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文档简介
四川省广元市2021中考数学试题
一、选择题.(每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题意的.每小题3分,共30分)
1.计算卜3|一(一2)的最后结果是()
A.1B.-1C.5D.-5
【答案】C
【解析】
【分析】先计算绝对值,再将减法转化为加法运算即可得到最后结果.
【详解】解:原式=3+2=5,
故选:C.
【点睛】本题考查了绝对值化简和有理数的加减法运算,解决本题的关键是牢记绝对值定义与有理数运算
法则,本题较基础,考查了学生对概念的理解与应用.
2.下列图形均表示医疗或救援的标识,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A.
医疗废物
中国红十字会
国际急救
O医疗卫生服务机构
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称及中心对称图形的定义逐一判断即可得答案.
【详解】A.是轴对称图形,但不是中心对称图形,故该选项不符合题意,
B.是轴对称图形,但不是中心对称图形,故该选项不符合题意,
C.是轴对称图形,又是中心对称图形,故该选项符合题意,
D.既不是轴对称图形,又不是中心对称图形,故该选项不符合题意,
故选:C.
【点睛】本题考查轴对称图形及中心对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对
称轴折叠后能完全重合;中心对称图形的关键是寻找对称中心,图形绕对称中心旋转180°后,两部分能够
完全重合;熟练掌握定义是解题关键.
3.下列运算正确的是()
=a~-B.(a+3)(a—3)=/—9
C.—2(九(+1)=-6iz—1D.(a+Z?)(a—2Z»)=a2—2b2
【答案】B
【解析】
【分析】分别根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式法则、多项式乘以多项式法则进行计算
即可判断求解.
【详解】解:A.a2-a+~,原选项计算错误,不合题意;
4
B.(a+3)(a-3)=〃—9,原选项计算正确,符合题意;
C.-2(3。+1)=-6。—2,原选项计算错误,不合题意;
D.(a+b)(a-2b)=a2-2ab+ab-2b2=cr-ab-2b2,原选项计算错误,不合题意.
故选:B
【点睛】本题考查了整式的乘法运算,乘法公式等知识,熟知乘法公式和整式的乘法法则是解题关键.
4.一组数据:1,2,2,3,若添加一个数据3,则不发生变化的统计量是()
A.平均数B.中位数C.众数D.方差
【答案】B
【解析】
【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可.
【详解】解:4、原来数据的平均数是।+2+2+3=2,添加数字3后平均数为l+2+2+3+3=所
455
以平均数发生了变化,故4不符合题意;
B、原来数据的中位数是2,添加数字3后中位数仍为2,故8与要求相符;
C、原来数据的众数是2,添加数字3后众数为2和3,故C与要求不符;
D、原来数据的方差=4(1—2)2+(2-2>+(2—2)2+0-2)2]=L,
42
添加数字3后的方差=£1(1—111)2,+(2—£11)2,+(2—511)2,+(3-£11)2,+(3-?11)2,]=1]4,故方差发生了变化,
故选项。不符合题意.
故选:B.
【点睛】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数,熟练掌握相关概念和公式是解题的关键.
5.下列命题中,真命题是()
A.2九=—
lx
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形
D.已知抛物线了=》2一4%-5,当一1<尤<5时,y<0
【答案】D
【解析】
【分析】根据零次塞、菱形的判定、正方形的判定及二次函数的图象与性质可直接进行排除选项.
【详解】解:A、2%-'=-,错误,故不符合题意;
X
B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,错误,故不符合题意;
C、顺次连接矩形各边中点的四边形是菱形,错误,故不符合题意;
D、由抛物线'=/一4%-5可得与无轴的交点坐标为(一1,0),(5,0),开口向上,然后可得当一l<x<5时,
y<0,正确,故符合题意;
故选D.
【点睛】本题主要考查零次累、菱形的判定、正方形的判定及二次函数的图象与性质,熟练掌握零次基、
菱形的判定、正方形的判定及二次函数的图象与性质是解题的关键.
6.观察下列作图痕迹,所作线段CD为AABC的角平分线的是()
【解析】
【分析】根据角平分线画法逐一进行判断即可.
【详解】A:所作线段为4B边上的高,选项错误;
以做图痕迹为A8边上的中垂线,CD为AB边上的中线,选项错误;
C:CQ为NAC8的角平分线,满足题意。
D;所作线段为4B边上的高,选项错误
故选:C.
【点睛】本题考查点到直线距离的画法,角平分线的画法,中垂线的画法,能够区别彼此之间的不同是解
题切入点.
7.如图,从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形,将剪下来的扇形围成一个圆锥.那
么这个圆锥的底面圆的半径是()
C.D.1
2
【答案】B
【解析】
【分析】先计算BC的长度,然后围成的圆锥底面周长等同于8C的长度,根据公式计算即可.
【详解】解:如下图:
连接8C,A0,
NBAC=90,
...8C是直径,且BC=2,
又•:AB=AC,
AZABC^ZACB=45°,AO±BC,
nA
又・・・sin45o=t-,OA=-BC=1,
AB2
nOA2[T
AAB=--------=1x—==V2,
sin45°y/2
***BC的长度为:〃一乂兀义6=立~九,
1802
•••围成的底面圆周长为受万,
2
设圆锥的底面圆的半径为r,
则:2万r=71,
2
V21
r=——7tx——
22万4
故选:B
【点睛】本题考查扇形弧长的计算,圆锥底面半径的计算,解直角三角形等相关知识点,根据条件计算出
扇形的半径是解题的关键.
8,将二次函数y=-,+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后,所得新函数的图象如图所示.当直
线y=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时,b的值为()
【答案】A
【解析】
【分析】由二次函数解析式旷=-/+2*+3,可求与x轴的两个交点A、B,直线y=x+b表示的图像可
看做是直线y=x的图像平移力个单位长度得到,再结合所给函数图像可知,当平移直线y=x经过8点时,
恰与所给图像有三个交点,故将8点坐标代入即可求解;当平移直线y=x经过c点时,恰与所给图像有
三个交点,即直线y=x+人与函数、=一?+2》+3关于X轴对称的函数y=——2x—3图像只有一个交
点,即联立解析式得到的方程的判别式等于0,即可求解.
【详解】解:由y=-%2+2x+3知,当y=0时,即
-X2+2x+3=0
解得:%=-1,*2=3
作函数y=x的图像并平移至过点8时,恰与所给图像有三个交点,此时有:
0=3+〃
/.b=—3
平移图像至过点。时,恰与所给图像有三个交点,即当一1三工工3时,只有一个交点
当一1WXW3的函数图像由y=—/+2x+3的图像关于x轴对称得到
,当一1WxV3时对应的解析式为y^x2-2x-3
即匕二21,整理得:X2-3X-3-&=0
3)2-4x1x(-3-b)=21+4h=0
综上所述匕=-3或-一
4
【点睛】本题主要考察二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二次方
程的关系等知识,属于函数综合题,中等难度.解题的关键是数形结合思想的运用,从而找到满足题意的
条件.
9.如图,在边长为2的正方形ABCD中,AE是以为直径的半圆的切线,则图中阴影部分的面积为
()
BA
CED
3+%5—乃
A.----B.71—2C.1D.----
22
【答案】D
【解析】
【分析】取8C的中点0,设AE与。。的相切的切点为连接OF、0E、0A,由题意可得08=0C=0A=l,
ZOFA^ZOFE=90°,由切线长定理可得4B=AF=2,CE=CF,然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即
可.
【详解】解:取BC的中点0,设AE与00的相切的切点为F,连接。尸、0E、0A,如图所示:
•••四边形A8C。是正方形,且边长为2,
:.BC=AB=2,^ABC=XBCD=90°,
;AE是以8C为直径的半圆的切线,
:.OB=OC=OF=\,ZOFA=ZOFE=90a,
:.AB=AF=2,CE=CF,
:04=04,
:.Rt丛ABO4Rt丛AFO(HL),
同理可证会△OFE,
ZAOB=ZAOF,ZCOE=ZFOE,
:.ZAOB+ZCOE=90°=ZAOB+ABAO,
4cOE=4BAO,
;・AABOS^OCE,
,PCCE
••—,
ABOB
CE=L
2
S阴影=S四边形ABCE一S半圆=+2sqeE一S半圆=2+--y=——;
故选D.
【点睛】本题主要考查切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定,熟练掌
握切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.
10.如图,在AA6c中,ZACB=9Q°,AC=3C=4,点力是8。边的中点,点P是AC边上一个动
点,连接PD,以PO为边在尸。的下方作等边三角形P。。,连接CQ.则CQ的最小值是()
.4
A./3
B.1C.V2D.-
22
【答案】B
【解析】
【分析】以CD为边作等边三角形CDE,连接EQ,由题意易得PD=QD,进而可得
△PCD9XQED,则有NPCD=NQEZ)=90°,然后可得点。是在QE所在直线上运动,所以C。的最小值
为CQ_LQE时,最后问题可求解.
【详解】解:以8为边作等边三角形CZ)E,连接E。,如图所示:
•••APOQ是等边三角形,
NCED=ZPDQ=NCDE=60°,PD=QD,CD=ED,
•.•/c。。是公共角,
/PDC=/QDE,
:./\PCD^/\QED(SAS),
VZACB=90°.AC=3C=4,点。是6c边的中点,
:.ZPCD=ZQED=90Q,CD=DE=CE=-BC=2,
2
,点。是在0E所在直线上运动,
.•.当CQ_LQE时,CQ取的最小值,
ZQEC=90°-ZCED=30°,
CQ=;CE=1;
故选B.
【点睛】本题主要考查等边三角形性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题,熟练掌握等边三角
形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键.
二、填空题(把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上.每小题4分,共24分)
11.的算术平方根是_____.
【答案】2
【解析】
【详解】语=4,4的算术平方根是2,
,y/16的算术平方根是2.
【点睛】这里需注意:J证的算术平方根和16的算术平方根是完全不一样的;因此求一个式子的平方根、
立方根和算术平方根时,通常需先将式子化简,然后再去求,避免出错.
12.中国杂交水稻之父、中国工程院院士、共和国勋章获得者袁隆平于2021年5月22日因病去世,享年
91岁,袁隆平去世是中国乃至全世界的重大损失.袁隆平一生致力于水稻杂交技术研究,为提高我国水
稻亩产量做出了巨大贡献.截至2012年,“种三产四”丰产工程项目累计示范推广面积达2000多万亩,增
产20多亿公斤.将20亿这个数据用科学记数法表示为.
【答案】2xl09
【解析】
【分析】科学记数法要求,小数点在第一个不为零的整数后面,其他数为小数,小数点移动位数等于募的
指数,向左移动,指数为正,向右移动,指数为负.
【详解】20X108=2X109
故答案为:2x10".
【点睛】本题考查科学记数法,根据相关原则进行计算是解题关键点.
13.如图,实数715.机在数轴上所对应的点分别为A,B,C,点B关于原点。的对称点为D若
机为整数,则小的值为________.
,♦♦♦♦・一
DCAOB
【答案】-3
【解析】
【分析】先求出。点表示的数,再得到。的取值范围,最后在范围内找整数解即可.
【详解】解:•.•点8关于原点。的对称点为。,点8表示的数为历,
.•.点。表示的数为一岳,
:力点表示-石,C点位于2、。两点之间,
-J15<m<—yfs>
•.777为整数,
故答案为:-3.
【点睛】本题考查了数轴上点的特征,涉及到相反数的性质、对无理数进行估值、确定不等式组的整数解
等问题,解决本题的关键是牢记相关概念和性质,本题蕴含了数形结合的思想方法.
14.如图,在4x4的正方形网格图中,已知点A、B、C、D、0均在格点上,其中A、B、力又在。0上,
点E是线段C£)与。。的交点.则NBAS的正切值为
D
【答案后
【解
【分析】由题意易得B£>=4,BC=2,ZDBC=90Q,NBAE=NBDC,然后根据三角函数可进行求解.
【详解】解:由题意得:BD=4,BC=2,N。8c=90°,
,ZZBAE=ZBDC,
:.tanNBAE=tanNBDC=-=
BD2
故答案为!.
2
【点睛】本题主要考查三角函数及圆周角定理,熟练掌握三角函数及圆周角定理是解题的关键.
15.如图,点A(-2,2)在反比例函数>="的图象上,点”在x轴的正半轴上,点N在y轴的负半轴上,
且OM=ON=5.点P(x,y)是线段MN上一动点,过点A和P分别作X轴的垂线,垂足为点。和E,连
接OA、OP.当时,X的取值范围是一
【答案】l<x<4
【解析】
【分析】先求出反比例函数的解析式,再求出线段的解析式,最后联立两个解析式求出8和C两个点
的坐标,再根据”的几何意义,确定尸点位置,即可得到相应的x的取值范围.
【详解】解:•••点A(-2,2)
Z=2x(-2)=-4,
4
所以反比例函数的解析式为:y=-一,
x
因为OM=ON=5,
...M(5,0),N(0,-5),
设线段MV解析式为:>=px+q(OWx<5),
5p+q=0
q=-5
.P=1
・・1,
q=-5
,线段“N解析式为:>=x-5(0KxW5),
=%-5
联立以上两个解析式得:\4,
y=—
I%
x=11x=4
解得:\/或《「经检验,符合题意;
〔广-4[y=-l
由图可知,两个函数的图像交点分别为点B和点C,
.,.5(1,-4),C(4,-l),
SgAD<S.OPE>
.•・P点应位于B和C两点之间,
♦♦l<x<4,
故答案为:l<x<4.
【点睛】本题涉及到了动点问题,考查了反比例函数的图像与性质、k的几何意义、待定系数法等内容,解
决本题的关键是牢记反比例函数的图像与性质,理解k的几何意义,以及能联立两个函数的解析式求交点坐
标等,本题蕴含了数形结合的思想方法等.
16.如图,在正方形ABCD中,点。是对角线80的中点,点尸在线段0。上,连接”并延长交。。于
点E,过点P作小户交6c于点尸,连接A/、EF,AF交BD于G,现有以下结论:@AP=PF;
②DE+BF=EF;③PB-PD=6BF;④5»门为定值;⑤S四边形正柘=.以上结论正确的有
(填入正确的序号即可).
B
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】由题意易得/A尸F=NABC=NA£>£■=NC=9(r,AD=AB,ZABD=45a,对于①:易知点A、B、F、
尸四点共圆,然后可得NAFP=N48D=45°,则问题可判定;对于②:把绕点4顺时针旋转90°得
至必48”,则有DE=BH,NDAE=NBAH,然后易得尸丝△AHF,则有HF=EF,则可判定;对于③:
连接AC,在BP上截取BM=DP,连接AM,易得08=。。,OP=OM,然后易证△4OPszMBF,进而问题
可求解;对于④:过点A作ANLEF于点M则由题意可得AN=4B,若△AEF的面积为定值,则EF为定
值,进而问题可求解;对于⑤由③可得丝=—,进而可得△APGsAA尸瓦然后可得相似比为丝=旦,
AF2AF2
最后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可求解.
【详解】解:;四边形A8CO是正方形,PFA.AP,
:.ZAPF^ZABC=ZADE=ZC=90°,AD=AB,ZABD=45",
①•••ZABC+ZAPF=180°,
由四边形内角和可得ZBAP+NBFP=180°,
...点A、B、F、尸四点共圆,
NAFP=/AB£>=45°,
.•.△AP尸是等腰直角三角形,
AP=PF,故①正确;
②把△AEZ)绕点A顺时针旋转90。得到△ABH,如图所示:
AD
:.DE=BH,NDAE=NBAH,NHAE=90°,AH=AE,
:.ZHAF=ZEAF=45°,
U:AF=AF,
:.^AEF^/XAHF(SAS),
:,HF=EF,
,/HF=BH+BF,
/.DE+BF=EF,故②正确;
③连接AC,在BP上截取BM=DP,连接AM,如图所示:
丁点。是对角线的中点,
:.OB=OD,BD±AC,
:,OP=OM,ZVIOB是等腰直角三角形,
;•AB=CAO,
由①可得点A、B、F、尸四点共圆,
ZAPO^ZAFB,
,:ZABF=ZAOP=9Q°,
:.XAOPsMABF,
.OPOAAPy/2
••f
BFABAF2
OP=—BF,
2
BP—DP=BP-BM=PM=2OP,
二PB-PD=垃BF,故③正确;
④过点A作AN_LEF于点M如图所示:
AD
由②可得N4FB=NARV,
•:/ABF=/ANF=90°,AF=AFf
:./XABF^AANF(A45),
:.AN=ABf
若△4£:尸的面积为定值,则£产为定值,
・・,点户在线段0。上,
・・・斯的长不可能为定值,故④错误;
⑤由③可得”=也,
AF2
♦:/AFB=/AFN=/APG,ZFAE=APAG,
:.AAPG^AAFE,
.GPAP血
••---=---------,
EFAF2
.S»GP_(&]_1
••—―,
S△AEF\272
SjGP=万S^AEF,
S四边形P£FG=S-4PG,故⑤正确;
综上所述:以上结论正确的有①②③⑤;
故答案为①②③⑤.
【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定,熟练掌握
正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.
三、解答题(96分)要求写出必要的解答步骤或证明过程
17.解方程:—+—=4.
23
【答案】x=7
【解析】
【分析】根据整式方程的计算过程,去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,就可以得到结果.
【详解】解:去分母得:3(x-3)+2(x-l)=24,
去括号得:3元—9+2x—2=24,
移项并合并同类项得:5x=35,
系数化为1得:x=7,
故答案为:x=7.
【点睛】本题考查整式方程的计算,注意每个步骤的要求是解题的关键.
(11\1
18.先化简,再求值:——+——--——.其中y=l.
—yx+y)_T+肛
【答案】—)472+4
x—y
【解析】
【分析】先算括号内的,再进行分式的除法运算进行化简,然后再代值求解即可.
x+y+x-y/、2x2
【详解】解:原式=7~~~^xx-(x+y)=----,
(x+y)(x-y)x-y
把》=夜,y=l代入得:原式=2x(3)=4914,
垃-1
【点睛】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算,熟练掌握分式的化简求值及二次根式的运算是
解题的关键.
19.如图,在平行四边形ABC。中,E为。。边的中点,连接AE,若AE的延长线和5c的延长线相交
于点F.
DE
(1)求证:BC=CF;
(2)连接AC和班相交于点为G,若AGEC的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)24.
【解析】
【分析】(1)根据E是边OC的中点,可以得到。E=CE,再根据四边形ABC。是平行四边形,可以得到
ZADE=AECF,再根据/4££>=/。石尸,即可得到也AECE,则答案可证;
AGAB1
(2)先证明ACEG"ABG,根据相似三角形的性质得出S.A8G=8,k=一=—,进而得出S«BGC=4,
GCCE2
由S-ABC=SAABG+SQBCG得=12,则答案可解•
【详解】(1)证明:•..四边形A8C。是平行四边形,
AD//BC,AD^BC,
ZADE=NECF,
•.,点E为。C的中点,
DE-CE,
在AAOE和户中
ZADE=NECF
<DE=CE
NAED=ZCEF
:.AADE^AECF(ASA),
...AD=CF,
:.BC=CF;
(2)•.•四边形A8CZ)是平行四边形,点E为0c的中点,
AAB//DC,AB=2EC,
:.ZGEC=ZABG,ZGCE=ZGAB,
:•ACEG~AABG,
VAGEC的面积为2,
'AB、22i
工=—»即JBG
S=4SAC£G=4X2=8,
S^CEGlCH)4
ACEGfABG
.AGAB1
••__—___—_
GCCE2
**,S.BGC~SA48G=/*8=4,
/.S-S+S=8+4=12,
^/AlRoCARrADCORCC
^oABCD=2sM=2x12=24.
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定和性质,解答本题的
关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
20.为增强学生体质,丰富学生课余活动,学校决定添置一批篮球和足球.甲、乙两家商场以相同的价格出
售同种品牌的篮球和足球,已知篮球价格为200元/个,足球价格为150元/个.
(1)若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个,且购买篮球的数量多于购买足球
2
数量的一.学校有哪几种购买方案?
3
(2)若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案:甲商场累计购物超过500元后,超出500元的部分按90%
收费;乙商场累计购物超过2000元后,超出2000元的部分按80%收费.若学校按(1)中的方案购买,学
校到哪家商场购买花费少?
【答案】(1)有三种方案,为:①购买9个篮球,11个足球;②10个篮球,10个足球;③11个篮球,9个
足球;(2)学校购买9个篮球,11个足球到甲商场购买花费少;购买10个篮球,10个足球和11个篮球,9
个足球到乙商场购买花费少.
【解析】
【分析】(1)设学校购买篮球x个,购买足球(20.)个,根据“学校计划用不超过3550元的总费用购买”
2
和“购买篮球的数量多于购买足球数量的一”列出不等式组,求解即可;
3
(2)设学校购买篮球x个,购买足球(20-x)个,分别计算出在甲,乙两商场的费用列出不等式求解即可.
【详解】解:(1)设学校购买篮球x个,购买足球(20-x)个,根据题意得,
200%+150(20-%)<3550
■2
x>—(20-x)
、3
解得,8<%<11
是整数,
:.x=9,10或11
.,.20-412,10或9
故有三种方案,为:①购买9个篮球,11个足球;②10个篮球,10个足球;③11个篮球,9个足球;
(2)设学校购买篮球x个,购买足球(20-x)个,
在甲商场花费:[200x+150(20-x)-500]x90%+500=(45x+2750)元;
在乙商场花费:[200x+150(20-x)-20001x80%+2000=(40%+2800)元;
.•.要使学校到甲商场花费最少,则有:
45x+2750<40x+2800
解得,xV10
V8<x<ll,且x是整数,
.•.k9,
即:学校购买9个篮球,11个足球到甲商场购买花费少;购买10个篮球,10个足球和11个篮球,9个足球
到乙商场购买花费少.
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根
据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出不等式,再求解.
21.“此生无悔入华夏,来世再做中国人!”自疫情暴发以来,我国科研团队经过不懈努力,成功地研发出
了多种“新冠”疫苗,并在全国范围内免费接种.截止2021年5月18日16:20,全球接种“新冠”疫苗
的比例为18.29%;中国累计接种4.2亿剂,占全国人口的29.32%.以下是某地甲、乙两家医院5月份某天
各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图:
甲医院乙医院
年龄段频数频率频数频率
18—29周岁9000.154000.1
30—39周岁a0.2510000.25
40—49周岁2100bC0.225
50—59周岁12000.212000.3
60周岁以上3000.055000.125
(1)根据上面图表信息,回答下列问题:
①填空:a=,b=
②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中,40—49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为
(2)若A、8、C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗,求这三人在同一家医院接种的概率.
甲、乙两医院各年龄段接种总人数的扇形统计图
【解析】
【分析】(1)①分别用甲、乙两医院18-29周岁的年龄段的频数除以频率即可求出接种总人数,然后根据频
数与频率的关系求出相应的值;②甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中,40—49周岁年龄段人数与接
种总人数的百分比乘以360°即可得到在扇形统计图中所占圆心角;
(2)画出树状图,得出所有等可能的结果数与三人在同一家医院接种的结果数,运用概率公式求解即可.
【详解】解:(1)①900+0.15=6000(人),400-0.1=4000(人)
«=6000-900-2100-1200-300=1500
b=1-0.15-0.25-0.2-0.05=0.35
c=4000-400-l000-1200-500=900
故答案为:1500,0.35,6=900;
2100+900
②360°x=108°
6000+4000
故答案为:108。;
(2)画树状图为:
开始
•••所有等可能的结果共有8种情况,而同在一所医院接种的有2种结果数,
21
...三人在同一家医院接种的概率
o4
【点睛】此题考查了条形统计图,扇形统计图以及概率的计算,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要
的信息是解决问题的关键.当有两个元素时,可用树形图列举,也可以列表列举.
22.如图,某无人机爱好者在一小区外放飞无人机,当无人机飞行到一定高度。点处时,无人机测得操控
者A的俯角为75°,测得小区楼房顶端点C处的俯角为45°.已知操控者A和小区楼房6。之间的距
离为45米,小区楼房8C的高度为15百米.
£
□
□
□
□
□
□
□
AB
(1)求此时无人机的高度;
(2)在(1)条件下,若无人机保持现有高度沿平行于A3的方向,并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行.问:
经过多少秒时,无人机刚好离开了操控者的视线?(假定点A,B,C,。都在同一平面内.参考数据:
tan75°=2+6,tan15°=2—计算结果保留根号)
【答案】(1)(156+30)米;(2)(6g+6)秒
【解析】
【分析】(1)通过作辅助线构造直角三角形,解直角三角形即可求出QE的值,进而得到。”的值;
(2)先利用特殊角的三角函数值求出N8AC的度数,接着求出NGE4的度数,作辅助线构造直角三角形求
出Z)G和GF,进而得到£>尸的值,最后除以无人机速度即可.
【详解】解:如图1,过。点作垂足为点”,过C点作CE,。,,垂足为点E,
r
-
g
□
□
□
□
□
□
可知四边形EHBC为矩形,
;.EH=CB,CE=HB,
•..无人机测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°,测得操控者A的俯角为75°,DM//AB,
NEC£)=45°,ND48=75°,
;.NCDE=NECD=45°,
:.CE=DE,
设CE=DE=HB=x,
:.AH^5-x,DH=DE+EH=x+15^,
在RMOA”中,OH=tan75°xA”=(2+6)(45-x),
即x+15/=(2+班)(45-x),
解得:x=30,
:・DH=15百+30
此时无人机的高度为(1573+30)米;
(2)如图2所示,当无人机飞行到图中尸点处时,操控者开始看不见无人机,此时A尸刚好经过点C,
过A点作AGLOF,垂足为点G,此时,由(1)知,AG=15V3+30(米),
图2
AG30+15w
DG==15;
tan752+6
tan"必修•
AB453
・•・NG43=30°
'CDF/ZAB,
・•・/£>吐NCAB=30°,
GF=-^-
=30百+45,
tan30
DF=GF-DG=30百+30,
因为无人机速度为5米/秒,
所以所需时间30者+30=66+6(秒);
所以经过(66+6)秒时,无人机刚好离开了操控者的视线.
【点睛】本题综合考查了解直角三角形的应用,涉及到了等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质、特
殊角的三角函数值、解直角三角形等知识,解决本题的关键是读懂题意,能从题意与图形中找出隐含条件,
能构造直角三角形求解等,本题蕴含了数形结合的思想方法等.
23.如图,直线丁=辰+2与双曲线,=”相交于点A、B,已知点A的横坐标为1,
X
(1)求直线y=kx+2的解析式及点B的坐标;
(2)以线段A3为斜边在直线A3的上方作等腰直角三角形A8C.求经过点C的双曲线的解析式.
【答案】(1)产-0.5x+2;点B坐标为(3,0.5);(2)过点C的双曲线解析式为y=
x
【解析】
【分析】(1)把点A横坐标代入反比例函数解析式,可求出点A坐标,代入),=依+2可求出直线解析式,
联立反比例函数与一次函数解析式即可得点B坐标;
(2)设点C坐标为("?,n),过点C的双曲线解析式为丁=人,根据点A、B坐标可求出A8的长,根据等
X
6
腰直角三角形的性质可得AC=BC=»A8,根据两点间距离个数求出相、”的值即可得点C坐标,代入反
2
比例函数解析式求出%值即可得答案.
【详解】(1)1•点A在双曲线>=亚上,点A的横坐标为1,
X
/.当x=\时,y=1.5,
・••点A坐标为(1,1.5),
•.•直线y=丘+2与双曲线丁=丝相交于点A、B,
X
・・・2+2=1.5,
解得:A=-0.5,
・・・直线y=履+2的解析式为y=-0.5x+2,
y=-0.5x4-2
联立反比例函数与一次函数解析式得\1.5
y=
玉=3
解得:〈(舍去),
x=0.532=L5
:.点B坐标为(3,0.5).
(2)设点C坐标为(m,〃),过点C的双曲线解析式为y=K,
VA(1,1.5),B(3,0.5),
AB=J(3-Ip+(1.5-0.5)2=6,
「△ABC等腰直角三角形,
;.AC=BC=-AB=^-,
=(/〃-3)一+
整理得:〃=2加一3,
•••(7M-1)2+(2加一3—|)2=(萼)2,
53
解得:加=二或一,
22
〃=2加-3=2或0(舍去),
.•.点C坐标为(2.5,2),
k
把点C坐标代入双曲线解析式得:2=—,
2.5
解得:2=5,
过点C的双曲线解析式为y=
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合,熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标特征是解题关键.
24.如图,在Ri△ABC中,NACB=90°,AD是NBAC的平分线,以AO为直径的。。交AB边于点E,
连接CE,过点D作DF//CE,交A3于点F.
(1)求证:OF是0。的切线;
3
(2)若BD=5,sinZB-j,求线段OE的长.
【答案】(1)证明见详解;(2)垣.
2
【解析】
【分析】(1)先根据圆周角定理、角平分线定义、平行线性质证明/EA庆NFDE,再根据AO为。。直径,
得到NAQE+NOAE=90°,进而得到A£»_LFZ),问题得证;
(2)先求出。E=3,证明△AEQg/XACO,得至iJOE=QC=3,BC=BD+CD=8,解RtAAfiC中求出AC=6,
r)p□R
进而得至|JAE=6,求出4。=3遂,证明44。E6/^1尸。,得到一=一,即可求出产。=吧.
FDAD2
【详解】解:⑴证明:连接OE,
DC=DC
:.ZCAD=ZCED,
*/是NS4C的平分线,
:.ZCAD=ZEAD,
:.ZCED=ZEAD,
,?DF!ICE,
:.ZCED=ZFDE,
:.ZEAD=ZFDE,
为O。直径,
Z.ZAED=ZACD=90°,
ZADE+ZDAE=90°,
:.NADE+/FDE=9Q°,
即ADLFD,
又:AO为。。直径,
・・・。/是。0的切线;
(2)VZAED=90°,
;・NBED=90°,
_3
:.DE—BZ)*sin/B=5x—=3,
5
VZAED=ZACDfZDAE=ZDAC,AD=ADf
:.AAED^AACD,
:・DE=DC=3,
:・BC=BD+CD=8,
3
在Rt△ABC中,VsinZB=-,
・•・设4C=3JGAB=5xf
・・・(5X)2-(3X)2=82,
\'x>0,
.*.x=2,
.*.AB=5x=10,AC=3x=6f
・・•AAED^AACD,
.\AE=AC=6f
・•・在RtZVlOE中,AD7AE、DE2=34,
VZEAD=ZDAF,ZAED=ZADF=90°,
・•・/\ADE^/\AFD9
.DEAE
・_・_—__—__,
FDAD
36
即---二—广,
FD3也
.RN3A/5
••FD=------•
2
【点睛】本题为圆的综合题,考查了切线的判定,圆的性质,三角函数,相似三角形的判定与性质等知识,
根据题意添加辅助线,熟知圆的性质,利用三角函数解直角三角形是解题关键.
25.如图1,在△ABC中,NAC3=90°,AC=BC,点。是AB边上一点(含端点A、8),过点8作跖
垂直于射线CO,垂足为E,点F在射线CD上,且EF=BE,连接A/、BF.
图1图2
(1)求证:AABFS^CBE;
(2)如图2,连接AE,点P、M、N分别为线段AC、AE、EF的中点,连接PM、MN、PN.求/PMN
MN
的度数及——的值;
PM
(3)在(2)的条件下,若BC=垃,直接写出APMN面积的最大值.
MNr1
【答案】(1)证明见解析;(2)NPMN=135°;——=,2;(3)-
PM4
【解析】
【分析】(1)根据两边对应成比例,夹角相等判定即可.
MN
(2)NPMN的值可以根据中位线性质,进行角转换,通过三角形内角和定理求解即可,——的比值转换
PM
Ap
为k的比值即可求得.
CE
(3)过点P作P。垂直于MW的延长线于点Q,S&pMN=gMN・PQ,将相关线段关系转化为CE,可得
关系SAPMN=』CE2,观察图象,当CE=8C=&时,可得最大值.
8
【详解】(1)证明:•••NACB=90°,AC=BC
•••AB=母BC,ZABC=ABAC=45°
:破垂直于射线co,
ZBEF=9Q°,
又•:EF=BE
•••FB=6EB,/FBE=NEFB=45°
,/ZABC+ZABE=ZABE+NFBE
即:ZABF=NCBE
又•••金生=a
CBBE
:•AABFSVBE
(2)解:•.•点P、M、N分别为线段AC、AE>E厂的中点
PM//CN,MNHAF,「加=;CE,MN
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