2024届江苏省常州市戚墅堰高级中学数学高二第二学期期末达标检测模拟试题含解析

2024届江苏省常州市戚墅堰高级中学数学高二第二学期期末达标检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，则函数的零点个数为（）A．1 B．3 C．4 D．62．观察下列各式：则（）A．28B．76C．123D．1993．设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（）A．60 B．65 C．80 D．814．若角为三角形的一个内角，并且，则（）A． B． C． D．5．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为（）A． B． C． D．6．直线：，，所得到的不同直线条数是（）A．22 B．23 C．24 D．257．函数在区间上的最大值是（）A． B． C． D．8．下列不等式成立的是（）A． B． C． D．9．函数的单调增区间是（）A． B． C． D．10．已知随机变量，其正态分布曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点数估计值为（）（附：则）A．6038 B．6587 C．7028 D．753911．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若角是第三象限角，且，则（）A． B． C． D．12．将函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．一次英语测验由50道选择题构成,每道题有4个选项,其中有且仅有一个是正确的,每个选对得3分,选错或不选均不得分,满分150.某学生选对每一道题的概率均为0.7,则该生在这次测验中的成绩的期望是__________14．已知是虚数单位，若复数满足，则________.15．将集合的元素分成互不相交的三个子集：，其中,，，且，，则满足条件的集合有__________个．16．已知复数z满足，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）甲乙两名选手在同一条件下射击，所得环数的分布列分别为678910P0.160.140.420.10.18678910P0.190.240.120.280.17（I）分别求两名选手射击环数的期望；（II）某比赛需从二人中选一人参赛，已知对手的平均水平在7.5环左右，你认为选谁参赛获胜可能性更大一些？18．（12分）在中，角,,所对的边分别是，，，已知.（1）求的值；（2）若，，，为垂足，求的长.19．（12分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，证明：．20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）已知曲线的极坐标方程为：，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且，均异于极点，且，求实数的值．21．（12分）已知数列的首项，等差数列满足.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和.22．（10分）在中，内角所对的边分别为且满足.(1)求角的大小；(2)若，的面积为，求的值..

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

令,可得,解方程,结合函数的图象,可求出答案.【题目详解】令,则,令,若,解得或,符合;若,解得,符合.作出函数的图象,如下图,时,;时,;时,.结合图象,若,有3个解;若,无解;若,有1个解.所以函数的零点个数为4个.故选:C.【题目点拨】本题考查分段函数的性质,考查了函数的零点,考查了学生的推理能力,属于中档题.2、C【解题分析】试题分析：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即考点：归纳推理3、D【解题分析】由题意可得，成立，需要分五种情况讨论：当时，只有一种情况，即；当时，即，有种；当时，即，有种；当时，即，有种当时，即，有种，综合以上五种情况，则总共为：种，故选D.【题目点拨】本题主要考查了创新型问题，往往涉及方程，不等式，函数等，对涉及的不同内容，先要弄清题意，看是先分类还是先步，再处理每一类或每一步，本题抓住只能取相应的几个整数值的特点进行分类，对于涉及多个变量的排列，组合问题，要注意分类列举方法的运用，且要注意变量取值的检验，切勿漏掉特殊情况.4、A【解题分析】分析：利用同角关系，由正切值得到正弦值与余弦值，进而利用二倍角余弦公式得到结果.详解：∵角为三角形的一个内角，且，∴∴故选：A点睛：本题考查了同角基本关系式，考查了二倍角余弦公式，考查了计算能力，属于基础题.5、C【解题分析】分析：三棱锥的三条侧棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可.详解：根据题意可知三棱锥的三条侧棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱中，底面，,，的外接圆的半径为，由题意可得：球心到底面的距离为.球的半径为.外接球的表面积为：.故选：C.点睛：考查空间想象能力，计算能力.三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提.6、B【解题分析】

根据排列知识求解，关键要减去重复的直线.【题目详解】当m,n相等时，有1种情况；当m,n不相等时，有种情况，但重复了8条直线，因此共有条直线.故选B.【题目点拨】本题考查排列问题，关键在于减去斜率相同的直线，属于中档题.7、B【解题分析】

函数，，令，解得x．利用三角函数的单调性及其导数即可得出函数的单调性．【题目详解】函数，，令，解得．∴函数在内单调递增，在内单调递减．∴时函数取得极大值即最大值．．故选B．【题目点拨】本题考查了三角函数的单调性，考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．求三角函数的最值问题，一般是通过两角和差的正余弦公式将函数表达式化为一次一角一函数，或者化为熟悉的二次函数形式的复合函数来解决.8、B【解题分析】

利用指数函数与对数函数的单调性，即可得到判定，得出答案.【题目详解】由题意，指数函数时，函数是增函数，所以不正确，是正确的，又由对数函数是增函数，所以不正确；对数函数是减函数，所以不正确，故选B.【题目点拨】本题主要考查了指数函数以及对数函数的单调性的应用，其中熟记指数函数与对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9、A【解题分析】

求导，并解不等式可得出函数的单调递增区间。【题目详解】，，令，得或，因此，函数的单调递增区间为，，故选：A。【题目点拨】本题考查利用导数求函数的单调区间，求函数单调区间有以下几种方法：（1）基本性质法；（2）图象法；（3）复合函数法；（4）导数法。同时要注意，函数同类单调区间不能合并，中间用逗号隔开。10、B【解题分析】∵随机变量，∴，∴，∴落入阴影部分的点的个数的估计值为个．选B．11、A【解题分析】

由单位圆中的三角函数线可得：终边关于轴对称的角与角的正弦值相等，所以，再根据同角三角函数的基本关系，结合余弦函数在第四象限的符号，求得.【题目详解】角与角终边关于轴对称，且是第三象限角，所以为第四象限角，因为，所以，又，解得：，故选A.【题目点拨】本题考查单位圆中三角函数线的运用、同角三角函数的基本关系，考查基本的运算求解能力.12、C【解题分析】试题分析：将其向右平移个单位后得到：，若为偶函数必有：，解得：，当时，D正确，时，B正确，当时，A正确，综上，C错误.考点：1.函数的图像变换；2.函数的奇偶性.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、105.【解题分析】分析：先判断概率分别为二项分布，再根据二项分布期望公式求结果.详解：因为，所以点睛：14、【解题分析】

先计算复数，再计算复数的模.【题目详解】故答案为【题目点拨】本题考查了复数的计算，属于简单题.15、3【解题分析】

分析：由可得，令，则，，，然后列举出的值，从而可得结果.详解：，所以，令，根据合理安排性，集合的最大一个元素，必定为：，则，又，，①当时，同理可得.②当时，同理可得或，综上，一共有种，故答案为.点睛：本题考查主要考查集合与元素的关系，意在考查抽象思维能力，转化与划归思想，分类讨论思想应用，属于难题.解得本题的关键是首项确定，从而得到，由此打开突破点.16、3-i【解题分析】

利用复数的运算法则、共轭复数的性质即可得出．【题目详解】解：（z﹣2）i＝1+i，则（z﹣2）i•（﹣i）＝﹣i（1+i），可得z＝2﹣i+1＝3﹣i．故答案为：3﹣i．【题目点拨】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1).（2）甲稳定，甲参赛获胜可能性更大一些.【解题分析】分析：（1）根据期望和方差的公式得到数值；（2）根据第一问得到的数据，方差小的发挥稳定一些.详解：(1)（2）因为所以甲稳定，甲参赛获胜可能性更大一些.点睛：这个题目考查了期望和方差的计算公式，以及两个数据在实际中的应用，方差能够说明数据的离散程度，期望说明数据的平均值，从选手发挥稳定的角度来说，应该选择方差小的.18、（1）（2）【解题分析】

（1）根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（2）先根据余弦定理求，再利用三角形面积公式求AD.【题目详解】（1）因为，所以因为，所以,即.因为，所以，所以.则.（2）因为，所以,.在中，由余弦定理可得，即.由，得.所以.【题目点拨】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.19、（1）见解析；（2）；（3）见解析【解题分析】分析：（1）求出的导函数，由得增区间，由得减区间，注意在解不等式时要按的值分类讨论；（2）由（1）的结论知当时，，题中不等式成立，而当时，题中不等式不恒成立；（3）时，由（2）知上有，从而，令，然后所有不等式相加可证．详解：(1)∵y＝f(x)－g(x)＝ln(ax＋1)－，y′＝－＝，当a≥1时，y′≥0，所以函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数；当0<a<1时，由y′>0得x>2，所以函数y＝f(x)－g(x)在上是单调递增函数，函数y＝f(x)－g(x)在上是单调递减函数；(2)当a≥1时，函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数．所以f(x)－g(x)≥f(0)－g(0)＝1，即不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)时恒成立，当0<a<1时，函数y＝f(x)－g(x)是上的减函数，存在，使得f(x0)－g(x0)<f(0)－g(0)＝1，即不等式f(x0)≥g(x0)＋1不成立，综上，实数a的取值范围是[1，＋∞)．(3)当a＝1时，由(2)得不等式f(x)>g(x)＋1在x∈(0，＋∞)时恒成立，即ln(x＋1)>，所以，即<[ln(k＋1)－lnk]．所以<(ln2－ln1)，<(ln3－ln2)，<(ln4－ln3)，…，<[ln(n＋1)－lnn]．将上面各式相加得到，＋＋＋…＋<[(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋(ln4－ln3)＋…＋(ln(n＋1)－lnn)]＝ln(n＋1)＝f(n)．∴原不等式成立．点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，研究函数的最值，利用导数证明不等式．在证明函数不等式时，一般要把不等式进行转化，把不等式的证明转化为求函数的最值．另外在函数问题出现与数列求和有关的不等式证明，一般是利用前面小题中的函数结论，在函数的特殊结论中令变量取特殊值后，再结合数列求和的方法进行证明．象本题先赋值后相加．20、（1）；．（2）或．【解题分析】

（1）由曲线的参数方程为，消去参数可得,曲线的极坐标方程为,,可得，整理可得答案.(2)由曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且，均异于极点，且，可得，，，，可得的值.【题目详解】解：（1），（2），联立极坐标方程，得，，，，，或.【题目点拨】本题主要考查简单曲线的极坐标方程及参数方程化为普通方程，注意运算的准确性.21、（1），；（2）．【解题分析】分析：（1）由题意，当时，，当时，化简得，得数列是首项为1，公比为2等比数列，即可求解，进而得到；（2）由（1）可得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和．详解：（1）当时，当时，相减得∴数列是