云南省元江县一中2024届高二数学第二学期期末检测模拟试题含解析

云南省元江县一中2024届高二数学第二学期期末检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于A．0.2B．0.8C．0.196D．0.8042．在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（）A．30 B．36 C．60 D．723．已知三棱锥的体积为，，，，，且平面平面PBC，那么三棱锥外接球的体积为（）A． B． C． D．4．平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比思维，我们可以得到（）A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行5．已知集合,则中所含元素的个数为（）A． B． C． D．6．下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的函数是（）A． B． C． D．7．已知，则展开式中，项的系数为（）A． B． C． D．8．由曲线和直线，，（）所围成图形（阴影部分）的面积的最小值为()．A． B． C． D．9．数学归纳法证明1n+1+1A．12k+2 B．12k+1 C．110．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()A． B． C． D．11．若等比数列的各项均为正数，，，则（）A． B． C．12 D．2412．已知函数的最小正周期为，且其图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为，则该圆柱的侧面积为______．14．已知函数.为的导函数，若，则实数的值为__________.15．已知函数（），若对任意，总存在满足，则正数a的最小值是_______.16．已知的外接圆半径为1，，点在线段上，且，则面积的最大值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图（1）.在中，，，，、分别是、上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图（2）.（1）求证：平面；（2）当点在何处时，三棱锥体积最大，并求出最大值；（3）当三棱锥体积最大时，求与平面所成角的大小.18．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）已知，求证．19．（12分）学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)（1）求在1次游戏中,①摸出3个白球的概率;②获奖的概率;（2）求在2次游戏中获奖次数的分布列.20．（12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有人独立来该租车点则车骑游.各租一车一次.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时.（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望21．（12分）已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为．（1）求直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，求的面积．22．（10分）已知函数.（1）若是的一个极值点，判断的单调性；（2）若有两个极值点，，且，证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】试题分析：由题意可知发病的牛的头数为ξ~B(10,0.02)，所以D(ξ)=10×0.02×(1-0.02)=0.196；故选C．考点：二项分布的期望与方差．2、C【解题分析】

记事件位男生连着出场，事件女生甲排在第一个，利用容斥原理可知所求出场顺序的排法种数为，再利用排列组合可求出答案。【题目详解】记事件位男生连着出场，即将位男生捆绑，与其他位女生形成个元素，所以，事件的排法种数为，记事件女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件的排法种数为，事件女生甲排在第一位，且位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将位男生与其他个女生形成三个元素，所以，事件的排法种数为种，因此，出场顺序的排法种数种，故选：C。【题目点拨】本题考查排列组合综合问题，题中两个事件出现了重叠，可以利用容斥原理来等价处理，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题。3、D【解题分析】试题分析：取中点，连接，由知，则，又平面平面，所以平面，设，则，又，则，，，，显然是其外接球球心，因此．故选D．考点：棱锥与外接球，体积．4、D【解题分析】

由平面中的线类比空间中的面即可得解。【题目详解】平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比方法得：空间中平行于同一平面的两平面平行.故选：D【题目点拨】本题主要考查了类比推理，考查平面中的线类比空间中的面知识，属于基础题。5、D【解题分析】列举法得出集合，共含个元素．故答案选6、D【解题分析】

由奇函数和偶函数图象的对称性，根据的图象和的定义域便可判断出错误，而由的单调性便可判断选项错误，从而得出正确．【题目详解】选项：根据的图象知该函数非奇非偶，可知错误；选项：的定义域为，知该函数非奇非偶，可知错误；选项：时，为增函数，不符合题意，可知错误；选项：，可知函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在上单调递减，可知正确.本题正确选项：【题目点拨】本题考查奇函数和偶函数图象的对称性，函数单调性的问题，属于基础题．7、B【解题分析】

==﹣1，则二项式的展开式的通项公式为Tr+1=﹣•，令9﹣2r=3，求得r=3，∴展开式中x3项的系数为﹣•=﹣，故选B【题目点拨】本题考查集合的混合运算.8、C【解题分析】

利用定积分求出阴影部分区域面积关于的函数，再利用导数求出该函数的最小值，可得出结果．【题目详解】设阴影部分区域的面积为，则，，其中，令，得，当时，；当时，.所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，且最小值为，因此，阴影部分区域面积的最小值为，故选C．【题目点拨】本题考查利用定积分计算曲边多边形的面积，考查利用导数求函数的最值，在利用定积分思想求曲边多边形的面积时，要确定被积函数和被积区间，结合定积分公式进行计算，考查计算能力，属于中等题．9、D【解题分析】

求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【题目详解】当n=k时，左边的代数式为1k+1当n=k+1时，左边的代数式为1k+2故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：12k+1【题目点拨】本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1项的变化，属于中档题.10、C【解题分析】试题分析：第一步从后排8人中选2人有种方法，第二步6人前排排列，先排列选出的2人有种方法，再排列其余4人只有1种方法，因此所有的方法总数的种数是考点：排列组合点评：此类题目的求解一般遵循先选择后排列，结合分步计数原理的方法11、D【解题分析】

由，利用等比中项的性质，求出，利用等比数列的通项公式即可求出．【题目详解】解：数列是等比数列，各项均为正数，，所以，所以．所以，故选D．【题目点拨】本题考查了等比数列的通项公式，等比中项的性质，正确运算是解题的关键，属于基础题．12、C【解题分析】

利用函数的周期求出的值，利用逆向变换将函数的图象向左平行个单位长度，得出函数的图象，根据平移规律得出的值.【题目详解】由于函数的周期为，，则，利用逆向变换，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，所以，因此，，故选：C.【题目点拨】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了三角函数图象的平移变换，本题利用逆向变换求函数解析式，可简化计算，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为，设正方体的边长为，则，解得该圆柱的侧面积为，故答案为.14、【解题分析】

通过对原函数求导，代入1即得答案.【题目详解】根据题意，，所以，故.【题目点拨】本题主要考查导函数的运算法则，难度不大.15、【解题分析】

对任意，总存在满足，只需函数的值域为函数的值域的子集.【题目详解】函数（）是对勾函数，对任意，在时，即取得最小值，值域为当时，若，即时在上是单减函数，在上是单增函数，此时值域为由题得，函数的值域为函数的值域的子集.显然成立当时，若，即时是单增函数，此时值域为由题得，函数的值域为函数的值域的子集.，解得综上正数a的最小值是故答案为：【题目点拨】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.16、【解题分析】

由所以可知为直径，设，求导得到面积的最大值.【题目详解】由所以可知为直径，所以，设，则，在中，有，，所以的面积，.方法一：（导数法），所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，的面积的最大值为.方法二：（均值不等式），因为.当且仅当，即时等号成立，即.【题目点拨】本题考查了面积的最大值问题，引入参数是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）点位于中点时，三棱锥体积最大，最大值为（3）【解题分析】

(1)根据线面垂直的判定定理证明；(2)将三棱锥的体积表示成某个变量的函数，再求其最大值；(3)先找出线面角的平面角，再解三角形求角.【题目详解】（1）证明：∵，，∴，因此，所以，又∵，∴平面；（2）解：设，则，由（1），又因为，，∴平面；所以，因此当，即点位于中点时，三棱锥体积最大，最大值为；（3）解：如图，联结，由于，且，∴，即，因此即为与平面所成角，∵，∴，所以，即与平面所成角的大小为.【题目点拨】本题考查线面垂直的证明和体积的最值以及求线面角，属于中档题.18、(1).(2)证明见解析.【解题分析】分析：（Ⅰ）先求导，再利用导数求函数的单调区间，再求函数的最大值.（Ⅱ）利用分析法证明，先转化成证明再构造函数，再求证函数.详解：（I）因为，所以当时；当时，则在单调递增，在单调递减.所以的最大值为.（II）由得，，则，又因为，有，构造函数则，当时，，可得在单调递增，有，所以有．点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是先转化成证明其二构造函数，再求证函数.19、（I）（i）；（ii）（II）X的分布列见解析，数学期望【解题分析】解：(1)①设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0,1,2,3)，则P(A3)＝·＝.②设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3，又P(A2)＝＋·＝，且A2，A3互斥，所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝2＝，P(X＝1)＝C21·＝，P(X＝2)＝2＝，所以X的分布列是X

0

1

2

P

X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.20、（Ⅰ）（Ⅱ）ξ

0

2

4

6

8

P

数学期望Eξ=×2+×4+×6+×8=【解题分析】（1）由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为．记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件，则．所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为．（2）的可能取值为0，2，4，6，8，，，，分布列如下表：

0

2

4

6

8

考点：离散型随机变量的分布列及概率．21、（1）（2）【解题分析】

（1）先消去参数，化为直角坐标方程，再利用求解.（2）直线与曲线方程联立，得，求得