2024届浙江省杭州市西湖区杭州学军中学高二数学第二学期期末调研试题含解析

2024届浙江省杭州市西湖区杭州学军中学高二数学第二学期期末调研试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门.一名同学随机选择3门功课，则该同学选到物理、地理两门功课的概率为（）A． B． C． D．2．已知，，，（e为自然对数的底）则a，b，c的大小关系为（）A． B．C． D．3．若函数在区间上的图象如图所示，则的值（）A． B．C． D．4．已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（）.A．-1 B． C． D．5．若随机变量服从正态分布在区间上的取值概率是0.2，则在区间上的取值概率约是()A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.86．.盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为A．15B．25C．17．下列选项中，说法正确的是（）A．命题“”的否定是“”B．命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条件C．命题“若，则”是假命题D．命题“在中，若,则”的逆否命题为真命题8．设表示不超过的最大整数（如，）.对于给定的，定义，.若当时，函数的值域是（），则的最小值是（）A． B． C． D．9．复数(为虚数单位)的共轭复数是（）A． B． C． D．10．连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，在已知两次的点数均为偶数的条件下，两次的点数之和不大于8的概率为（）A． B． C． D．11．一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，则a＝()A． B．C．2 D．312．如图，已知函数的图象关于坐标原点对称，则函数的解析式可能是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_________.14．已知函数的导函数为，且满足，则________15．已知复数是纯虚数，则实数_________.16．的展开式中的系数为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形,，,，为等边三角形.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）设圆的圆心为A，直线过点B（1,0）且与轴不重合，交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（Ⅰ）证明：为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线交C1于M,N两点，过B且与垂直的直线与C1交于P,Q两点，求证：是定值，并求出该定值.19．（12分）[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点是曲线上一点，若点到曲线的最小距离为，求的值．20．（12分）某饮料公司根据市场调查数据分析得到以下结果：如果某款饮料年库存积压率低于千分之一，则该款饮料为畅销产品，可以继续大量生产.如果年库存积压率高于千分之一，则说明需要调整生产计划.现公司2013—2018年的某款饮料生产，年销售利润及年库存积压相关数据如下表所示：年份201320142015201620172018年生产件数（千万件）3568911年销售利润（千万元）2240486882100年库存积压件数（千件）295830907580注：（1）从公司2013—2018年的相关数据中任意选取2年的数据，求该款饮料这2年中至少有1年畅销的概率.（2）公司根据上表计算出年销售利润与年生产件数的线性回归方程为.现公司计划2019年生产11千万件该款饮料，且预计2019年可获利108千万元.但销售部门发现，若用预计的2019年的数据与2013—2018年中畅销年份的数据重新建立回归方程，再通过两个线性回归方程计算出来的2019年年销售利润误差不超过4千万元，该款饮料的年库存积压率可低于千分之一.如果你是决策者，你认为2019年的生产和销售计划是否需要调整？请说明理由.21．（12分）已知.（I）求的最小值及最大值；（II）设，，，求的最大值.22．（10分）已知在直角坐标系中,直线的参数方程为是为参数）,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)判断直线与曲线的位置关系；(2)在曲线上求一点,使得它到直线的距离最大,并求出最大距离.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

先计算出基本事件的总数，然后再求出该同学选到物理、地理两门功课的基本事件的个数，应用古典概型公式求出概率.【题目详解】解:由题意可知总共情况为，满足情况为，该同学选到物理、地理两门功课的概率为.故选B.【题目点拨】本题考查了古典概型公式，考查了数学运算能力.2、A【解题分析】

根据条件即可得出，a＝log2e，b＝ln2，c＝log23，容易得出log23＞log2e＞1，ln2＜1，从而得出a，b，c的大小关系．【题目详解】∵；∴；∵log23＞log2e＞log22＝1，ln2＜lne＝1；∴c＞a＞b．故选：A．【题目点拨】本题考查指数式和对数式的互化，对数的换底公式，考查了利用对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题．3、A【解题分析】

根据周期求，根据最值点坐标求【题目详解】因为,因为时，所以因为，所以，选A.【题目点拨】本题考查由图像求三角函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.4、A【解题分析】

先根据的单调性确定出最小值从而确定出的值，再由不等式即可得到的范围，根据二次函数零点的分布求解出的取值范围.【题目详解】因为，所以当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以，所以，又因为，所以，因为对应的，且有零点，（1）当时，或，所以，所以，所以，（2）当时，或，此时，所以，综上可知：，所以.故选：A.【题目点拨】本题考查利用导数判断函数的零点以及根据二次函数的零点分布求解参数范围，属于综合性问题，难度较难.其中处理二次函数的零点分布问题，除了直接分析还可以采用画图象的方法进行辅助分析.5、A【解题分析】

根据正态分布曲线的对称性可知，在区间上的取值概率是0.2，可得在区间上的取值概率是0.6，从而可得在区间上的取值概率。【题目详解】解：据题设分析知，因为随机变量服从正态分布且，根据对称性可得，所求概率，故选A.【题目点拨】本题考查了正态分布的应用，解题的关键是熟知正态曲线是关于对称，在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1等正态密度曲线图象的特征.6、D【解题分析】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有5+10=15种结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有10种结果，∴根据等可能事件的概率得到P==107、C【解题分析】对于A，命题“”的否定是“”，故错误；对于B，命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件，故错误；对于C，命题“若，则”在时，不一定成立，故是假命题，故正确；对于D，“在中，若，则或”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错误；故选C.8、B【解题分析】

先根据的定义化简的表达式为,再根据单调性求出函数在两段上的值域,结合已知条件列不等式即可解得.【题目详解】①当时，.在上是减函数，；②当时，.在上是减函数，.的值域是或所以或，的最小值是.故:B.【题目点拨】本题考查了利用函数的单调性求分段函数的值域,属于中档题.9、D【解题分析】

化简，由共轭复数的定义即可得到答案。【题目详解】由于，所以的共轭复数是，故答案选D.【题目点拨】本题考查复数乘除法公式以及共轭复数的定义。10、D【解题分析】

求出两次点均为偶数的所有基本事件的个数，再求出在两次均为偶数而且和不大于8的基本事件的个数后可得概率．【题目详解】记，，因为，，所以．故选：D.【题目点拨】本题考查条件概率，本题解题关键是求出两次的点数均为偶数的条件下，两次的点数之和不大于8所含有的基本事件的个数．11、D【解题分析】

如果物体按s=s(t)的规律运动，那么物体在时刻t的瞬时速度(t)，由此可得出答案．【题目详解】由s＝at2＋1得v(t)＝s′＝2at，故v(2)＝12，所以2a·2＝12，得a＝3.【题目点拨】本题主要考察导数的物理意义．属于基础题12、C【解题分析】

根据函数图像的对称性，单调性，利用排除法求解.【题目详解】由图象知，函数是奇函数，排除，；当时，显然大于0，与图象不符，排除D，故选C.【题目点拨】本题主要考查了函数的图象及函数的奇偶性，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解题分析】此几何体是一个组合体，由三视图可知上面正四棱柱的高为,其体积为.14、-1【解题分析】

首先对函数求导，然后利用方程思想求解的值即可.【题目详解】由函数的解析式可得：，令可得：，则.【题目点拨】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15、【解题分析】

将化简为的形式，根据复数是纯虚数求得的值.【题目详解】因为为纯虚数，所以.【题目点拨】本小题主要考查复数乘法运算，考查纯虚数的概念，属于基础题.16、56【解题分析】

利用二项式展开式的通项公式，即可容易求得结果.【题目详解】的展开式的通项公式为.令，解得，故其系数为.故答案为：.【题目点拨】本题考查利用二项式通项公式求指定项系数，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)略；(2)【解题分析】

（1）推导出，从而得到平面，由此可证得；（2）推导出，以B为原点为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【题目详解】（1）证明：在四棱锥中，四边形是直角梯形，，,，为等边三角形，所以，所以，,所以，又由，所以平面，又因为平面，所以；（2）因为，所以，以为原点为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，取，得，设平面的法向量为，则，取，得，由图形可知二面角的平面角是钝角，设二面角的平面角为，所以，即二面角的余弦值为.【题目点拨】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18、（I）（）；（II）【解题分析】

（I）根据几何关系，即可证明为定值，再利用椭圆的定义即可求出点E的轨迹方程；（Ⅱ）利用点斜式设出直线的方程，与椭圆方程联立方程组，得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系以及弦长公式表示出，同理可得，代入中进行化简即可证明为定值。【题目详解】（I）因为，，故，所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以，由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.（II）依题意：与轴不垂直，设的方程为,,.由得,.则，.所以.同理：故(定值)【题目点拨】本题考查解析几何中的轨迹问题以及定值问题，综合性强，运算量大，属于中档题。19、(1)；.(2)或.【解题分析】试题分析：（1）消去参数得到的普通方程为．利用可以把的极坐标方程化为直角坐标方程．（2）把的直角方程转化为参数方程，利用点到直线的距离公式算出距离为，利用得到．因为直线与椭圆是相离的，所以或，分类讨论就可以得到相应的值．解析：（1）由曲线的参数方程，消去参数，可得的普通方程为：．由曲线的极坐标方程得，∴曲线的直角坐标方程为．（2）设曲线上任意一点为，，则点到曲线的距离为．∵，∴，，当时，，即；当时，，即．∴或．点睛：一般地，如果圆锥曲线上的动点到直线的距离有最小值，那么这条直线和圆锥曲线的位置关系式相离的．20、（1）；（2）不需要调整.【解题分析】

（1）计算出每年的年度库存积压率，可知13，15，17，18年畅销，14，16年不畅销；列举出所有年份中任取2年的取法共15种，其中2年均为不畅销的取法仅有1种，故根据古典型及对立事件的概率可求得结果；2）数据重组后依据公式计算出新的回归直线方程，并求出2019年的年销售利润预估值；再计算出原回归直线方程的2019年的年销售利润预估值，可知两值相差3.66千万元，由此可得结论【题目详解】（1）公司年年度存积压率分别为：，，，，，则该饮品在13，15，17，18年畅销记为，，，，14，16年不畅销记为，任取2年的取法有：，，，，，，，，，，，，，，共15种.其中2年均不畅销的取法是，共1种∴该款饮料这年中至少有1年畅销的概率为：（2）由题意得，2019年数据与2013，2015，2017，2018年数据重组如下表：年份201