥1εα≥[εα]εα≥1一对轮齿啮合传动的区间是有限的。要保证齿轮连续转动，则在前一对轮齿脱离啮合之前,后一对轮齿必须及时地进入啮合。因此有一个连续传动的问题。甘肃工业大学专用α’αa2计算公式：εα=B1B2/pb＝(PB1+PB2)∴εα

=[z1(tgαa1-tgα’)

+z2(tgαa2-tgα’)]/2πN1N2O1rb1rb2O2P其中：PB1＝B1N1-PN1＝rb1tgαa1＝z1mcosα(tgαa1-tgα’)/2

PB2＝B2N2-PN2＝rb2tgαa2＝z2mcosα(tgαa2-tgα’)/2①外啮合传动B2ra2ra1B1-rb1tgα’α’αa1-rb2tgα’/πmcosα

甘肃工业大学专用PN1O1②齿轮齿条传动：PB1＝z1mcosα(tgαa1-tgα’)/2PB2＝h*am/sinαh*am代入得：εα=[z1

(tgαa1-tgα’

)]/2π

+

h*a/πcosαsinαB1B2εα=B1B2/pb＝(PB1+PB2)/πmcosα

α’α’αa1甘肃工业大学专用εα=B1B2/pb＝(PB1+PB2)/πmcosα

∴εα=[Z1(tgαa1-tgα’)-Z2(tgαa2-tgα’)]/2πPB2＝PN2-B2N2＝rb2tgα’＝-z2mcosα(tgαa2-tgα’)/2③内啮合传动PB1＝B1N1-PN1αa1α’αa2<α’＝z1mcosα(tgαa1-tgα’)/2同上εα的物理意义：表示同时参与啮合的轮齿对数的平均值。N2PO2ra2rb2B2N1O1ra1rb1B1-rb2tgαa2α’αa2-rb1tgα’=rb1tgαa1甘肃工业大学专用rb2rb20.55Pb0.45Pb0.45PbPbPb单齿啮合区双齿啮合区双齿啮合区εα=

1.45B1B2=εαPb

=

1.45Pb第一对齿在B2点进入啮合第一对齿从B2运动到B3点时；第一对齿从B3运动到B1点时；第一对齿在B1点脱离啮合后；只有第二对齿处于啮合状态。当第二对齿从B4点运动到B3点时；第三对正好在B2点进入啮合。开始一个新的循环。1223单齿啮合区长度：

L1＝εαPb

－2(εα－1)Pb

＝(2－εα)Pb

双齿啮合区长度：

L2＝2(εα－1)Pb

12第二对齿在B2点恰好进入啮合。第二对齿从B2运动到B4点时。N2N1PB1B31B41.45PbB2甘肃工业大学专用双双T单/

T

=[B1B2-2(B1B2-pb)]/B1B2则双齿啮合所占时间的百分比为：T双/

T单齿啮合所占时间的百分比为：设一对轮齿从B2点进入啮合到B1点退出啮合的时间为T，单εαpb

pb

pbB1B2=2-2/εα

=2(B1B2-pb)/B1B2=(2pb-B1B2)/B1B2=2/εα-1

甘肃工业大学专用ra1ra2B2B1O1O2影响εα的因素：εα↑→啮合齿对↑→平稳性、承载能力↑希望ε大好①εα与z,ha*,α’,α有关而与m无关。αa＝arccos(rb/ra)②

ha*↑④α’↑③

z↑⑤α↓分析：εα

=[Z1(tgαa1-tgα’)+Z2(tgαa2-tgα’)]/2πN2O1ra1B1N1rb1rb2O2PB2ra2B2ra2→da↑→B1B2↑→εα↑→αa↑→εα↑

α’α’

>α’B1B2

<

B1B2α’B2B1→B1B2↓→εα↓

→αa↑→εα↑＝arccos[mzcosα/(mz+2ha*m)]＝arccos[zcosα/(z+2ha*)]＝arccos(db/da)甘肃工业大学专用P当Z1,,Z2→∞时εαmax=(PB1+PB2)/pbPB1＝PB2=4ha*/πsin2αh*amα取：α=20°,ha*=1，εα→εαmaxεαmax=1.981,

＝ha*m/sinαB1B2=2ha*m/(sinαπmcosα)甘肃工业大学专用§10－8渐开线齿轮的切制1.齿廓切制的基本原理齿轮加工方法仿形法范成法(展成法共轭法包络法)盘铣刀指状铣刀插齿滚齿剃齿磨齿铸造法热轧法冲压法模锻法粉末冶金法切制法最常用铣削拉削

铣刀号数

12345678所切齿轮齿数12～1314～1617～2021～2526～3435～5455～134≥1358把一组各号铣刀切制齿轮的齿数范围产生齿形误差和分度误差，精度较低，加工不连续，生产效率低。适于单件生产。一种模数只需要一把刀具连续切削，生产效率高，精度高，用于批量生产。甘肃工业大学专用指状铣刀加工盘铣刀加工铣刀旋转，工件进给分度、断续切削。适用于加工大模数m>20

的齿轮和人字齿轮。由db=mzcosα可知，渐开线形状随齿数变化。要想获得精确的齿廓，加工一种齿数的齿轮，就需要一把刀具。这在工程上是不现实的。分度进给分度切削ω进给切削ω甘肃工业大学专用齿轮插刀加工i=ω0/ω=z/z0让刀运动切削运动ωω0范成运动ω0ω共轭齿廓互为包络线齿条插刀加工进给切削让刀ωv范成V＝ωr＝ωmz/2甘肃工业大学专用滚刀滚齿加工进给进给ω0ωvω0ω范成运动V＝ωr＝ωmz/2γ滚刀倾斜tt滚刀轴剖面相当于齿条相当于齿轮齿条啮合传动ω0切削甘肃工业大学专用2.用标准齿条型刀具加工标准齿轮标准齿条型刀具比基准齿形高出c*m一段切出齿根过渡曲线。

非渐开线讨论切制原理时不考虑此部分。GB1356-88规定了标准齿条型刀具的基准齿形。2.1标准齿条型刀具2.2用标准齿条型刀具加工标准齿轮h*amh*amc*mπm/2πm/2α=20°c*m分度线分度圆hf=(h*a+c*)mha=h*am加工标准齿轮：刀具分度线刚好与轮坯的分度圆作纯滚动。加工结果：s＝e＝πm/2顶线esha=h*amhf=(h*a+c*)m甘肃工业大学专用PααN1rbrbrO132B1B2分度圆基圆3.渐开线齿廓的根切图示现象称为轮齿的根切。根切的后果：①削弱轮齿的抗弯强度；.3.1产生根切的原因PααrbrraN1O123B2B1PB2<PN1

不根切1PB2=PN1

不根切刀具在位置1开始切削齿间；在位置2开始切削渐开线齿廓；在位置3切削完全部齿廓；②使重合度ε下降。1甘肃工业大学专用3O1PααN1rbr结论：刀具齿顶线与啮合线的交点B2落在极限啮合点N1的右上方，必发生根切。根切条件为：4发生根切M在位置2开始切削渐开线齿廓；已加工好的齿廓根部落在刀刃的左侧，被切掉；刀具沿水平方向移动的距离：

N1M

＝rφ沿法线移动的距离：

N1K

＝N1Mcosφ弧长与直线长度相等：

N1K

＝N1N’1到达位置4时，轮坯转过φ角，PB2>PN12B1B2φN’1K在位置3切削完全部齿廓；强调B2的位置强调N’1是齿廓起始点,并证明该点落在刀刃左边α基圆转过的弧长为：

N1N’1＝rbφ50分钟1＝rφcosα＝rφcosα甘肃工业大学专用3.2渐开线齿轮不发生根切的最少齿数在齿高相同的情况下，刀具齿越多，越容易发生根切齿条型刀具比齿轮型刀具更容易发生根切。凡齿条刀不根切，则齿轮刀肯定不会发生根切，故只讨论齿条型刀具。ra2N1rb1O1P当被加工齿轮的模数m确定之后，其刀具齿顶线与啮合线的交点B2就唯一确定，ra1B2这时极限啮合点N1的位置随基圆大小变动，当N1B2两点重合时，正好不根切。不根切的条件：在△PN1O1

中有：在△PB2B’

中有：代入求得：

z≥2ha*/sin2α

取α=20°,ha*=1，得:zmin=17h*amra3∞B’rb

N1O1Prb1N1

rb3

N1B2rαh*amα即：

zmin＝2ha*/sin2α

PN1≥P

B2=mzsinα/2PN1=rsinαPB2=ha*m/sinα不根切刚好不根切根切甘肃工业大学专用rPrb1N13.3避免根切的措施a)减小ha*

↓b)加大刀具角α

↑c)变位修正，刀具远离轮坯中心。α2α2α1α1B2rPrb1N1B2Ft=M/rFr2Fn2α2α1Fn1Fr1→εα↓→正压力Fn↑增大压力角后有副作用→功耗↑，这两种方法都不现实rb2N1B2所得齿轮为变位齿轮。→连续性、平稳性↓，得用非标准刀具。得用非标准刀具。rPrb1N1B2B2甘肃工业大学专用§10－9变位齿轮概述标准齿轮的优点：计算简单、互换性好。缺点：①当z<zmin时，产生根切。但实际生产中经常要用到z<zmin的齿轮。②不适合a’≠a的场合。a’<a

时，不能安装。当a’>a时，产生过大侧隙，且εα↓③小齿轮容易坏。原因：ρ小，滑动系数大，齿根薄。希望两者寿命接近。为改善上述不足，就必须对齿轮进行变位修正。一、加工齿轮时刀具的变位

从避免根切引入为避免根切，可径向移动刀具xm

h*amN1ααB2刀具中线称x为径向变位系数。

齿高有变化规定:远离轮坯中心时，x>0，称正变位齿轮。靠近轮坯中心时，x<0，称负变位齿轮。B2xmxm发生根切时，移动刀具可避免,问题是刀具要移动多大距离才能不根切？甘肃工业大学专用Q二、最小变位系数xmin当z<zmin时，为避免根切，刀具的齿顶线应移到N1或以下的位置：N1Q≥ha*m-xm∵N1Q＝N1Psinα∴x≥ha*-zsin2α/2由

zmin＝2ha*/sin2α

有：得：x≥ha*(zmin-z)刀具最小变位系数为：

xmin=ha*(zmin-z)＝rsinαsinα＝mzsin2α/2xmxmxminmαrN1αO1PB2h*am或xm≥ha*m-N1Q(sin2α)/2＝ha*/zmin甘肃工业大学专用三、变位齿轮的几何尺寸1.变位齿轮的基本参数m、z、α与标准齿轮相同，故d、db与标准齿轮也相同，齿廓曲线取自同一条渐开线的不同段。齿根高：hf=ha*m＋c*m－xm2.齿顶高和齿根高与标准齿轮不同顶圆半径：ra

=r+ha=r+(ha*+x)m齿顶高：由毛坯大小确定，如果保证全齿高不变，则有：hahfha=(ha*+x)m分度圆标准齿轮x＝0正变位齿轮x>0负变位齿轮x<0甘肃工业大学专用3.齿厚与齿槽宽与标准齿轮不同齿厚：

s=πm/2xmtgαKJIα正变位：齿厚变宽，齿槽宽减薄。xmxm刀具分度线刀具节线分度圆PN1基圆O1αrb变位后与轮坯分度圆相切的不是刀具的分度线，而是刀具节线，刀具节线上的齿厚减小、齿槽宽增大，则轮坯分度圆上的齿厚将增大。S=πm/2s’齿槽宽：

e=πm/2+2xmtgα－2xmtgα负变位：正好相反。采用变位修正法加工变位齿轮，不仅可以避免根切，而且与标准齿轮相比，齿厚等参数发生了变化，因而，可以用这种方法来改善齿轮的传动质量和满足其他要求。且加工所用刀具与标准齿轮的一样，所以

变位齿轮在各类机械中获得了广泛地应用。B2100分钟甘肃工业大学专用§10－10变位齿轮传动1.正确啮合条件和连续传动条件与标准齿轮相同，即：

m1=m2,α1=α2,εα≥[εα]2.中心距与啮合角无侧隙啮合时：s'1=e'2故有：p'＝

s'1+e'1

由任意圆齿厚公式得：s'1=s1r'1/r1-2r'1(invα'-invα)式中：

s1＝m(π/2+2x1tgα)又

r'i/ri代入

p'=s'1+s'2

得：=s'2+e'2=s'1+s'2s'2=s2r'2/r2-2r'2(invα'-invα)，s'2=e'1s2＝m(π/2+2x2tgα)

＝(rbi

/cosα')/(rbi/cosα)=cosα/cosα’i=1,2

本节讨论变位齿轮的啮合传动与设计问题甘肃工业大学专用上式称无侧隙啮合方程。分析：若x1+x2≠0即分度圆与节圆不重合，两分度圆分离或相交。a’≠a－中心距变动系数无侧隙啮合时有：由a’cosα’

=acosα知：,则α’≠α

甘肃工业大学专用为了保证两齿轮之间具有标准的顶隙：c=c*m,则两轮的中心距为：如果无侧隙和标准顶隙同时满足，则应使：可以证明：只要x1+x2≠0两个要求不能同时得到满足。解决办法：将轮齿削顶。除了x1+x2＝0之外，总有x1+x2>y，即σ>0,

轮齿总要削顶。－－称为齿顶高变动系数a'=a''即：y=x1+x2则x1+x2>y，即

a''>a'。构造函数f(α’)=x1+x2–y则当α’=α时有极小值x1+x2＝y甘肃工业大学专用3.变位齿轮传动类型及其特点标准齿轮传动x1＝x2＝0等变位齿轮传动x1＝-x2≠0不等变位齿轮传动零传动x1＋x2＝0

正传动

x1＋x2>0负传动x1＋x2<0变位齿轮传动类型1.x1+x2＝0，且x1＝x2＝0

标准齿轮传动（变位齿轮传动的特例）2.x1+x2＝0，且x1＝-x2≠0等变位齿轮传动（高度变位齿轮传动）有：a’=ay=0σ=0α’=αr’=r小齿轮采用正变位，x1>0，大齿轮采用负变位，x2<0甘肃工业大学专用两轮不产生根切的条件：x1≥ha*(zmin-z1)/zmin

x2≥ha*(zmin-z2)/zmin两式相加，设ha*＝1，则有：

x1+x2≥[2zmin-(z1+z2)]/zmin∵x1+x2＝0∴z1+z2≥2zmin优缺点：①可采用z1≤zmin的小齿轮，仍不根切,使结构更紧凑。②改善小齿轮的磨损情况。③相对提高承载能力，因大小齿轮强度趋于接近。④缺点是：没有互换性，必须成对使用，εα略有减小。甘肃工业大学专用3.

x1+x2≠0

不等变位齿轮传动（角度变位齿轮传动）

当x1+x2>0

称正传动，当x1+x2<0

称负传动。b)负传动时有：

a’<ay<0σ>0α’<αr’<r

齿高降低σm。优点：可以采用z1+z2<2zmin

而不根切，结构紧凑。其余同上。a)正传动时有：

a’>ay>0σ>0α’>αr’>r

齿高降低σm优缺点：与正传动相反。仅用于配凑中心距的场合。缺点：没有互换性，必须成对使用，因齿顶降低使εα↓。甘肃工业大学专用4.变位齿轮传动的设计步骤一、已知中心距的设计1)计算啮合角：α’＝arccos(acosα/a’)2)确定变位系数之和：

x1+x2＝(invα’－invα)(z1+

z2)/2tgα

3)确定中心距变动系数：

y=(a’－a)/m4)确定齿顶高变动系数：

σ＝(x1+x2)-y5)分配变位系数。6)按表10－4(P327)计算两轮的几何尺寸。二、已知变位系数的设计1)计算啮合角：

invα’＝2tgα(x1+x2)/(z1+z2)+invα2)确定中心距:a’＝acosα/cosα’3)确定y和σ：

y=(a’－a)/m,σ＝x1+x2－y4)按表10－4(P327)计算两轮的几何尺寸。已知条件是：z1、z2、m、x1、x2，其设计步骤如下：已知条件是：z1、z2、m、a’

，其设计步骤如下：甘肃工业大学专用发生面§10－11斜齿圆柱齿轮传动1.斜齿轮齿廓曲面的形成及啮合特点考虑齿轮宽度，则直齿轮的齿廓曲面是发生面在基圆柱上作纯滚动时，发生面内一条与轴线平行的直线KK所展成的曲面。直齿轮：啮合线→啮合面两基圆的内公切面啮合点→接触线，即啮合面与齿廓曲面的交线。啮合特点→沿齿宽同时进入或退出啮合。突然加载或卸载，运动平稳性差，冲击、振动和噪音大。斜直线KK的轨迹－斜齿轮的齿廓曲面,啮合特点:螺旋渐开面AKKA发生面KKβbAA基圆柱βb

－基圆柱上的螺旋角接触线长度的变化：短→长→短。。优点：传动平稳、冲击、振动和噪音较小，适宜高速、重载传动。加载、卸载过程是逐渐进行的。KK线上每一点都产生一条渐开线，其形状相同而起始点不在同一条母线上甘肃工业大学专用甘肃工业大学专用β2.斜齿轮的基本参数2.1斜齿轮的螺旋角将分度圆柱展开，得一矩形，有：tgβ=πd/l其中αt为端面压力角。πdβπdbβb同理，将基圆柱展开，也得一矩形，有：tgβb=πdb/ll得：tgβb/tgβ=db/d∴

tgβb

=

tgβ

cosαtd=cosαtβ左旋β右旋β定义分度圆柱上的螺旋角为斜齿轮的螺旋角β

。判别方法甘肃工业大学专用B斜齿轮：法面内的齿形与刀具的齿形一样，取标准值。2.2模数mn、mt将分度圆柱展开，得一矩形，pn=ptcosβ将pn＝πmn,pt＝πmt

代入得：mn=mtcosβπdβpt

pnβ可求得端面齿距与法面齿距之间的关系：斜齿轮的齿面为螺旋渐开面，其法面齿形和端面齿形不一样，参数也不一样。切削加工时，刀具沿齿槽方向运动，故法面内的齿形与刀具的齿形一样，取标准值。计算时，按端面参数进行，故应建立两者之间的关系。端面是圆，而法面不是圆甘肃工业大学专用2.3压力角：αn、αt用斜齿条说明：

αnαtββ在△a’b’c’中，有：∠a’b’c=αn

在△abc中,有：∠abc=αt由

ab=a’b’,a’c=accosβ

得：tgαn=

tgαt

cosβ

3.斜齿轮传动的几何尺寸不论在法面还是端面，其齿顶高和齿根高一样：h*an－法面齿顶高系数，han*＝1c*n－法面顶隙系数，c*n＝0.25过c点作轮齿的法剖面在法面和端面内齿高一样b'a'cab,tgαn=a’c/a’b’tgαt=ac/ab

ha=h*anmnhf=(h*an+c

*n)mn甘肃工业大学专用分度圆直径：

d=zmt=zmn/cosβ中心距：a=r1+r2可通过改变β来调整a的大小。变位修正，刀具移动量△r＝△n＝△t,有：

△r＝xt

mt得：xt=xn

cosβ

其他尺寸详见P336表10－54.一对斜齿圆柱齿轮的正确啮合条件啮合处的齿向相同。外啮合：β1＝-β2mn1=mn2，αn1=αn1

mt1=mt2，αt1＝αt2一对斜齿轮的正确啮合条件，除了模数和压力角应分别相等外，其螺旋角必须匹配。=mn(z1+z2)/2cosβ

=xn

mn=xn

mt

cosβ

,内啮合：β1＝β2甘肃工业大学专用5.斜齿轮传动的重合度直齿轮：

ε＝L/pb

斜齿轮：

εγ＝(L+△L)/pbtε的增量：εβ＝△L/pbttgβb＝πdb/l代入得：

εβ＝Btgβcosαt/pt

cosαt

＝(Bsinβ/cosβ)/(pn/cosβ)＝Bsinβ/πmn

εβ－轴面重合度

εα－端面重合度,与直齿轮的计算公式相同。分析图示直齿轮和斜齿轮在啮合面进入啮合(B2B2)和退出啮合(B1B1)的情形。△LLB1B1BB2B2BB2B2βbβbεα=[Z1(tgαat1-tgαt’)+z2(tgαat2-tgαt’)]/2π＝πdcosαt/lB1B1＝Btgβb/pbt

＝εα+εβ=tgβcosαt

若B＝100，β＝20∘mn＝2，则εβ＝5.45甘肃工业大学专用cdβρ6.斜齿圆柱齿轮的当量齿数用盘铣刀加工斜齿轮时，加工沿法面进行，要求斜齿轮法面内的齿形与所选铣刀的齿形近可能接近。选择铣刀组号的依据是直齿轮的齿数，因此，有必要知道一个齿数为z的斜齿轮法面内的齿形与多少个齿的直齿轮的齿形相当，该直齿轮作为选刀号的依据。定义：与斜齿轮法面齿形相当的直齿轮，称为该斜齿轮的当量齿轮，其齿数称当量齿数。过分度圆C点作轮齿的法剖面得一椭圆，以C点曲率半径ρ作为当量齿轮的分度圆半径。rv

=ρ得：zv

＝2rv/mn斜齿轮不发生根切的最少齿数：

zmin=zvmincos3β＝d/mncos2β＝zmt/

mncos2β＝z/cos3βa椭圆长半轴a=d/2cosβ齿槽短半轴b=d/2由高数知，C点的曲率半径为：bnn＝a2/b=d/2cos2β若β=20∘zvmin

=17zmin=14甘肃工业大学专用βFnFtββFtFn7.斜齿轮的主要优缺点

①啮合性能好、传动平稳，噪音小。

②重合度大，承载能力高。③zmin<zvmin,机构更紧凑。

④缺点是产生轴向力，且随β增大而增大，一般取β＝8°～20°。采用人字齿轮，可使β＝25°～40°。常用于高速大功率传动中(如船用齿轮箱)。ββFsFs甘肃工业大学专用1O1O1PO1r1ω11§10－12交错轴斜齿轮(螺旋齿轮)传动结构特点：两轮在啮合处的齿向一致。强调t-t线在两轮之间。轮2在上定义：两轴线在平行于两轴线之平面上的投影所夹锐角称为交错角∑。∑ttβ1β2交错角与螺旋角的关系：两螺旋角同向两轴呈空间交错，单个齿轮与斜齿轮相同。∑=β1+β2任意角O2O22O2O2r2ω22甘肃工业大学专用两螺旋角反向时：∑ttβ1β2轮1右、轮2左通用计算公式：∑＝|β1＋β2|式中β1、β2取代数值，两螺旋角同向时，符号相同，否则异号。若β1＝－β2

，则∑＝0若β1＝β2＝0，→∑＝0→斜齿轮传动→直齿轮传动。a=r1＋r2其它参数与斜齿轮相同。∑＝β1－β2

O2O2O1O1P21O1r1ω11O2O2r2ω22a中心距:

为两轮分度圆半径之和2.正确啮合条件啮合过程在法面内进行，两轮的法面参数应相同：由

mn=mtcosβ知，当β1≠β2

时，mn1=mn2=m，αn1=αn1=α端面模数和压力角不一定相等。甘肃工业大学专用3.传动比及从动轮ω2的转向由d=mtz得：i12=ω1/ω2与斜齿轮的不同点，i12由两个参数决定。从动轮的转向只能通过作图法确定。在主动轮转向不变时，通过改变螺旋角的旋向来改变从动轮的转向。vp1vp2vp2速度关系：vp2=vp1+vp2p1

vp1tt同为右旋同为左旋z=d/mt12O2O2O1O1Ptt12O2O2O1O1P=zmn/cosβ

,

=dcosβ/mn=z1/z2=d2cosβ2/d1cosβ1

甘肃工业大学专用4.优缺点及应用场合优点：适当选择螺旋角使两轮分度圆大小近似相等，从而接近等强度。缺点：①相对滑动速度较大，磨损较快，传动效率低。③产生轴向力。②点接触，承载能力小。节圆柱交错,切于一点r'2r'1P甘肃工业大学专用1ω1§10－13蜗杆传动形成：在交错轴斜齿轮中，当小齿轮的齿数很少（如z1=1）而且β1很大时，轮齿在圆柱体上构成多圈完整的螺旋，蜗杆头数：螺旋数z1（从端面数）。蜗杆蜗杆与螺旋相似有左旋右旋之分，常用为右旋。小齿轮称为蜗杆，而啮合件称为蜗轮。作用：传递两交错轴之间的运动和动力，∑＝90°。点接触改进措施：将刀具做成蜗杆状，用范成法切制蜗轮，所得蜗轮蜗杆为线接触。2ω2蜗轮甘肃工业大学专用P优点：1)传动平稳，振动、冲击和噪音很小。蜗杆轮齿变成连续不断的螺旋齿3)单级可获得较大的传动比，结构紧凑。因为蜗杆齿数通常为1～4

减速用：5≤i12≤70，常用：15≤i12≤50。相对滑动速度大，摩擦损耗大，易发热，效率低。蜗轮用耐磨材料做，成本高。4)当γ1<φv时，反行程具有自锁性〔起重机用〕2)线接触，可传递较大的动力。蜗杆轮齿变成连续不断的螺旋齿增速用：1/5≤i21≤1/15缺点：vp1vp2vp1

p2甘肃工业大学专用2.类型圆柱形蜗杆

环面蜗杆锥蜗杆阿基米德蜗杆－端面齿形为阿基米德螺线渐开线蜗杆－端面齿形为渐开线。

圆弧齿圆柱蜗杆－轴剖面内的齿廓为凹圆弧。蜗杆类型渐开线蜗杆阿基米德蜗杆γ阿基米德螺线渐开线基圆甘肃工业大学专用

圆弧齿圆柱蜗杆锥蜗杆环面蜗杆甘肃工业大学专用3.正确啮合条件中间平面：过蜗杆轴线垂直于蜗轮轴线。正确啮合条件是中间平面内参数分别相等：mt2=mx1=m，αt1=αx1=α蜗轮蜗杆轮齿旋向相同，γ1在此平面内，蜗轮蜗杆相当于齿轮齿条啮合。∵∑＝β1+β2＝90°γ1+β1＝90°

∴γ1＝β2β1中间平面螺旋升角甘肃工业大学专用4.主要参数及几何尺寸1)压力角:α=20°2)模数。取标准值，与齿轮模数系列不同。见P346表10－6。分度传动，推荐用α=15°。动力传动，推荐：α=25°第一系列1,1.25,1.6,2,2.5,3.15,4,5,6.3810,12.5,16,20,25,31.5,40第二系列1.5,3,3.5,4.5,5.56,7,12,14表10－6蜗杆模数m值GB10088-88甘肃工业大学专用d3)导程角(螺旋升角)：将分度圆柱展开得：πd1lpx1γ1β1=z1px1/πd1=mz1/d1

γ14)蜗杆直径系数q加工时滚刀直径等参数与蜗杆分度圆直径等参数相同，为了限制滚刀的数量，国标规定分度圆直径只能取标准值，并与模数相配。q为蜗杆特性系数。匹配系列见表10－7P346定义：

q=d1/m一般取q=8～18。

tgγ1=l/πd1甘肃工业大学专用摘自GB10085-88,括号中的数字尽可能不采用表10－7蜗杆分度圆直径与其模数的匹配标准系列mmm11.251.62d1182022.42028(18)22.4(28)35.5m2.53.154d1(22.4)28(35.5)45(28)35.5(45)56(31.5)m456.3d140(50)71(40)50(63)90(50)63m6.3810d1(80)112(63)80(100)140(71)90…甘肃工业大学专用分析：

m一定时，q↑

q=d1/m5)蜗杆头数和蜗轮齿数：z1=1、2、4、6，要求自锁时，取小值。要求有传动效率或速度较高时，则取大值。z2=29～70z1一定时，q↓→强度、刚度↑→传动效率↑原因是6)分度圆直径蜗杆：查P325表8-9选定。蜗轮：d2=mz27)中心距：a=r1＋r2

→d1↑→γ1↑ω1pω2ar2r1∵蜗轮蜗杆相当于螺旋副，故其机械效率为：η＝tg(γ1)/tg(γ1＋φv)甘肃工业大学专用ω1p21ω112pω112p一般蜗杆为主动，其转向是已知的,蜗轮的转向可通过画速度矢量确定。5.蜗轮转向的确定用作图法确定:右旋蜗杆：伸出左手，四指顺蜗杆转向，则蜗轮的切向速度vp2的方向与拇指指向相同。手势确定：因蜗轮蜗杆相当于螺旋副的运动，有一种实用且简便的转向判别方法：

vp2=vp1+vp2p1

左旋蜗杆：用右手判断，方法一样。ω2ω2vp2vp2ttω2vp1vp2蜗轮的转向甘肃工业大学专用§10－14圆锥齿轮传动1.应用、特点和分类作用：传递两相交轴之间的运动和动力。结构特点：轮齿分布在圆锥外表面上，轮齿大小逐