上海市延安中学2024届高二数学第二学期期末考试模拟试题含解析

上海市延安中学2024届高二数学第二学期期末考试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知顶点在轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为，该双曲线的焦点为（）A． B． C． D．2．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推．例如4266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）A． B． C． D．3．下列四个结论：①在回归分析模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好；②某学校有男教师60名、女教师40名，为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中抽取20名调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样；③线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越弱；反之，线性相关性越强；④在回归方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量增加0.5个单位.其中正确的结论是（）A．①② B．①④C．②③ D．②④4．“直线垂直于平面内无数条直线”是“直线垂直于平面”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．定义在上的函数满足,,则不等式的解集为()A． B． C． D．6．已知函数在区间上有最大值无最小值，则实数的取值范围（）A． B． C． D．7．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（）A．乙做对了 B．甲说对了 C．乙说对了 D．甲做对了8．已知是虚数单位，若复数满足，则的虚部为（）A．-1 B． C．1 D．-39．已知复数为虚数单位，是的共轭复数，则（）A． B． C． D．10．有位同学按照身高由低到高站成一列，现在需要在该队列中插入另外位同学，但是不能改变原来的位同学的顺序，则所有排列的种数为（）A． B． C． D．11．若，则下列结论中不恒成立的是（）A． B． C． D．12．下列说法中：相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于1，相关性越弱；回归直线过样本点中心；相关指数用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越不好．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设圆锥的高是，母线长是，用过圆锥的顶点的平面去截圆锥，则截面积的最大值为_______.14．正方体中，异面直线和所成角的大小为________15．某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有、两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品，任意依次抽取该种零件4个，设表示其中合格品的个数，则______.16．已知的展开式中项的系数是-35，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知某厂生产的电子产品的使用寿命（单位：小时）服从正态分布，且，．（1）现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在的概率；（2）现从该厂随机抽取三件产品，记抽到的三件产品使用寿命在的件数为，求的分布列和数学期望．18．（12分）设函数，.（1）求函数的单调递增区间；（2）若函数与在区间内恰有两个交点，求实数的取值范围.19．（12分）如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且．试用向量，，表示向量；若，，，，求的值．20．（12分）设是数列{}的前项和，，且.(I)求数列{}的通项公式；(Ⅱ)设，求.21．（12分）已知，.（1）证明：.（2）证明：.22．（10分）已知函数．（1）若函数在x=﹣3处有极大值，求c的值；（2）若函数在区间（1，3）上单调递增，求c的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

由双曲线实轴长为4可知由渐近线方程，可得到然后利用即可得到焦点坐标．【题目详解】由双曲线实轴长为4可知由渐近线方程，可得到即所以又双曲线顶点在轴上，所以焦点坐标为．【题目点拨】本题考查了双曲线的几何性质，渐近线方程，属于基础题．2、C【解题分析】

由算筹含义直接求解．【题目详解】解：由算筹含义得到8771用算筹可表示为．故选C．【题目点拨】本题考查中华传统文化中的数学问题，考查简单的合理推理、考查函数与方程思想，是中等题.3、D【解题分析】

根据残差的意义可判断①；根据分成抽样特征，判断②；根据相关系数的意义即可判断③；由回归方程的系数，可判断④．【题目详解】根据残差的意义，可知当残差的平方和越小，模拟效果越好，所以①错误；当个体差异明显时，选用分层抽样法抽样，所以②正确；根据线性相关系数特征，当相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，所以③错误；根据回归方程的系数为0.5，所以当解释变量每增加一个单位时，预报变量增加0.5个单位.综上，②④正确，故选D.【题目点拨】本题考查了统计的概念和基本应用，抽样方法、回归方程和相关系数的概念和性质，属于基础题．4、B【解题分析】

由“直线垂直于平面”可得到“直线垂直于平面内无数条直线”，反之不成立（如与无数条平行直线垂直时不成立），所以“直线垂直于平面内无数条直线”是“直线垂直于平面”的必要而不充分条件，故选B.考点：充分条件与必要条件5、B【解题分析】

由已知条件构造辅助函数g(x)=f(x)+lnx，求导，根据已知求得函数的单调区间，结合原函数的性质和函数值，即可的解集．【题目详解】令g(x)=f(x)+lnx(x>0)，则g'(x)=，又函数满足，∴g'(x)=，g(x)在单调递增.∵，∴，∴当，，当，，∴当，则不等式成立.故选：B.【题目点拨】本题主要考查导数在研究函数中的应用和函数综合，一般采用构造函数法，求导后利用条件判断函数的单调性，再根据特殊值解出不等式所对应的区间即可，属于中等题.6、C【解题分析】

先求导，得到函数的单调区间，函数在区间上有最大值无最小值，即导数的零点在上，计算得到答案.【题目详解】设函数在区间上有最大值无最小值即在有零点，且满足：即故答案选C【题目点拨】本题考查了函数的最大值和最小值问题，将最值问题转为二次函数的零点问题是解题的关键.7、B【解题分析】

分三种情况讨论：甲说法对、乙说法对、丙说法对，通过题意进行推理，可得出正确选项.【题目详解】分以下三种情况讨论：①甲的说法正确，则甲做错了，乙的说法错误，则甲做错了，丙的说法错误，则丙做对了，那么乙做错了，合乎题意；②乙的说法正确，则甲的说法错误，则甲做对了，丙的说法错误，则丙做对了，矛盾；③丙的说法正确，则丙做错了，甲的说法错误，则甲做对了，乙的说法错误，则甲做错了，自相矛盾.故选：B.【题目点拨】本题考查简单的合情推理，解题时可以采用分类讨论法进行假设，考查推理能力，属于中等题.8、D【解题分析】

利用复数代数形式的乘除运算可得z＝1﹣3i，从而可得答案．【题目详解】,∴复数z的虚部是-3故选：D【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．9、C【解题分析】，选C.10、C【解题分析】

将问题转化为将这个同学中新插入的个同学重新排序，再利用排列数的定义可得出答案．【题目详解】问题等价于将这个同学中新插入的个同学重新排序，因此，所有排列的种数为，故选C.【题目点拨】本题考查排列问题，解题的关键就是将问题进行等价转化，考查转化与化归数学思想的应用，属于中等题．11、D【解题分析】分析两数可以是满足，任意数，利用特殊值法即可得到正确选项．详解：若，不妨设a代入各个选项，错误的是A、B，

当时，C错．

故选D．点睛：利用特殊值法验证一些式子错误是有效的方法，属于基础题．12、D【解题分析】

根据线性回归方程的性质，结合相关系数、相关指数及残差的意义即可判断选项.【题目详解】对于，相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于1，相关性越强，所以错误；对于，根据线性回归方程的性质，可知回归直线过样本点中心，所以正确；对于，相关指数用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越不好，所以正确；对于，根据残差意义可知，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，所以正确；综上可知，正确的为，故选：D.【题目点拨】本题考查了线性回归方程的性质，相关系数与相关指数的性质，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

求出圆锥的底面半径，假设截面与圆锥底面交于，用表示出截面三角形的高，得出截面三角形的面积关于的表达式，利用基本不等式求出面积的最大值．【题目详解】解：∵圆锥的高是，母线长是，

∴底面半径，设过圆锥顶点的平面SCD与圆锥底面交于CD，过底面中心O作OA⊥CD于E，

设，则，，∴截面SCD的面积，故答案为：1．【题目点拨】本题考查了圆锥的结构特征，基本不等式的应用，属于中档题．14、.【解题分析】分析：连接，三角形是直角三角形，根据正方形的性质得到线面垂直进而得到线线垂直.详解：连接，三角形是直角三角形，根据正方形的性质得到，，而于点，故垂直于面，进而得到.故两者夹角为.故答案为.点睛：这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的情况.15、1【解题分析】

设两项技术指标达标的概率分别为，得到，求得的值，进而得到，可得分布列和的值，得到答案．【题目详解】由题意，设两项技术指标达标的概率分别为，由题意，得，解得，所以，即一个零件经过检测为合格品的概率为，依题意知，所以．故答案为1．【题目点拨】本题主要考查了随机变量的分布列及其数学期望的计算，其中解答中根据概率的计算公式，求得的值，得到随机变量是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．16、1【解题分析】

试题分析：∵，∴．又展开式中的系数是－35，可得，∴m=1．∴．在①，令x=1，m=1时，由①可得，即考点：二项式系数的性质三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）0.08.（Ⅱ）见解析.【解题分析】试题分析：（1）根据身高服从正态分布，计算出的值，则可得到的值；

（2）求出的值，由，求出对应的概率值，得出随机变量的分布列，计算即可．试题解析:（（Ⅰ）因为，，，所以.所以.即使用寿命在的概率为0.08.（Ⅱ）因为，所以.所以；；；.所以分布列为：所以.（或.）【题目点拨】本题考查了离散型随机就是的分布列和数学期望的应用问题，解题时要注意二项分布的性质的合理运用．18、(1);(2).【解题分析】分析：（1）求函数的导数，解便得增区间．（2）要使函数与在区间内恰有两个交点，也就是让函数在[1，3]内有两个零点，令，下面要做的就是考查在区间内最值情况，若有最大值，则限制最大值大于0，然后两个端点值都小于0，若有最小值，情况恰好相反．详解：（1），∵，时，，所以函数的单调递增区间是.（2）令，则，∴时，，时，，∴是的极大值，也是在上的最大值.∵函数与在区间内恰有两个交点，∴函数在区间内有两个零点，则有，，.所以有.解得，所以的取值范围是.点睛：利用导数求函数的单调区间，这个不难掌握，注意做第二题，，.，这几个限制条件的得出，并掌握做这类题的方法．.19、（1）；（2）.【解题分析】

又，由此即可求出结果；（2）利用，和数量及的定义，代入得结果．【题目详解】解：又由问知．【题目点拨】本题考查平面向量的基本定理，和平面向量的数量积的运算公式及平面向量基本定理的应用．20、（Ⅰ）an＝2n．（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）利用数列递推关系即可得出．(Ⅱ)利用裂项求和即可求解．【题目详解】∵4Sn＝an（an+2），①当n＝1时得，即a1＝2，当n≥2时有4Sn﹣1＝an﹣1（an﹣1+2）②由①﹣②得，即2（an+an﹣1）＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1），又∵an＞0，∴an﹣an﹣1＝2，∴an＝2+2（n﹣1）＝2n．（Ⅱ）∵，∴Tn＝b1+b2+…+bn【题目点拨】本题考查了数列递推关系、裂项求和、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21、（1）见解析（2）见解析【解题分析】

（1）不等式左右都大于0，两边同时平方，整理即要证明，再平方，且，，即得证；（2）证明即可，提公因式整理得证。【题目详解】证明：（1）欲证明，只需证明，即证，两边平方，得，因为，所以显然成立，得证.（2）因为，所以.【题目点拨】本题考查证明不等式，（1）用两边同时平方的方法，（2）用做差