甘肃省兰州市一中2024届数学高二第二学期期末联考模拟试题含解析

甘肃省兰州市一中2024届数学高二第二学期期末联考模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在椭圆内，通过点，且被这点平分的弦所在的直线方程为（）A． B．C． D．2．利用独立性检验来考虑两个分类变量X与Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．如果k>5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为()P(K2>k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.83A．25% B．95%C．5% D．97.5%3．已知函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为()A． B． C． D．4．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则()A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直D．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直5．定义在上的函数，若对于任意都有且则不等式的解集是（）A． B． C． D．6．给出下列四个命题：①回归直线过样本点中心（，）②将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，平均值不变③将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变④在回归方程＝4x+4中，变量x每增加一个单位时，y平均增加4个单位其中错误命题的序号是（）A．① B．② C．③ D．④7．若，则的值为（）A．2 B．1 C．0 D．8．已知函数，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．9．某产品的销售收入（万元）关于产量（千台）的函数为；生产成本（万元）关于产量（千台）的函数为，为使利润最大，应生产产品()A．9千台 B．8千台 C．7千台 D．6千台10．已知，分别是椭圆C：的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点P，使得的面积为，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A． B． C． D．11．若曲线在点（0，n）处的切线方程x-y+1=0，则（）A．， B．，C．， D．，12．某中学高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查：①从某社区430户高收入家庭，980户中等收入家庭，290户低收入家庭中任意选出170户调查社会购买力的某项指标；②从本年级12名体育特长生中随机选出5人调查其学习负担情况；则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是（）A．①用系统抽样，②用简单随机抽样 B．①用系统抽样，②用分层抽样C．①用分层抽样，②用系统抽样 D．①用分层抽样，②用简单随机抽样二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入______.14．若二项式（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数为__．15．在的展开式中的系数与常数项相等，则正数______.16．若函数与函数的图像有两个不同的交点，则实数b的取值范围是________；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.⑴求函数的单调区间；⑵如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围.18．（12分）(1)设k，，且，求证：；(2)求满足的正整数n的最大值；19．（12分）如图，在中，D是边BC上一点，，，．（1）求DC的长；（2）若，求的面积．20．（12分）设命题实数满足（）；命题实数满足（1）若且p∧q为真，求实数的取值范围；（2）若¬q是¬p的充分不必要条件，求实数的取值范围．21．（12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求实数的取值范围.22．（10分）已知展开式中的倒数第三项的系数为45，求：（1）含的项；（2）系数最大的项．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】试题分析：设以点为中点的弦的端点分别为，则，又，两式相减化简得，即以点为中点的弦所在的直线的斜率为，由直线的点斜式方程可得，即，故选A.考点：直线与椭圆的位置关系.2、D【解题分析】∵k＞5.024，而在观测值表中对应于5.024的是0.025，∴有1-0.025=97.5%的把握认为“X和Y有关系”，

故选D．3、A【解题分析】

令，这样原不等式可以转化为，构造新函数，求导，并结合已知条件，可以判断出的单调性，利用单调性，从而可以解得，也就可以求解出，得到答案.【题目详解】解:令，则，令，则，在上单调递增，，故选A.【题目点拨】本题考查了利用转化法、构造函数法、求导法解决不等式解集问题，考查了数学运算能力和推理论证能力.4、D【解题分析】

可在正方体中选择两个相交平面，再选择由顶点构成且与其中一个面垂直的直线，通过变化直线的位置可得正确的选项．【题目详解】

如图，平面平面，平面，但平面内无直线与平行，故A错．又设平面平面，则，因，故，故B、C错，综上，选D．【题目点拨】本题考察线、面的位置关系，此种类型问题是易错题，可选择合适的几何体去构造符合条件的点、线、面的位置关系或不符合条件的反例．5、D【解题分析】

令,求导后根据题意知道在上单调递增，再求出，即可找到不等式的解集。【题目详解】令则所以在上单调递增，又所以的解集故选D【题目点拨】本题考查利用导数解不等式，属于中档题。6、B【解题分析】

由回归直线都过样本中心，可判断①；由均值和方差的性质可判断②③；由回归直线方程的特点可判断④，得到答案．【题目详解】对于①中，回归直线过样本点中心，故①正确；对于②中，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，平均值为加上或减去这个常数，故②错误；对于③中，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故③正确；对于④中，在回归直线方程，变量每增加一个单位时，平均增加4个单位，故④正确，故选B．【题目点拨】本题主要考查了回归直线方程的特点和均值、方差的性质的应用，着重考查了．判断能力，属于基础题．7、D【解题分析】分析：令x=1，可得1=a1．令x=，即可求出．详解：，令x=1，可得1=．令x=，可得a1+++…+=1，∴++…+=﹣1，故选：D．点睛：本题考查了二项式定理的应用、方程的应用，考查了赋值法，考查了推理能力与计算能力，注意的处理，属于易错题．8、A【解题分析】

由为偶函数，知，由在（0，1）为增函数，知，由此能比较大小关系．【题目详解】∵为偶函数，∴，∵，由时，，知在（0，1）为增函数，∴，∴，故选：A．【题目点拨】本题考查函数值大小的比较，解题时要认真审题，注意函数的单调性和导数的灵活运用．9、B【解题分析】

根据题意得到利润关于产量的函数式，再由导数求得使利润最大时的产量，即可求解出答案。【题目详解】设利润为万元，则，，令，得，令，得，∴当时，取最大值，故为使利润最大，应生产8千台．选B.【题目点拨】本题主要考查了利用导数的性质求函数的最值来解决实际问题。10、A【解题分析】

求出椭圆的焦距，求出椭圆的短半轴的长，利用已知条件列出不等式求出的范围，然后求解离心率的范围．【题目详解】解：，分别是椭圆的上下两个焦点，可得，短半轴的长：，椭圆上存在四个不同点，使得△的面积为，可得，可得，解得，则椭圆的离心率为：．故选：．【题目点拨】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题．11、A【解题分析】

根据函数的切线方程得到切点坐标以及切线斜率，再根据导数的几何意义列方程求解即可．【题目详解】曲线在点处的切线方程是，，则，即切点坐标为，切线斜率，曲线方程为，则函数的导数即，即，则，，故选A．【题目点拨】本题主要考查导数的几何意义的应用，属于中档题．应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2)己知斜率求切点即解方程；(3)巳知切线过某点(不是切点)求切点,设出切点利用求解.12、D【解题分析】

①总体由差异明显的几部分构成时，应选用分层抽样；②总体个体数有限、逐个抽取、不放回、每个个体被抽到的可能性均等，应选用简单随机抽样；∴选D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据框图作用分析即可求得空白处应该填入的语句.【题目详解】由程序框图的输出值，结合本框图的作用是计算，考虑，，所以空白处应该填入.故答案为：【题目点拨】此题考查程序框图的识别，根据已知程序框图需要输出的值填补框图，关键在于弄清框图的作用，准确分析得解.14、1120【解题分析】由题意可得：n=8.∴通项公式，令=2，解得r=4.∴展开式中含x2项的系数为.故答案为：1120.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.15、【解题分析】

根据二项展开式的通项公式，求出展开式中的系数、展开式中的常数项，再根据它们相等，求出的值.【题目详解】解：因为的展开式的通项公式为，令，求得，故展开式中的系数为.令，求得，故展开式中的系数为，所以，因为为正数，所以.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.16、【解题分析】

作出函数的图象和直线，由图形观察可知它们有两交点的情形。【题目详解】作出函数的图象和直线，如图，当直线过点时，，当直线与函数图象相切时，，，，（舍去），∴函数与函数的图像有两个不同的交点时。故答案为：【题目点拨】本题考查直线与函数图象交点个数问题，解题时用数形结合思想，即作出函数图象（半个椭圆）及直线当平移直线时观察它与函数图象的交点情况．本题解题时要特别注意函数图象只是椭圆的上半部分，不能误认为是整个椭圆，那就会得出错误结论．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）【解题分析】

试题分析：⑴求出函数的导数令其大于零得增区间，令其小于零得减函数；⑵令，要使总成立，只需时，对讨论,利用导数求的最小值.试题解析：(1)由于，所以.当，即时，；当，即时，.所以的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)令，要使总成立，只需时.对求导得，令，则，()所以在上为增函数，所以.对分类讨论：①当时，恒成立，所以在上为增函数，所以，即恒成立；②当时，在上有实根，因为在上为增函数，所以当时，，所以，不符合题意；③当时，恒成立，所以在上为减函数，则，不符合题意.综合①②③可得，所求的实数的取值范围是.考点：利用导数求函数单调区间、利用导数求函数最值、构造函数.18、(1)略；(2)7【解题分析】

（1）根据组合数公式可证得左右两侧形式相同，从而可得结论；（2）将问题变为，将不等式左侧根据组合数运算性质可求得等于，从而可将不等式变为，根据为正整数求得结果.【题目详解】（1）当时，（2），即：又，即又为正整数，即正整数的最大值为：【题目点拨】本题考查利用组合数公式及其性质进行运算或证明，考查对于公式的掌握程度，考查学生的转化能力，属于中档题.19、（1）3（2）【解题分析】

（1）在中，中分别使用正弦定理，结合，，即，即得解；（2）在中，中分别使用余弦定理，结合，可解得，分别计算，又可得解.【题目详解】（1）在中，由正弦定理，得．在中，由正弦定理，得．因为，所以，所以．从而有，即．又，所以．（2）在中，由余弦定理，得．在中，由余弦定理，得．由，得．因为，所以．故有．解得．又，所以，．；．故的面积．【题目点拨】本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.20、(1);(2).【解题分析】试题分析：（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．试题解析：(1)由得，又，所以，当时，，即为真时实数的取值范围为.为真时实数的取值范围是，若为真，则真真，所以实数的取值范围是.（2）是的充分不必要条件，即，等价于，设，，则是的真子集；则，且所以实数的取值范围是.21、(1)当a≤0，在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）递减；当，在（0，2）和上单调递增，在（2，）递减；当a=，在（0，+∞）递增；当a＞，在（0，）和（2，+∞）上单调递增，在（，2）递减；(2).【解题分析】

（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）由（1）知当时，单调递增区间为，单调递减区间为，又，取，可证明，有两个零点等价于，得，可证明，当时与当且时，至多一个零点，综合讨论结果可得结论.【题目详解】（1）的定义域为，，（i）当时，恒成立，时，在上单调递增；时，在上单调递减.（ii）当时，由得，（舍去），①当，即时，恒成立，在上单调递增；②当，即时，或，恒成立，在上单调递增；时，恒成