山东省蓬莱第二中学2024届数学高二第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析

山东省蓬莱第二中学2024届数学高二第二学期期末教学质量检测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列函数为奇函数的是（）A． B． C． D．2．若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为()A． B． C． D．3．设是曲线上的一个动点，记此曲线在点点处的切线的倾斜角为，则可能是（）A． B． C． D．4．已知为等腰三角形，满足，，若为底上的动点，则A．有最大值 B．是定值 C．有最小值 D．是定值5．已知为虚数单位，则复数的虚部是A． B．1 C． D．6．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是A． B．C． D．7．已知，且，则向量在方向上的投影为（）A． B． C． D．8．若曲线在处的切线，也是的切线，则（）A． B．1 C．2 D．9．从1、2、3、4、5、6中任取两个数，事件：取到两数之和为偶数，事件：取到两数均为偶数，则（）A． B． C． D．10．已知正三棱锥的外接球的半径为，且满足则正三棱锥的体积为()A． B． C． D．11．中国古代数学名著《九章算术•商功》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：“邪解立方得二堑堵邪解堑堵”錾堵是一个长方体沿不在同一表面上的相对两棱斜截所得的立体图形其正视图和俯视图（直角三角形）如图所示，则该“堑堵”的外接球的大圆面积为（）A． B． C． D．12．对任意实数，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．14．若x,y满足约束条件x+y-3≥0x-2y≤0，则函数z=x+2y的最小值为__________15．用反证法证明命题“如果，那么”时，假设的内容应为_____．16．设函数，则满足的的取值范是____________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设数列满足，，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.18．（12分）已知函数.（1）讨论函数在上的单调性；（2）当时，若时，求证：.19．（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数的最大值为.（1）求的值；（2）若，，求的最大值.20．（12分）已知定点及直线,动点到直线的距离为,若.(1)求动点的轨迹C方程；(2)设是上位于轴上方的两点,坐标为,且,的延长线与轴交于点,求直线的方程.21．（12分）若，求证：．22．（10分）已知曲线的参数方程为（为参数）.以轴正半轴为极轴，以坐标原点为极点建立极坐标系，点的极坐标为，过点的直线与曲线相交于，两点.（1）若直线的斜率，求直线的极坐标方程和曲线的普通方程；（2）求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】试题分析：由题意得，令，则，所以函数为奇函数，故选A．考点：函数奇偶性的判定．2、D【解题分析】因为双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），故选D.考点：双曲线的简单性质【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：（1）与双曲线共渐近线的可设为；（2）若渐近线方程为，则可设为；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长；（4）的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.3、B【解题分析】分析：求出原函数的导函数，利用基本不等式求出导函数的值域，结合直线的斜率是直线倾斜角的正切值求解．详解：由，得

当且仅当时上式“=”成立．，即曲线在点点处的切线的斜率小于等于-1．

则，

又，故选：B．点睛：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．4、D【解题分析】

设是等腰三角形的高.将转化为，将转化为，代入数量积公式后，化简后可得出正确选项.【题目详解】设是等腰三角形的高，长度为.故.所以选D.【题目点拨】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于基础题.5、A【解题分析】试题分析：根据题意，由于为虚数单位，则复数，因此可知其虚部为-1，故答案为A.考点：复数的运算点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题。6、D【解题分析】

因为-2为极值点且为极大值点，故在-2的左侧附近>0，-2的右侧<0,所以当x>-2且在-2的右侧附近时，排除BC，当x<-2且在-2的左侧附近时，，排除AC，故选D7、C【解题分析】

分析：由推导出，从而，由此能求出向量在向量方向上的投影.详解：，且，，，向量在向量方向上的投影为，故选C.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.8、C【解题分析】

求出的导数，得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线相切的切点为（m，n），得的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得m，n，进而得到b的值．【题目详解】函数的导数为y＝ex，曲线在x＝0处的切线斜率为k＝=1，则曲线在x＝0处的切线方程为y﹣1＝x；函数的导数为y＝，设切点为（m，n），则＝1，解得m＝1，n＝1，即有1＝ln1+b，解得b＝1．故选A．【题目点拨】本题主要考查导数的几何意义，求切线方程，属于基础题．9、D【解题分析】

根据条件概率公式可得解.【题目详解】事件分为两种情况：两个均为奇数和两个数均为偶数，所以，，由条件概率可得：，故选D.【题目点拨】本题考查条件概率，属于基础题.10、A【解题分析】

根据判断出为等边三角形的中心，由此求得正三棱锥的底面积和高，进而求得正三棱锥的体积.【题目详解】由于三棱锥是正三棱锥，顶点在底面的射影是底面中心.由可知，为等边三角形的中心，由于正三棱锥的外接球的半径为，故由正弦定理得，且正三棱锥的高为球的半径，故正三棱锥的体积为.所以本小题选A.【题目点拨】本小题主要考查正三棱锥的几何性质，考查向量加法运算，考查几何体外接球有关问题的求解，属于中档题.11、B【解题分析】

首先根据题意得到“堑堵”是半个长方体的直三棱柱，再求其外接球的大圆面积即可.【题目详解】由题知：“堑堵”是半个长方体的直三棱柱，如图所示：设外接球大圆的半径为，.，所以外接球的大圆面积为.故选：B【题目点拨】本题主要考查三棱柱的外接球，同时考查三视图的直观图，属于中档题.12、B【解题分析】考点：绝对值不等式；函数恒成立问题．分析：要使不等式|x+2|-|x-1|＞a恒成立，需f（x）=|x+2|-|x-1|的最小值大于a，问题转化为求f（x）的最小值．解：（1）设f（x）=|x+2|-|x-1|，则有f（x）=，当x≤-2时，f（x）有最小值-1；当-2≤x≤1时，f（x）有最小值-1；当x≥1时，f（x）=1．综上f（x）有最小值-1，所以，a＜-1．故答案为B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、5【解题分析】分析:先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.详解：设，由得因为A,B在椭圆上,所以，与对应相减得，当且仅当时取最大值.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.14、5.【解题分析】分析：作出约束条件所表示的平面区域，结合图象，得到目标函数经过点B时，目标函数取得最小值，即可求解．详解：作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数z=x+2y，则y=-1由图象可知当取可行域内点B时，目标函数取得最小值，由x+y-3=0x-2y=0，解得B(1,2)此时函数的最小值为z=1+2×2=5．点睛：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如z=ax+by.求这类目标函数的最值常将函数z=ax+by转化为直线的斜截式：y=-abx+zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值；（2）15、或【解题分析】假设的内容应是否定结论，由否定后为.16、.【解题分析】分析：画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可.详解：函数的图象如图：满足，可得或，解得.故答案为：.点睛：本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考查计算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

（1）由数列恒等式，结合等比数列的求和公式，可得所求；（2）求得，运用数列的分组求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．【题目详解】（1），当时，而，符合上式，所以数列的通项公式为（2），设，，相减可得，化简可得，可求和得：【题目点拨】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．18、（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）对求导后讨论的范围来判断单调性；（2）构造函数，借助得到，设，使得，设，根据该函数性质即可证明【题目详解】（1）由题意可知，，，（i）当时，恒成立，所以函数在上单调递增；（ii）当时，令，得，①当，即时，在上恒成立，所以函数在上单调递减；②当，即时，在上，，函数在上单调递增；在上，，函数在上单调递减.综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）证明：令，由题意可得，不妨设.所以，于是.令，，则，，.令，则，在上单调递增，因为，所以，且，所以，即.【题目点拨】本题考察（1）用分类讨论的方法判断函数单调性；（2）多变量不等式要先化为单变量不等式，利用综合法证明猜想19、（1）2（2）2【解题分析】

试题分析：（1）根据绝对值定义，将函数化为分段函数形式，分别求各段最大值，最后取各段最大值的最大者为的值；（2）利用基本不等式得，即得的最大值.试题解析：（1）由于当时，，当时，，当时，所以.（2）由已知,有，因为(当时取等号)，(当时取等号)，所以，即，故的最大值为2.20、（1）（2）【解题分析】

（1）直接把条件用坐标表示，并化简即可；（2）设，由可得的关系，的关系，再结合在曲线上，可解得，从而能求得的方程．【题目详解】（1）设，则由，知又，∴由题意知：∴∴∴点的轨迹方程为（2）设，∵∴为中点，∵∴∴又，∴又，∴∵，∴，∴∴直线方程为【题目点拨】本题考查椭圆的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，求轨迹方程用的是直接法，另外还有定义法、相关点法、参数法、交轨法等．21、见解析【解题分析】

引入函数，展开，其中，，是整数，，注意说明的唯一性，这样有，，然后计算即可.【题目详解】证明：因为，所以，由题意，首先证明对于固定的，满足条件的是唯一的．假设，则，而，矛盾。所以满足条件的是唯一的．下面我们求及的值：因为，显然．又因为，故，即．所以令，，则，，又，所以．【题目点拨】本题考查二项式定理的应用，解题关键是引入函数，展开，其中，，是整数，，于是