四川省广元市2021年中考数学试题（解析版）

四川省广元市2021中考数学试题

一、选择题.（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的.每小题3分，共30分）

1.计算卜3|一（一2）的最后结果是（）

A.1B.-1C.5D.-5

【答案】C

【解析】

【分析】先计算绝对值，再将减法转化为加法运算即可得到最后结果.

【详解】解：原式=3+2=5,

故选：C.

【点睛】本题考查了绝对值化简和有理数的加减法运算，解决本题的关键是牢记绝对值定义与有理数运算

法则，本题较基础，考查了学生对概念的理解与应用.

2.下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.

医疗废物

中国红十字会

国际急救

O医疗卫生服务机构

【答案】C

【解析】

【分析】根据轴对称及中心对称图形的定义逐一判断即可得答案.

【详解】A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意,

B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意，

C.是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意，

D.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故该选项不符合题意，

故选：C.

【点睛】本题考查轴对称图形及中心对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对

称轴折叠后能完全重合；中心对称图形的关键是寻找对称中心，图形绕对称中心旋转180°后，两部分能够

完全重合；熟练掌握定义是解题关键.

3.下列运算正确的是()

=a~-B.(a+3)(a—3)=/—9

C.—2(九(+1)=-6iz—1D.(a+Z?)(a—2Z»)=a2—2b2

【答案】B

【解析】

【分析】分别根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式法则、多项式乘以多项式法则进行计算

即可判断求解.

【详解】解：A.a2-a+~,原选项计算错误，不合题意;

4

B.(a+3)(a-3)=〃—9,原选项计算正确，符合题意；

C.-2(3。+1)=-6。—2,原选项计算错误，不合题意；

D.(a+b)(a-2b)=a2-2ab+ab-2b2=cr-ab-2b2,原选项计算错误，不合题意.

故选：B

【点睛】本题考查了整式的乘法运算，乘法公式等知识，熟知乘法公式和整式的乘法法则是解题关键.

4.一组数据：1,2,2,3,若添加一个数据3,则不发生变化的统计量是()

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

【答案】B

【解析】

【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可.

【详解】解：4、原来数据的平均数是।+2+2+3=2,添加数字3后平均数为l+2+2+3+3=所

455

以平均数发生了变化，故4不符合题意；

B、原来数据的中位数是2,添加数字3后中位数仍为2,故8与要求相符；

C、原来数据的众数是2,添加数字3后众数为2和3,故C与要求不符；

D、原来数据的方差=4(1—2)2+(2-2>+(2—2)2+0-2)2]=L,

42

添加数字3后的方差=£1(1—111)2,+(2—£11)2,+(2—511)2,+(3-£11)2,+(3-?11)2,]=1]4,故方差发生了变化,

故选项。不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键.

5.下列命题中，真命题是()

A.2九=—

lx

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形

D.已知抛物线了=》2一4%-5,当一1<尤<5时，y<0

【答案】D

【解析】

【分析】根据零次塞、菱形的判定、正方形的判定及二次函数的图象与性质可直接进行排除选项.

【详解】解：A、2%-'=-,错误，故不符合题意；

X

B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，错误，故不符合题意；

C、顺次连接矩形各边中点的四边形是菱形，错误，故不符合题意；

D、由抛物线'=/一4%-5可得与无轴的交点坐标为(一1,0),(5,0),开口向上，然后可得当一l<x<5时,

y<0,正确，故符合题意；

故选D.

【点睛】本题主要考查零次累、菱形的判定、正方形的判定及二次函数的图象与性质，熟练掌握零次基、

菱形的判定、正方形的判定及二次函数的图象与性质是解题的关键.

6.观察下列作图痕迹，所作线段CD为AABC的角平分线的是()

【解析】

【分析】根据角平分线画法逐一进行判断即可.

【详解】A：所作线段为4B边上的高，选项错误；

以做图痕迹为A8边上的中垂线，CD为AB边上的中线，选项错误；

C：CQ为NAC8的角平分线，满足题意。

D；所作线段为4B边上的高，选项错误

故选：C.

【点睛】本题考查点到直线距离的画法，角平分线的画法，中垂线的画法，能够区别彼此之间的不同是解

题切入点.

7.如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥.那

么这个圆锥的底面圆的半径是（）

C.D.1

2

【答案】B

【解析】

【分析】先计算BC的长度，然后围成的圆锥底面周长等同于8C的长度，根据公式计算即可.

【详解】解：如下图：

连接8C,A0,

NBAC=90，

...8C是直径，且BC=2,

又•:AB=AC,

AZABC^ZACB=45°,AO±BC,

nA

又・・・sin45o=t-,OA=-BC=1,

AB2

nOA2[T

AAB=--------=1x—==V2,

sin45°y/2

***BC的长度为：〃一乂兀义6=立~九，

1802

•••围成的底面圆周长为受万，

2

设圆锥的底面圆的半径为r,

则：2万r=71，

2

V21

r=——7tx——

22万4

故选：B

【点睛】本题考查扇形弧长的计算，圆锥底面半径的计算，解直角三角形等相关知识点，根据条件计算出

扇形的半径是解题的关键.

8,将二次函数y=-，+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直

线y=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（）

【答案】A

【解析】

【分析】由二次函数解析式旷=-/+2*+3,可求与x轴的两个交点A、B,直线y=x+b表示的图像可

看做是直线y=x的图像平移力个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线y=x经过8点时,

恰与所给图像有三个交点，故将8点坐标代入即可求解；当平移直线y=x经过c点时，恰与所给图像有

三个交点，即直线y=x+人与函数、=一？+2》+3关于X轴对称的函数y=——2x—3图像只有一个交

点，即联立解析式得到的方程的判别式等于0,即可求解.

【详解】解：由y=-%2+2x+3知，当y=0时，即

-X2+2x+3=0

解得：%=-1,*2=3

作函数y=x的图像并平移至过点8时，恰与所给图像有三个交点，此时有：

0=3+〃

/.b=—3

平移图像至过点。时，恰与所给图像有三个交点，即当一1三工工3时，只有一个交点

当一1WXW3的函数图像由y=—/+2x+3的图像关于x轴对称得到

,当一1WxV3时对应的解析式为y^x2-2x-3

即匕二21，整理得：X2-3X-3-&=0

3)2-4x1x(-3-b)=21+4h=0

综上所述匕=-3或-一

4

【点睛】本题主要考察二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二次方

程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度.解题的关键是数形结合思想的运用，从而找到满足题意的

条件.

9.如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为

()

BA

CED

3+%5—乃

A.----B.71—2C.1D.----

22

【答案】D

【解析】

【分析】取8C的中点0,设AE与。。的相切的切点为连接OF、0E、0A,由题意可得08=0C=0A=l,

ZOFA^ZOFE=90°,由切线长定理可得4B=AF=2,CE=CF,然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即

可.

【详解】解：取BC的中点0,设AE与00的相切的切点为F,连接。尸、0E、0A,如图所示:

•••四边形A8C。是正方形，且边长为2,

:.BC=AB=2,^ABC=XBCD=90°,

；AE是以8C为直径的半圆的切线，

：.OB=OC=OF=\,ZOFA=ZOFE=90a,

：.AB=AF=2,CE=CF,

：04=04,

:.Rt丛ABO4Rt丛AFO(HL),

同理可证会△OFE,

ZAOB=ZAOF,ZCOE=ZFOE,

：.ZAOB+ZCOE=90°=ZAOB+ABAO,

4cOE=4BAO,

；・AABOS^OCE，

,PCCE

••—,

ABOB

CE=L

2

S阴影=S四边形ABCE一S半圆=+2sqeE一S半圆=2+--y=——；

故选D.

【点睛】本题主要考查切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌

握切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.

10.如图，在AA6c中，ZACB=9Q°,AC=3C=4,点力是8。边的中点，点P是AC边上一个动

点，连接PD,以PO为边在尸。的下方作等边三角形P。。，连接CQ.则CQ的最小值是()

.4

A./3

B.1C.V2D.-

22

【答案】B

【解析】

【分析】以CD为边作等边三角形CDE,连接EQ,由题意易得PD=QD,进而可得

△PCD9XQED,则有NPCD=NQEZ)=90°,然后可得点。是在QE所在直线上运动，所以C。的最小值

为CQ_LQE时，最后问题可求解.

【详解】解：以8为边作等边三角形CZ)E,连接E。，如图所示:

•••APOQ是等边三角形,

NCED=ZPDQ=NCDE=60°,PD=QD,CD=ED,

•.•/c。。是公共角，

/PDC=/QDE,

：./\PCD^/\QED(SAS),

VZACB=90°.AC=3C=4,点。是6c边的中点，

：.ZPCD=ZQED=90Q,CD=DE=CE=-BC=2,

2

，点。是在0E所在直线上运动，

.•.当CQ_LQE时，CQ取的最小值，

ZQEC=90°-ZCED=30°,

CQ=；CE=1；

故选B.

【点睛】本题主要考查等边三角形性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角

形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键.

二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上.每小题4分，共24分）

11.的算术平方根是_____.

【答案】2

【解析】

【详解】语=4,4的算术平方根是2,

，y/16的算术平方根是2.

【点睛】这里需注意：J证的算术平方根和16的算术平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、

立方根和算术平方根时，通常需先将式子化简，然后再去求，避免出错.

12.中国杂交水稻之父、中国工程院院士、共和国勋章获得者袁隆平于2021年5月22日因病去世，享年

91岁，袁隆平去世是中国乃至全世界的重大损失.袁隆平一生致力于水稻杂交技术研究，为提高我国水

稻亩产量做出了巨大贡献.截至2012年，“种三产四”丰产工程项目累计示范推广面积达2000多万亩，增

产20多亿公斤.将20亿这个数据用科学记数法表示为.

【答案】2xl09

【解析】

【分析】科学记数法要求，小数点在第一个不为零的整数后面，其他数为小数，小数点移动位数等于募的

指数，向左移动，指数为正，向右移动，指数为负.

【详解】20X108=2X109

故答案为：2x10".

【点睛】本题考查科学记数法，根据相关原则进行计算是解题关键点.

13.如图，实数715.机在数轴上所对应的点分别为A，B,C,点B关于原点。的对称点为D若

机为整数，则小的值为________.

，♦♦♦♦・一

DCAOB

【答案】-3

【解析】

【分析】先求出。点表示的数，再得到。的取值范围，最后在范围内找整数解即可.

【详解】解：•.•点8关于原点。的对称点为。，点8表示的数为历，

.•.点。表示的数为一岳，

:力点表示-石，C点位于2、。两点之间，

-J15<m<—yfs>

•.777为整数，

故答案为：-3.

【点睛】本题考查了数轴上点的特征，涉及到相反数的性质、对无理数进行估值、确定不等式组的整数解

等问题，解决本题的关键是牢记相关概念和性质，本题蕴含了数形结合的思想方法.

14.如图，在4x4的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、0均在格点上，其中A、B、力又在。0上,

点E是线段C£）与。。的交点.则NBAS的正切值为

D

【答案后

【解

【分析】由题意易得B£>=4,BC=2,ZDBC=90Q,NBAE=NBDC,然后根据三角函数可进行求解.

【详解】解：由题意得：BD=4,BC=2,N。8c=90°,

,ZZBAE=ZBDC,

：.tanNBAE=tanNBDC=-=

BD2

故答案为!.

2

【点睛】本题主要考查三角函数及圆周角定理，熟练掌握三角函数及圆周角定理是解题的关键.

15.如图，点A（-2,2）在反比例函数>="的图象上，点”在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，

且OM=ON=5.点P（x,y）是线段MN上一动点，过点A和P分别作X轴的垂线，垂足为点。和E,连

接OA、OP.当时，X的取值范围是一

【答案】l<x<4

【解析】

【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出线段的解析式，最后联立两个解析式求出8和C两个点

的坐标，再根据”的几何意义，确定尸点位置，即可得到相应的x的取值范围.

【详解】解：•••点A（-2,2）

Z=2x（-2）=-4,

4

所以反比例函数的解析式为：y=-一,

x

因为OM=ON=5,

...M（5,0）,N（0,-5）,

设线段MV解析式为：>=px+q（OWx<5）,

5p+q=0

q=-5

.P=1

・・1，

q=-5

，线段“N解析式为：>=x-5（0KxW5）,

=%-5

联立以上两个解析式得：\4，

y=—

I%

x=11x=4

解得：\/或《「经检验，符合题意；

〔广-4[y=-l

由图可知，两个函数的图像交点分别为点B和点C,

.,.5（1,-4）,C（4,-l）,

SgAD<S.OPE>

.•・P点应位于B和C两点之间，

♦♦l<x<4,

故答案为：l<x<4.

【点睛】本题涉及到了动点问题，考查了反比例函数的图像与性质、k的几何意义、待定系数法等内容，解

决本题的关键是牢记反比例函数的图像与性质，理解k的几何意义，以及能联立两个函数的解析式求交点坐

标等，本题蕴含了数形结合的思想方法等.

16.如图，在正方形ABCD中，点。是对角线80的中点，点尸在线段0。上，连接”并延长交。。于

点E,过点P作小户交6c于点尸，连接A/、EF，AF交BD于G,现有以下结论：@AP=PF；

②DE+BF=EF；③PB-PD=6BF；④5»门为定值；⑤S四边形正柘=.以上结论正确的有

（填入正确的序号即可）.

B

【答案】①②③⑤

【解析】

【分析】由题意易得/A尸F=NABC=NA£>£■=NC=9（r,AD=AB,ZABD=45a,对于①：易知点A、B、F、

尸四点共圆，然后可得NAFP=N48D=45°,则问题可判定；对于②：把绕点4顺时针旋转90°得

至必48”，则有DE=BH,NDAE=NBAH,然后易得尸丝△AHF,则有HF=EF,则可判定；对于③：

连接AC,在BP上截取BM=DP,连接AM,易得08=。。，OP=OM,然后易证△4OPszMBF,进而问题

可求解；对于④：过点A作ANLEF于点M则由题意可得AN=4B,若△AEF的面积为定值，则EF为定

值，进而问题可求解；对于⑤由③可得丝=—,进而可得△APGsAA尸瓦然后可得相似比为丝=旦,

AF2AF2

最后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可求解.

【详解】解：；四边形A8CO是正方形，PFA.AP,

：.ZAPF^ZABC=ZADE=ZC=90°,AD=AB,ZABD=45",

①•••ZABC+ZAPF=180°,

由四边形内角和可得ZBAP+NBFP=180°,

...点A、B、F、尸四点共圆，

NAFP=/AB£>=45°,

.•.△AP尸是等腰直角三角形，

AP=PF,故①正确；

②把△AEZ）绕点A顺时针旋转90。得到△ABH,如图所示：

AD

：.DE=BH,NDAE=NBAH,NHAE=90°,AH=AE,

：.ZHAF=ZEAF=45°,

U：AF=AF,

：.^AEF^/XAHF(SAS),

:,HF=EF,

,/HF=BH+BF，

/.DE+BF=EF，故②正确；

③连接AC,在BP上截取BM=DP,连接AM,如图所示:

丁点。是对角线的中点，

：.OB=OD,BD±AC,

：,OP=OM,ZVIOB是等腰直角三角形，

；•AB=CAO,

由①可得点A、B、F、尸四点共圆，

ZAPO^ZAFB,

,：ZABF=ZAOP=9Q°,

：.XAOPsMABF,

.OPOAAPy/2

••f

BFABAF2

OP=—BF，

2

BP—DP=BP-BM=PM=2OP,

二PB-PD=垃BF，故③正确；

④过点A作AN_LEF于点M如图所示:

AD

由②可得N4FB=NARV,

•：/ABF=/ANF=90°,AF=AFf

：./XABF^AANF(A45),

：.AN=ABf

若△4£：尸的面积为定值，则£产为定值,

・・,点户在线段0。上，

・・・斯的长不可能为定值，故④错误；

⑤由③可得”=也，

AF2

♦：/AFB=/AFN=/APG,ZFAE=APAG,

：.AAPG^AAFE,

.GPAP血

••---=---------,

EFAF2

.S»GP_(&]_1

••—―,

S△AEF\272

SjGP=万S^AEF，

S四边形P£FG=S-4PG，故⑤正确;

综上所述：以上结论正确的有①②③⑤;

故答案为①②③⑤.

【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握

正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.

三、解答题(96分)要求写出必要的解答步骤或证明过程

17.解方程：—+—=4.

23

【答案】x=7

【解析】

【分析】根据整式方程的计算过程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,就可以得到结果.

【详解】解：去分母得：3(x-3)+2(x-l)=24,

去括号得：3元—9+2x—2=24,

移项并合并同类项得：5x=35,

系数化为1得：x=7,

故答案为：x=7.

【点睛】本题考查整式方程的计算，注意每个步骤的要求是解题的关键.

(11\1

18.先化简，再求值：——+——--——.其中y=l.

—yx+y)_T+肛

【答案】—)472+4

x—y

【解析】

【分析】先算括号内的，再进行分式的除法运算进行化简，然后再代值求解即可.

x+y+x-y/、2x2

【详解】解：原式=7~~~^xx-(x+y)=----,

(x+y)(x-y)x-y

把》=夜，y=l代入得：原式=2x(3)=4914,

垃-1

【点睛】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的化简求值及二次根式的运算是

解题的关键.

19.如图，在平行四边形ABC。中，E为。。边的中点，连接AE,若AE的延长线和5c的延长线相交

于点F.

DE

（1）求证：BC=CF；

（2）连接AC和班相交于点为G,若AGEC的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）24.

【解析】

【分析】（1）根据E是边OC的中点，可以得到。E=CE,再根据四边形ABC。是平行四边形，可以得到

ZADE=AECF,再根据/4££>=/。石尸，即可得到也AECE,则答案可证；

AGAB1

（2）先证明ACEG"ABG,根据相似三角形的性质得出S.A8G=8，k=一=—，进而得出S«BGC=4,

GCCE2

由S-ABC=SAABG+SQBCG得=12,则答案可解•

【详解】（1）证明：•..四边形A8C。是平行四边形，

AD//BC,AD^BC,

ZADE=NECF,

•.,点E为。C的中点，

DE-CE,

在AAOE和户中

ZADE=NECF

<DE=CE

NAED=ZCEF

：.AADE^AECF(ASA),

...AD=CF,

：.BC=CF；

(2)•.•四边形A8CZ)是平行四边形，点E为0c的中点,

AAB//DC,AB=2EC,

:.ZGEC=ZABG,ZGCE=ZGAB,

:•ACEG~AABG,

VAGEC的面积为2,

'AB、22i

工=—»即JBG

S=4SAC£G=4X2=8,

S^CEGlCH)4

ACEGfABG

.AGAB1

••__—___—_

GCCE2

**,S.BGC~SA48G=/*8=4，

/.S-S+S=8+4=12,

^/AlRoCARrADCORCC

^oABCD=2sM=2x12=24.

【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的

关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

20.为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球.甲、乙两家商场以相同的价格出

售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个.

（1）若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球

2

数量的一.学校有哪几种购买方案？

3

（2）若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按90%

收费；乙商场累计购物超过2000元后，超出2000元的部分按80%收费.若学校按（1）中的方案购买，学

校到哪家商场购买花费少？

【答案】（1）有三种方案，为：①购买9个篮球，11个足球；②10个篮球，10个足球；③11个篮球，9个

足球；（2）学校购买9个篮球，11个足球到甲商场购买花费少；购买10个篮球，10个足球和11个篮球，9

个足球到乙商场购买花费少.

【解析】

【分析】（1）设学校购买篮球x个，购买足球（20.）个，根据“学校计划用不超过3550元的总费用购买”

2

和“购买篮球的数量多于购买足球数量的一”列出不等式组，求解即可；

3

（2）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，分别计算出在甲，乙两商场的费用列出不等式求解即可.

【详解】解：（1）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，根据题意得，

200%+150（20-%）<3550

■2

x>—（20-x）

、3

解得，8<%<11

是整数，

：.x=9,10或11

.,.20-412,10或9

故有三种方案，为：①购买9个篮球，11个足球；②10个篮球，10个足球；③11个篮球，9个足球；

（2）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，

在甲商场花费：［200x+150(20-x)-500］x90%+500=(45x+2750)元；

在乙商场花费：［200x+150(20-x)-20001x80%+2000=(40%+2800)元；

.•.要使学校到甲商场花费最少，则有：

45x+2750<40x+2800

解得，xV10

V8<x<ll,且x是整数，

.•.k9,

即：学校购买9个篮球，11个足球到甲商场购买花费少；购买10个篮球，10个足球和11个篮球，9个足球

到乙商场购买花费少.

【点睛】本题主要考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根

据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出不等式，再求解.

21.“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出

了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种.截止2021年5月18日16：20,全球接种“新冠”疫苗

的比例为18.29%；中国累计接种4.2亿剂，占全国人口的29.32%.以下是某地甲、乙两家医院5月份某天

各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图：

甲医院乙医院

年龄段频数频率频数频率

18—29周岁9000.154000.1

30—39周岁a0.2510000.25

40—49周岁2100bC0.225

50—59周岁12000.212000.3

60周岁以上3000.055000.125

(1)根据上面图表信息，回答下列问题:

①填空：a=，b=

②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40—49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为

(2)若A、8、C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，求这三人在同一家医院接种的概率.

甲、乙两医院各年龄段接种总人数的扇形统计图

【解析】

【分析】（1）①分别用甲、乙两医院18-29周岁的年龄段的频数除以频率即可求出接种总人数，然后根据频

数与频率的关系求出相应的值；②甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40—49周岁年龄段人数与接

种总人数的百分比乘以360°即可得到在扇形统计图中所占圆心角；

（2）画出树状图，得出所有等可能的结果数与三人在同一家医院接种的结果数，运用概率公式求解即可.

【详解】解：（1）①900+0.15=6000（人），400-0.1=4000（人）

«=6000-900-2100-1200-300=1500

b=1-0.15-0.25-0.2-0.05=0.35

c=4000-400-l000-1200-500=900

故答案为：1500,0.35,6=900；

2100+900

②360°x=108°

6000+4000

故答案为：108。；

（2）画树状图为:

开始

•••所有等可能的结果共有8种情况，而同在一所医院接种的有2种结果数，

21

...三人在同一家医院接种的概率

o4

【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图以及概率的计算，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要

的信息是解决问题的关键.当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举.

22.如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度。点处时，无人机测得操控

者A的俯角为75°,测得小区楼房顶端点C处的俯角为45°.已知操控者A和小区楼房6。之间的距

离为45米，小区楼房8C的高度为15百米.

£

□

□

□

□

□

□

□

AB

（1）求此时无人机的高度；

（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于A3的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行.问:

经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A,B,C,。都在同一平面内.参考数据：

tan75°=2+6，tan15°=2—计算结果保留根号）

【答案】（1）（156+30）米；（2）（6g+6）秒

【解析】

【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，解直角三角形即可求出QE的值，进而得到。”的值；

（2）先利用特殊角的三角函数值求出N8AC的度数，接着求出NGE4的度数，作辅助线构造直角三角形求

出Z）G和GF,进而得到£＞尸的值，最后除以无人机速度即可.

【详解】解：如图1,过。点作垂足为点”，过C点作CE，。，，垂足为点E,

r

-

g

□

□

□

□

□

□

可知四边形EHBC为矩形，

；.EH=CB,CE=HB,

•..无人机测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°,测得操控者A的俯角为75°,DM//AB,

NEC£）=45°,ND48=75°,

；.NCDE=NECD=45°,

：.CE=DE,

设CE=DE=HB=x,

：.AH^5-x,DH=DE+EH=x+15^，

在RMOA”中，OH=tan75°xA”=（2+6）（45-x）,

即x+15/=（2+班）（45-x）,

解得：x=30,

:・DH=15百+30

此时无人机的高度为（1573+30）米；

（2）如图2所示，当无人机飞行到图中尸点处时，操控者开始看不见无人机，此时A尸刚好经过点C,

过A点作AGLOF,垂足为点G,此时，由（1）知，AG=15V3+30（米），

图2

AG30+15w

DG==15；

tan752+6

tan"必修•

AB453

・•・NG43=30°

'CDF/ZAB,

・•・/£＞吐NCAB=30°,

GF=-^-

=30百+45,

tan30

DF=GF-DG=30百+30,

因为无人机速度为5米/秒，

所以所需时间30者+30=66+6（秒）；

所以经过（66+6）秒时，无人机刚好离开了操控者的视线.

【点睛】本题综合考查了解直角三角形的应用，涉及到了等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质、特

殊角的三角函数值、解直角三角形等知识，解决本题的关键是读懂题意，能从题意与图形中找出隐含条件,

能构造直角三角形求解等，本题蕴含了数形结合的思想方法等.

23.如图，直线丁=辰+2与双曲线,=”相交于点A、B,已知点A的横坐标为1,

X

（1）求直线y=kx+2的解析式及点B的坐标;

（2）以线段A3为斜边在直线A3的上方作等腰直角三角形A8C.求经过点C的双曲线的解析式.

【答案】（1）产-0.5x+2；点B坐标为（3,0.5）；（2）过点C的双曲线解析式为y=

x

【解析】

【分析】（1）把点A横坐标代入反比例函数解析式，可求出点A坐标，代入），=依+2可求出直线解析式,

联立反比例函数与一次函数解析式即可得点B坐标；

（2）设点C坐标为（"?，n）,过点C的双曲线解析式为丁=人，根据点A、B坐标可求出A8的长，根据等

X

6

腰直角三角形的性质可得AC=BC=»A8,根据两点间距离个数求出相、”的值即可得点C坐标，代入反

2

比例函数解析式求出％值即可得答案.

【详解】（1）1•点A在双曲线＞=亚上，点A的横坐标为1,

X

/.当x=\时,y=1.5,

・••点A坐标为（1,1.5）,

•.•直线y=丘+2与双曲线丁=丝相交于点A、B,

X

・・・2+2=1.5,

解得：A=-0.5,

・・・直线y=履+2的解析式为y=-0.5x+2,

y=-0.5x4-2

联立反比例函数与一次函数解析式得\1.5

y=­

玉=3

解得：〈（舍去）,

x=0.532=L5

:.点B坐标为（3,0.5）.

（2）设点C坐标为（m,〃），过点C的双曲线解析式为y=K,

VA(1,1.5),B(3,0.5),

AB=J(3-Ip+(1.5-0.5)2=6,

「△ABC等腰直角三角形，

；.AC=BC=-AB=^-，

=(/〃-3)一+

整理得：〃=2加一3,

•••（7M-1）2+（2加一3—|）2=（萼）2，

53

解得：加=二或一，

22

〃=2加-3=2或0（舍去），

.•.点C坐标为（2.5,2）,

k

把点C坐标代入双曲线解析式得：2=—,

2.5

解得：2=5,

过点C的双曲线解析式为y=

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标特征是解题关键.

24.如图，在Ri△ABC中，NACB=90°,AD是NBAC的平分线，以AO为直径的。。交AB边于点E，

连接CE，过点D作DF//CE,交A3于点F.

(1)求证：OF是0。的切线；

3

(2)若BD=5,sinZB-j,求线段OE的长.

【答案】(1)证明见详解；(2)垣.

2

【解析】

【分析】(1)先根据圆周角定理、角平分线定义、平行线性质证明/EA庆NFDE,再根据AO为。。直径,

得到NAQE+NOAE=90°,进而得到A£»_LFZ),问题得证；

(2)先求出。E=3,证明△AEQg/XACO,得至iJOE=QC=3,BC=BD+CD=8,解RtAAfiC中求出AC=6,

r)p□R

进而得至|JAE=6,求出4。=3遂,证明44。E6/^1尸。，得到一=一，即可求出产。=吧.

FDAD2

【详解】解：⑴证明:连接OE,

DC=DC

：.ZCAD=ZCED,

*/是NS4C的平分线,

：.ZCAD=ZEAD,

：.ZCED=ZEAD,

,?DF!ICE,

：.ZCED=ZFDE,

：.ZEAD=ZFDE,

为O。直径，

Z.ZAED=ZACD=90°,

ZADE+ZDAE=90°,

:.NADE+/FDE=9Q°,

即ADLFD,

又：AO为。。直径,

・・・。/是。0的切线；

（2）VZAED=90°,

；・NBED=90°,

_3

:.DE—BZ）*sin/B=5x—=3,

5

VZAED=ZACDfZDAE=ZDAC,AD=ADf

：.AAED^AACD,

:・DE=DC=3,

:・BC=BD+CD=8,

3

在Rt△ABC中，VsinZB=-,

・•・设4C=3JGAB=5xf

・・・（5X）2-（3X）2=82,

\'x>0,

.*.x=2,

.*.AB=5x=10,AC=3x=6f

・・•AAED^AACD,

.\AE=AC=6f

・•・在RtZVlOE中，AD7AE、DE2=34,

VZEAD=ZDAF,ZAED=ZADF=90°,

・•・/\ADE^/\AFD9

.DEAE

・_・_—__—__，

FDAD

36

即---二—广，

FD3也

.RN3A/5

••FD=------•

2

【点睛】本题为圆的综合题，考查了切线的判定，圆的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识,

根据题意添加辅助线，熟知圆的性质，利用三角函数解直角三角形是解题关键.

25.如图1,在△ABC中，NAC3=90°，AC=BC，点。是AB边上一点（含端点A、8）,过点8作跖

垂直于射线CO,垂足为E,点F在射线CD上，且EF=BE,连接A/、BF.

图1图2

（1）求证：AABFS^CBE；

（2）如图2,连接AE，点P、M、N分别为线段AC、AE、EF的中点，连接PM、MN、PN.求/PMN

MN

的度数及——的值；

PM

（3）在（2）的条件下，若BC=垃,直接写出APMN面积的最大值.

MNr1

【答案】（1）证明见解析；（2）NPMN=135°;——=，2；（3）-

PM4

【解析】

【分析】（1）根据两边对应成比例，夹角相等判定即可.

MN

（2）NPMN的值可以根据中位线性质，进行角转换，通过三角形内角和定理求解即可，——的比值转换

PM

Ap

为k的比值即可求得.

CE

（3）过点P作P。垂直于MW的延长线于点Q,S&pMN=gMN・PQ,将相关线段关系转化为CE,可得

关系SAPMN=』CE2,观察图象，当CE=8C=&时，可得最大值.

8

【详解】（1）证明：•••NACB=90°,AC=BC

•••AB=母BC，ZABC=ABAC=45°

:破垂直于射线co,

ZBEF=9Q°,

又•：EF=BE

•••FB=6EB，/FBE=NEFB=45°

,/ZABC+ZABE=ZABE+NFBE

即：ZABF=NCBE

又•••金生=a

CBBE

:•AABFSVBE

（2）解：•.•点P、M、N分别为线段AC、AE>E厂的中点

PM//CN,MNHAF,「加=；CE,MN