福清市福清华侨中学2024届高二数学第二学期期末检测试题含解析

福清市福清华侨中学2024届高二数学第二学期期末检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某巨型摩天轮．其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第35分钟时他距地面大约为（）米．A．75 B．85 C．100 D．1102．下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（）A． B． C． D．3．某研究机构在对具有线性相关的两个变量和进行统计分析时，得到如表数据．由表中数据求得关于的回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（）468101212356A． B． C． D．4．已知，是双曲线的上、下两个焦点，的直线与双曲线的上下两支分别交于点，，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．5．x+1A．第5项 B．第5项或第6项 C．第6项 D．不存在6．已知集合，,则等于()A． B． C． D．7．已知向量，则与的夹角为（）A． B． C． D．8．随机变量的分布列为12340.20.30.4则（）A．4.8 B．5 C．6 D．8.49．下列关于残差图的描述错误的是（）A．残差图的横坐标可以是编号B．残差图的横坐标可以是解释变量和预报变量C．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小D．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小10．双曲线的离心率为，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，（为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为（）A． B． C． D．11．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为A．2 B．4 C．6 D．812．已知，，则，这上这2个数中（）A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．引入随机变量后，下列说法正确的有：__________（填写出所有正确的序号）.①随机事件个数与随机变量一一对应；②随机变量与自然数一一对应；③随机变量的取值是实数.14．已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，过弦的中点作准线的垂线，垂足为，则的最小值为__________．15．已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，且在第一象限交于点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则的最小值为__________．16．已知函数f(x)=|lnx|,0<x≤e3-x+e3+3,x>三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知二次函数,且,是否存在常数,使得不等式对一切实数恒成立?并求出的值.18．（12分）已知，求的值．19．（12分）在四棱锥中,平面平面，,四边形是边长为的菱形，,是的中点.(1)求证:平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20．（12分）动点在抛物线上，过点作垂直于轴，垂足为，设.（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）设点，过点的直线交轨迹于两点，直线的斜率分别为，求的最小值．21．（12分）如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，点在线段上（包括两个端点）运动．（1）当为线段的中点时，①求证：；②求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围.22．（10分）已知函数，曲线在处的切线与轴平行.（1）求实数的值；（2）设，求在区间上的最大值和最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】分析：设出P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B，由题意求出三角函数中的参数A，B，及周期T，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f（35）的值即可．详解：设P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意可知：A=50，B=110﹣50=60，T==21，∴ω=，即f（t）=50sin（t+φ）+60，又因为f（0）=110﹣100=10，即sinφ=﹣1，故φ=，∴f（t）=50sin（t+）+60，∴f（35）=50sin（×35+）+60=1．故选B．点睛：已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求，一般用最高点或最低点求．2、A【解题分析】本题考察函数的单调性与奇偶性由函数的奇偶性定义易得，，是偶函数，是奇函数是周期为的周期函数，单调区间为时，变形为，由于2>1,所以在区间上单调递增时，变形为，可看成的复合，易知为增函数，为减函数，所以在区间上单调递减的函数故选择A3、A【解题分析】分析：求出样本点的中心，求出的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有（，共2个，求出概率即可．详解：故，解得：，

则

故5个点中落在回归直线下方的有，共2个，

故所求概率是，

故选A．点睛：本题考查了回归方程问题，考查概率的计算以及样本点的中心，是一道基础题．4、D【解题分析】根据双曲线的定义，可得是等边三角形，即∴即

即又

0°即解得由此可得双曲线的渐近线方程为.故选D．【题目点拨】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出a，b的关系是解决本题的关键．5、C【解题分析】

根据题意，写出(x+1x)10展开式中的通项为Tr+1，令x【题目详解】解：根据题意，(x+1x)令10-2r=0，可得r=5；则其常数项为第5+1=6项；故选：C．【题目点拨】本题考查二项式系数的性质，解题的关键是正确应用二项式定理，写出二项式展开式，其次注意项数值与r的关系,属于基础题．6、C【解题分析】

分析：利用一元二次不等式的解法求出中不等式的解集确定出，然后利用交集的定义求解即可.详解：由中不等式变形得，解得，即，因为，，故选C.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.7、D【解题分析】

根据题意，由向量数量积的计算公式可得cosθ的值，据此分析可得答案．【题目详解】设与的夹角为θ，由、的坐标可得||＝5，||＝3，•5×0+5×（﹣3）＝﹣15，故，所以.故选D【题目点拨】本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．8、B【解题分析】分析：先求出a,再求,再利用公式求.详解：由题得a=1-0.2-0.3-0.4=0.1.由题得.所以所以.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查概率的计算和随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，.9、C【解题分析】分析：根据残差图的定义和图象即可得到结论．详解：A残差图的横坐标可以是编号、解释变量和预报变量，故AB正确；可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．则对应相关指数越大，故选项D正确，C错误.故选：C．点睛：本题主要考查残差图的理解，比较基础．10、C【解题分析】由题意可知该双曲线是等轴双曲线，故渐近线方程是，而抛物线的准线方程为，由题设可得，则，所以（为坐标原点）的面积为，应选答案C。11、B【解题分析】

由题意，直观图如图所示，由图可知该几何体的体积为为正方体的一半．【题目详解】由题意，直观图如图所示，由图可知该几何体的体积为为正方体的一半，即为2×2×2＝1．故选B．【题目点拨】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定几何体的形状是关键．12、C【解题分析】

根据取特殊值以及利用反证法，可得结果.【题目详解】当时，，故A，B错误；当时，，故D错误；假设，则，又，，矛盾，故选：C【题目点拨】本题主要考查反证法，正所谓“正难则反”，熟练掌握反证法的证明方法，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、③【解题分析】

要判断各项中对随机变量描述的正误，需要牢记随机变量的定义.【题目详解】引入随机变量,使我们可以研究一个随机实验中的所有可能结果，所以随机变量的取值是实数，故③正确.【题目点拨】本题主要考查随机变量的相关定义，难度不大.14、.【解题分析】分析：过P、Q分别作准线的垂线PA、QB，垂足分别是A、B，设，，可得，由余弦定理得：，进而根据基本不等式，求得的取值范围，从而得到本题答案.详解：如图：过P、Q分别作准线的垂线PA、QB，垂足分别是A、B，设，，由抛物线定义，得，在梯形中，，，由余弦定理得：，则的最小值为.故答案为：.点睛：本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题.15、.【解题分析】分析：通过椭圆与双曲线的定义，用和表示出的长度，根据余弦定理建立的关系式；根据离心率的定义表示出两个离心率的平方和，利用基本不等式即可求得最小值。详解：，所以解得在△中，根据余弦定理可得代入得化简得而所以的最小值为点睛：本题考查了圆锥曲线的综合应用。结合余弦定理、基本不等式等对椭圆、双曲线的性质进行逐步分析，主要是对圆锥曲线的“交点”问题重点分析和攻破，属于难题。16、1【解题分析】试题分析：由题意得，0<lnx2<3⇒1<x2<e3，因为存在x1<x2<x3，f(x1)=f(考点：分段函数的性质及利用导数求解函数的最值．【方法点晴】本题主要考查了分段函数的图象与性质、利用导数研究函数的单调性与极值、最值，着重考查了学生分析、解答问题的能力，同时考查了转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中，先确定1<x2<三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解题分析】

由，令可得，结合，又利用恒成立可得，从而可得结果.【题目详解】存在常数使恒成立，因为，所以，即，又=0，所以，代人恒成立，得恒成立，得.故，.【题目点拨】本题主要考查二次函数的解析式以及一元二次不等式恒成立问题，属于难题.一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑判别式小于零即可；（2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题.18、【解题分析】

先由等式求出的值，利用诱导公式对所求分式进行化简，代入的值可得出结果.【题目详解】因为，所以，所以，因此，.【题目点拨】本题考查利用诱导公式化简求值，对于化简求值类问题，首先要利用诱导公式将代数式进行化简，再结合同角三角函数的基本关系或代值计算，考查计算能力，属于基础题.19、（1）见解析；（2）【解题分析】

(1)连接，根据几何关系得到,由平面平面，可得平面，进而得到,再由三角形ABE的角度及边长关系得到，进而得到结果;(2)建立空间坐标系得到面的法向量为，面的一个法向量为，根据向量夹角运算可得结果【题目详解】（1）连接，由，是的中点，得，由平面平面，可得平面，，又由于四边形是边长为2的菱形，，所以，从而平面.（2）以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，，，有，，令平面的法向量为，由，可得一个，同理可得平面的一个法向量为，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【题目点拨】本题考查了面面垂直的证法，以及二面角的求法，证明面面垂直经常先证线面垂直，再得面面垂直，或者建立坐标系，求得两个面的法向量，证明法向量公线即可.20、（Ⅰ）（Ⅱ）1【解题分析】

（1）设Q（x，y），则P（x，2y），代入x2=2y得出轨迹方程；（2）联立直线AB方程与Q的轨迹方程，得出A，B的坐标关系，代入斜率公式化简|k1﹣k2|，利用二次函数的性质求出最小值．【题目详解】（Ⅰ）设点，则由得，因为点在抛物线上，（Ⅱ）方法一：由已知，直线的斜率一定存在，设点，联立得由韦达定理得（1）当直线经过点即或时，当时，直线的斜率看作抛物线在点处的切线斜率，则，此时；当时，同理可得（2）当直线不经过点即且时，，所以的最小值为.方法二：同上故，所以的最小值为方法三：设点，由直线过点交轨迹于两点得：化简整理得：，令，则【题目点拨】本题考查了轨迹方程的求解，直线与抛物线的位置关系，直线的斜率公式，属于中档题．21、（1）①见解析；②；（2）.【解题分析】

（1）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，由向量法证明线线垂直和计算二面角．（2）设（），设直线与平面所成的角为由向量坐标法求得设设由导数法求得