2024届山西省运城市景胜中学数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析

2024届山西省运城市景胜中学数学高二第二学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数满足，则复数在复平面上所对应的图形是（）A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．线段2．在极坐标中，点到圆的圆心的的距离为（）A． B． C． D．3．设随机变量，随机变量，若，则（）A． B． C． D．4．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）A．210种 B．420种 C．630种 D．840种5．有一个偶数组成的数阵排列如下：248142232…610162434……12182636………202838…………3040……………42…………………则第20行第4列的数为（）A．546 B．540 C．592 D．5986．“”是“的展开式中含有常数项”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件7．已知实数满足，且，则A． B．2 C．4 D．88．在等差数列中，是函数的两个零点，则的前10项和等于（）A． B．15 C．30 D．9．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X2)等于A． B．C． D．110．若复数为纯虚数，则实数的值为（）A． B． C． D．11．已知随机变量服从正态分布,且,则()A． B． C． D．12．己知函数,若,则()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设函数，则_________;14．某中学开设A类选修课4门，B类选修课5门，C类选修课2门，每位同学从中共选4门课，若每类课程至少选一门，则不同的选法共有_______种.15．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为__________．16．若与的夹角为，，，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设等差数列的公差为d、前n项和为，已知，．（1）求数列的通项公式：（2）令，求数列的前n项和．18．（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对于一切，均有成立，求实数的取值范围.19．（12分）为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验.为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”.分数甲班频数56441乙班频数13655（1）由以上统计数据填写下面列联表，并判断能否在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计附：，其中.临界值表0.100.050.0252.7063.8415.024（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核.在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为，求的分布列及数学期望.20．（12分）设关于的不等式的解集为函数的定义域为.若“”为假命题,“”为真命题,求实数的取值范围．21．（12分）如图，四棱锥中，为正三角形，为正方形，平面平面，、分别为、中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.22．（10分）在直角坐标系中，设倾斜角为的直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点.（1）若，求线段中点的坐标；（2）若，其中，求直线的斜率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

根据复数的几何意义知，复数对应的动点P到对应的定点的距离之和为定值2，且，可知动点的轨迹为线段.【题目详解】设复数，对应的点分别为,则由知：,又，所以动点P的轨迹为线段.故选D【题目点拨】本题主要考查了复数的几何意义，动点的轨迹，属于中档题.2、C【解题分析】分析：先把点的坐标和圆的方程都化成直角坐标方程，再求点到圆心的距离得解.详解：由题得点的坐标为，因为，所以，所以圆心的坐标为（2,0），所以点到圆心的距离为，故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查两点间的距离的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2）极坐标化直角坐标的公式为3、A【解题分析】试题分析：∵随机变量，∴，解得．∴，∴，故选C．考点：1．二项分布；2．n次独立重复试验方差．4、B【解题分析】依题意可得，3位实习教师中可能是一男两女或两男一女．若是一男两女，则有种选派方案，若是两男一女，则有种选派方案．所以总共有种不同选派方案，故选B5、A【解题分析】分析：观察数字的分布情况，可知从右上角到左下角的一列数成公差为2的等差数列，想求第20行第4列的数，只需求得23行第一个数再减去即可，进而归纳每一行第一个数的规律即可得出结论．详解：顺着图中直线的方向，从上到下依次成公差为2的等差数列，要想求第20行第4列的数，只需求得23行第一个数再减去即可.观察可知第1行的第1个数为：；第2行第1个数为：；第3行第1个数为：.……第23行第1个数为：.所以第20行第4列的数为.故选A.点睛：此题考查归纳推理，解题的关键是通过观察得出数字的排列规律，是中档题．6、A【解题分析】

根据二项展开式的通项可知当时，只需即可得到常数项，可知充分条件成立；当时，展开式均含有常数项，可知必要条件不成立，从而得到结果.【题目详解】展开式的通项公式为：当时，通项公式为：令，解得：，此时为展开式的常数项，可知充分条件成立令，解得：当时，展开式均含有常数项，可知必要条件不成立“”是“的展开式中含有常数项”的充分不必要条件本题正确选项：【题目点拨】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到二项式定理的应用；关键是能够熟练掌握二项展开式通项公式的形式，进而确定当幂指数为零时所需要的条件，从而确定是否含有常数项.7、D【解题分析】

由，可得，从而得，解出的值即可得结果．【题目详解】实数满足，故，又由得：，解得：，或舍去，故，，故选D．【题目点拨】本题考查的知识点是指数的运算与对数的运算，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题．8、B【解题分析】由题意得是方程的两根，∴，∴．选B．9、C【解题分析】

根据超几何分布的概率公式计算各种可能的概率，得出结果【题目详解】由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝故选C【题目点拨】本题主要考查了运用超几何分布求概率，分别求出满足题意的情况，然后相加，属于中档题．10、C【解题分析】试题分析：若复数为纯虚数，则必有解得：，所以答案为C．考点：1．纯虚数的定义；2．解方程．11、B【解题分析】

先计算出，由正态密度曲线的对称性得出，于是得出可得出答案．【题目详解】由题可知，，由于，所以，，因此，，故选B.【题目点拨】本题考查正态分布在指定区间上的概率，考查正态密度曲线的对称性，解题时要注意正态密度曲线的对称轴，利用对称性来计算，考查运算求解能力，属于基础题．12、D【解题分析】分析：首先将自变量代入函数解析式，利用指对式的运算性质，得到关于参数的等量关系式，即可求得结果.详解：根据题意有，解得，故选D.点睛：该题考查的是已知函数值求自变量的问题，在求解的过程中，需要对指数式和对数式的运算性质了如指掌.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先结合分段函数的解析式计算，代入可求出的值．【题目详解】由题意可知，，因此，，故答案为．【题目点拨】本题考查分段函数求值，在计算多层函数值时，遵循由内到外逐层计算，同时要注意自变量的取值，选择合适的解析式进行计算，考查计算能力，属于基础题．14、160【解题分析】

每位同学共选4门课，每类课程至少选一门，则必有某类课程选2门，另外两类课程各选1门，对选2门的这类课程进行分类，可能是A类，可能是B类，可能是C类.【题目详解】（1）当选2门的为A类，N1（2）当选2门的为B类，N2（3）当选2门的为C类，N3∴选法共有N1【题目点拨】分类与分步计数原理，要确定好分类与分步的标准，本题对选2门课程的课程类进行分类，再对每一类情况分3步考虑.15、【解题分析】分析：过作，垂足为，则平面，则即为所求平面角，从而可得结果.详解：依题意，画出图形，如图，过作，垂足为，由平面，可得，所以平面，则即为所求平面角，因为，，所以，故答案为.点睛：本题考查长方体的性质，以及直线与平面所成的角，属于中档题.求直线与平面所成的角由两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.16、【解题分析】

，由此求出结果.【题目详解】解：与的夹角为，，，.故答案为：.【题目点拨】本题考查向量的模的求法，考查向量的数量积公式，考查运算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）．【解题分析】

（1）由得，结合，求出公差，从而写出通项公式；（2）由（1）得，采用错位相减法求的前n项和.【题目详解】（1）在等差数列中，由，得：，又，公差，，数列的通项公式，（2），令数列的前n项和为，…①…②；．【题目点拨】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，等差数列的前项和，以及采用错位相减法求数列的前项和，考查了学生的运算能力.18、（1）；（2）.【解题分析】分析：（1）直接解一元二次不等式即可；（2）将不等式转化为恒成立问题，分离参数，借助基本不等式得到的取值范围.详解：（1）∵，∴，∴，∴的解集为；（2）∵，∴当时，恒成立，∴，∴对一切均有成立，又，当且仅当时，等号成立.∴实数的取值范围为.点睛：本题考查了一元二次不等式的解法，以及将不等式转化为恒成立问题，分离参数，基本不等式的应用.19、（1）填表见解析；能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”（2）详见解析【解题分析】

（1）先由统计数据可得列联表，再由列联表求出的观测值，然后结合临界值表即可得解；（2）先确定的可能取值，再求对应的概率，列出分布列，然后求出其期望即可得解.【题目详解】解：（1）由统计数据可得列联表为：甲班乙班总计成绩优良91625成绩不优良11415总计202040根据列联表中的数据，得的观测值为，∴在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.（2）由表可知在8人中成绩不优良的人数为，则的可能取值为0，1，2，3.；；；.∴的分布列为0123所以.【题目点拨】本题考查了独立性检验及列联表，重点考查了离散型随机变量的分布列及期望，属中档题.20、或.【解题分析】试题分析：先分别求出命题和命题为真命题时的取值范围,然后根据“”为假命题,“”为真命题,得出一真一假,再求出的取值范围.试题解析：由不等式的解集为,得;由函数的定义域为,当时,不合题意,∴,解得.∵“”为假命题,“”为真命题,∴一真一假,∴或∴或.点睛：由含逻辑连结词的命题的真假求参数的取值范围的方法：（1）求出当命题为真命题时所含参数的取值范围；（2）判断命题的真假性；（3）根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．21、(1)见解析;(2).【解题分析】分析：（1）要证线面平行，只需在面内找一线与已知线平行即可，连接，根据中位线即可得即可求证；（2）求线面角则可直接建立空间直角坐标系，写出线向量和面的法向量，然后根据向量夹角公式求解即可.详解：（1）连接，∵是正方形，是的中点，∴是的中点，∵是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，，，设平面的法向量，则，取得，设与平面所成角为，则.点睛：考查立体几何的线面平行证明，线面角的求法，对定理的熟悉和常规方法要做到熟练是解题关键.属于中档题.22、（1）；（2）.【解题