通信原理作业

第一章

习题1.2某信息源由A,B,C,D四个符号组成，设每个符号独立出现，

其出现的概率分别为1/4,1/4,3/16,5/16»试求该信息源中每个符号的信息量。

解：

"=10§27^4)="1°g2"A)=一叫2；=2b

33

-=-豌2记=2.4152=-log,—=2.41b

216

ZD=-log2A=1.67»

习题L3某信息源由A,B,C,D四个符号组成，这些符号分别用二进制

码组00,01,10,11表示。若每个二进制码元用宽度为5ms的脉冲传输，试分

别求出在下列条件下的平均信息速率。

（1）这四个符号等概率出现；（2）这四个符号出现概率如

习题1.2所示。

解：（1）一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持

续时间为2x5ms。传送字母的符号速率为

等概时的平均信息速率为

4=RBlog2M=RBlog24=200b/s

(2)平均信息量为

H—■^-log24+^-log24+^log2^+^log2^=1.977比特/符号

则平均信息速率为4=&〃=100x1.977=197.7b/s

习题1.5设一个信息源由64个不同的符号组成，其中16个符号的出现概

率均为1/32,其余48个符号出现的概率为1/96,若此信息源每秒发出1000个独

立的符号，试求该信息源的平均信息速率。

解：该信息源的端为

M64ii

//(X)=-^P(x,.)logP(x,.)=-^P(%,)logP(x,)-16*—log32+48*—log96

i=i2/=!2329262

=5.79比特/符号

因此，该信息源的平均信息速率R„=mH=1000*5.79=5790b/s。

习题1.6设一个信息源输出四进制等概率信号，其码元宽度为125us。试

求码元速率和信息速率。

解：RB=8000Bd

万-125*10”

等概时，VRBlog2M=8000*log24=16kb/s

第二章

习题2.1设随机过程X(r)可以表示成：

X⑺=2COS(2R+8),—oo<r<oo

式中，。是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P(e=0)=0.5,尸(。=%/2)=0.5

试求说X(川和Rx(0,l)。

jr

解：E[X(t)]=P(0=0)2COS(2R)+P(d=TI/2)2cos(2R+-)=005(2^/)-sin2兀t

cosd

习题2.4X(t)=Xjcos2/rt-sin,它是一个随机过程，其中玉和&是相

互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0,方差均为。2。试求：

(1)E[X(3,E[X2(r)];(2)X(0的概率分布密度;(3)&(〃幻

解：(1)E[X(/)]=E[X]cos2加-x2sin2加]=cos2加.七国一sin2加-E(x2)]=0

口(/)因为玉和%相互独立，所以E[X]X2]=司xj•小2]。

2

又因为E[X[]=E[X2]=09a=且工；]—6卜],所以E\xf]=E„=，。

故E[X20]=(Co+si82加匕2=<r2

(2)因为不和々服从高斯分布，X(f堤和%的线性组合，所以X⑺也服从高

2

斯分布，其概率分布函数p(x)=/=—exZ

J2R2^

(3)

E[x(?,)X(r2)]=©(X[cos2加I一々sin2加。(玉cos2^Z2—x2sin2/a2)]

=cr2[co&叫co2痴2+si自加1si

-a2co既色—4)

习题2.7设X/)和X2(r)是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数

分别为火x,⑺和鼠㈤。试求其乘积X(f)=X«)X2⑺的自相关函数。

解：RX("+T)=E[X⑺XQ+t)]=讥X«)X2Q)X«+7)X2(r+7)]

=E[X«)X«+切£因⑺X2Q+T)卜

习题2.10已知噪声〃。)的自相关函数R,G)=ge*%k为常数。

(1)试求其功率谱密度函数月⑺和功率P；(2)画出R“(T)和匕⑺的曲线。

解：⑴p,u)=J二&«12=J*]…公=公+3万7y

P=R“(O)=〃2

(2)R“3和，(/)的曲线如图2-2所示。

图2-2

习题2.13设输入信号x(/)=(e'""2°，将它加到由电阻R和电容C组成

(),/<0

的高通滤波器(见图2-3)上，RC=t。试求其输出信号y(t)的能量谱密度。

解：高通滤波器的系统函数为

H(f)=XQ)=2cos(2zrr+&),—00<<00

输入信号的傅里叶变换为

X(f)=--------=——-——

-+j27LfT"j2兀"

T

输出信号y(。的能量谱密度为

习题2.16设有一个LC低通滤波器如图2-4所示。若输入信号是一个均值

为0、双边功率谱密度为国的高斯白噪声时，试求

2

(1)输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。〜〜

解：(1)LC低通滤波器的系统函数为〜一二二

j2兀fC

小人/产

1—4LC图2-4LC低通滤波器

j27rfC

输出过程的功率谱密度为4(。)=伙⑼旧⑷「=

2\-(O2LC

对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为R(r)=C&exp(-S忖)

4LL

(2)输出亦是高斯过程，因此

/=%(0+R°M0RoH)饕

第三章

习题3.1设一个载波的表达式为C⑺=5cosl()()()m,基带调制信号的表达

式为：〃#=1+COS200R。试求出振幅调制时已调信号的频谱，并画出此频谱图。

解：$(，)=双)«)=(1+cos20te)5cos(l00(万)

=5cok0也0+5co206cokO

=5cofc0(h0+-1(Cok2(h0+c080j0r)

由傅里叶变换得

s⑺争(/+500+5(f-500)]+轲/+600)+也-600)]+

能(7+400)+&/一400)]

己调信号的频谱如图3-1所示。

'、S⑴

5/2八

-600-500-4000400500600

图3-1习题3.1图

习题3.3设一个频率调制信号的载频等于10kHZ,基带调制信号是频率为

2kHz的单一正弦波，调制频移等于5kHZ。试求其调制指数和己调信号带宽。

解：由题意，已知，=2kHZ,2V=5kHZ,则调制指数为

N5>「

mf=—=—=2.5

'fm2

已调信号带宽为3=2(0+/)=2(22>14

习题3.4试证明：若用一基带余弦波去调幅，则调幅信号的两个边带的功

率之和最大等于载波频率的一半。

证明：设基带调制信号为加⑺，载波为c(f)=Acoso“，则经调幅后，有

sAM")=[+机⑴]Acos叩

己调信号的频率P,\M=s册⑺=口+〃A2cos2卬

2222222

Acoscont+w(r)Acosa>ot+2m(t)Acos0>0Z

8=2(1+吗)力

因为调制信号为余弦波,以故

Af=1000kHZ=100

'2/\m']

m(r)=0,

22

22

则：载波频率为P（=Acosco（）t=—

边带频率为P、=,n氏s石=9一△:=4

p1

因此土o即调幅信号的两个边带的功率之和最大等于载波频率的一半。

P2

习题3.8设角度调制信号的表达式为sQ）=10cos（2乃*1（V7+I0cos2乃可所）。

试求：

（1）已调信号的最大频移；（2）已调信号的最大相移；（3）已调信号

的带宽。

解：（1）该角波的瞬时角频率为

火。=2*1。6〃+2000%sin2000R

故最大频偏△/'=10*剪竺=10kHZ

2万

（2）调频指数叫=竺=10*雪.=10

'fmU

故已调信号的最大相移AOTOrad。

（3）因为FM波与PM波的带宽形式相同，即练^=2（1+”/力，所以已调

信号的带宽为

8=2（10+1）*103=22kHZ

第四章

习题4.2若语音信号的带宽在300〜400Hz之间，试按照奈奎斯特准则计

算理论上信号不失真的最小抽样频率。

解：由题意，为=3400Hz,力=300Hz,故语音信号的带宽为

B=3400-300=3100Hz

3

%=3400Hz=1x3100+—x3100=〃B+姐

31

BPn=l,k=3/31o

根据带通信号的抽样定理，理论上信号不失真的最小抽样频率为

f,=2B(l+&)3

=2x3100x(1+—)=6800Hz

n31

习题4.3若信号s(r)=sin(314f)/314r。试问：

(1)最小抽样频率为多少才能保证其无失真地恢复？

(2)在用最小抽样频率对其抽样时，为保存3min的抽样，需

要保存多少个抽样值？

解：sC)=sin(314f)/314f,其对应的傅里叶变换为

万/314网4314

S3)=«

0,其他

信号sQ)和对应的频谱S3)如图4-1所示。所以

fH==31邛2〃=50Hz

根据低通信号的抽样定理，最小频率为£=2/H=2X50=100HZ,即每秒采

100个抽样点，所以3min共有:100x3x60=18000个抽样值。

习题4.4设被抽样的语音信号的带宽限制在300~3400Hz,抽样频率等于

8000Hzo试画出已抽样语音信号的频谱，并在图上注明各频率点的坐标值。

解：已抽样语音信慕伊频谱如图4-2所示。

(a)(b)

图4-1习题4.3图

S(f)

-19.4-16.3-15.7-U'6-11.4-83'-7.7-4.6-3.4-0.300.33.4'4.67.7'8311.4112.615.7,16.319.4/(kHz)

图4-2习题4.4图

习题4.7在A律PCM语音通信系统中，试写出当归一化输入信号抽样值等

于0.3时，输出的二进制码组。

解：信号抽样值等于03,所以极性码,尸1。

查表可得0.3e(1/3.93,1/1.98),所以0.3的段号为7,段落码为110,故

C2c3c4=11°。

第7段内的动态范围为：山”小，该段内量化码为，，则

ox—+----=0.3,可求得”仪3.2,所以量化值取3。故cccc=0011

643.9356780

所以输出的二进制码组为11100011。

第五章

习题5.1若消息码序列

为xxoi,试求出AMI和+1—10+100—100000+1

HDB,码的相应序列。+1-10+100-1000-10+1

解：AMI码为

HDB,码为

习题5.3设©(。和g2«)是随机二进制序列的码元波形。它们的出现概率分别是「和

(1-P)«试证明：若「==k,式中，k为常数，且0<£<1,则此序

[l—g()/g2S]

列中将无离散谱。

证明：若尸=k,与t无关，且0＜上＜1,则有

p[g2（r）-gi«）]_i

L-1

g2。）

即Pg]⑺=Pg?⑺-g2⑺=（尸一Dg2⑺

Pg—）+（l-P）g2（f）=0

所以稳态波为伏。=p£g]。一〃工）+（1—P）Zg2。一）

=£[/«—〃/）+（1—尸尔2«—〃刀）]=0

即R（vv）=O。所以无离散谱。得证！

习题5.6设一个二进制双极性基带信号序列的码元波形g（f）为矩形脉冲，如图5-4所

3

示，其高度等于1,持续时间工=73,7为码元宽度；且正极性脉冲出现的概率为一，负

4

极性脉冲出现的概率为

4

（1）试写出该信号序列功率谱密度的表达式，并画出其曲线;

(2)试计算其功率。

图5-4习题5.6图

解：（1）基带脉冲波形g（f）可表示为:

1|t|<r/2

且⑺工0

其他

T

gQ）的傅里叶变化为：G（f）=TSa（7rrf）=-S

该二进制信号序列的功率谱密度为:

PCD="PQ-P)|G(/)-G2(/)『+£卜上@/+(1-PM第卜上一:

m兀

曲线如图5-5所示。

图5-5习题5.6图

(2)二进制数字基带信号的离散谱分量为

因此，该序列中存在了=1”的离散分量。其功率为:

_1Tsin^/3Y1(sinzr/3Y_3

v-36<7T/3)+鼠u/3J―彳

习题5.8设一个基带传输系统的传输函数H(f)如图5-7所示。

(1)试求该系统接收滤波器输出码元波形的表达式：

(2)若其中基带信号的码元传输速率RB=2%，试用奈奎斯特准则

衡量该系统能否保证无码间串扰传输。

图5-7习题5.8图

1-//ff</0

解：⑴由图5-25可得”(/)="0L°。

0其他

ii-W/r,|t|<r,

因为g(f)="1小，所以G(f)=ZSa2(/T)。

0其他

根据对称性：G(—/)-g(j)G(/)fg⑺Jf九所以

的)=,22(如)。

(2)当RBUZ/O时，需要以/=/?B=2/>为间隔对"(7)进行分段叠加，即分析在

区间［—%,%］叠加函数的特性。由于在［一/。/)］区间，”(/)不是一个常数，所以有码间

干扰。

习题5.9设一个二进制基带传输系统的传输函数为

1+c

〃/,、［^o(os2^r0),|/|<l/2r0

(J)=V口

0，其他

试确定该系统最高的码元传输速率RB及相应的码元持续时间7。

解：”(/)的波形如图5-8所示。由图可知，〃(7)为升余弦传输特性，根据奈奎斯特

第一准则，可等效为理想低通(矩形)特性(如图虚线所示)。等效矩形带宽为

111

W.=—x-----=------

22工04r0

最高码元传输速率RB=2叱=」一

相应的码元间隔4=1/RB=2/0

图5-8习题5.9图

第六章

习题6.1设有两个余弦波:3cos碗和cos@r+30P），试画出它们的矢量图

及它们之和的矢量图。

解：如图6-1所示。

3co^cot

n

cos@r+300)3cosar+cos@r+30°)

图6-1习题6.1图

解：各点波形如图6-3所示。

d」

图6-3习题6.2图

习题6.3试画出图6-4中各点的波形。

图6-4习题6.3图

解：各点波形如图6-5所示。

图6-5

习题6.5设有一个2PSK信号，其码元传输速率为lOOOBd,载波波形为

6

Acos(4^-x10r)o

(1)试问每个码元中包含多少个载波周期？

(2)若发送"0"和"1"的概率分别是0.6和0.4,试求

此信号的功率谱密度的表达式。

解：(1)由载波波形为Aco”万X106。可得，载波频率为2X106HZ,因此每

个码元中包含2000个载波周期。

(2)2PSK信号的功率谱密度为

EDPSK(/)=:忸、(/一/;)+〃(/+/)]

式中，£=2X1()6HZ,为载波频率，£=1000；R为基带信号双极性矩形

脉冲的功率谱密度:

Mf)=4fsp(l-P)G(/r+Z(2P-1)G(时sr6(/-此)

sin%fT

G⑺=Tss

兀于T,

则

^DPSK(/)=，P(1-4G(/-/J2+|G(/+£.『]+

\fs(2P-1)2|G⑼2同/一0)+*/+/J]

.7T(f-2X106)sin^xWj2

L

n/insin△--------

24010001000>+

/I/-2xl06y+2xio6

10-2[^(/-2X106)+^(/+2X106)]

习题6.6设有一个4DPSK信号，其信息速率为2400b/s,载波频率为1800

Hz,试问每个码元中包含多少个载波周期？

解：4DPSK信号的码元速率为

RR=T^/log,4=240Q2=1200Bd

所以每个码元中包含侬=1.5个载波周期。

1200

习题6.7设有一个2DPSK传输系统对信号采用A方式编码，其码元速率为

2400Bd,载波频率为1800Hz。若输入码元序列为011010,试画出此2DPSK信

号序列的波形图。

解：如图6-7所示。

图6-7习题6.7图

习题6.8设一个2FSK传输系统的两个载频分别等于10MHz和10.4MHz,

码元传输速率为2x106Bd,接收端解调器输入信号的峰值振幅A=40〃V,加性

高斯白噪声的单边功率谱密度〃o=6*IO』W/Hzo试求：

（1）采用非相干解调（包络检波）时的误码率;

（2）采用相干解调时的误码率。

解：（1）2FSK信号采用非相干解调时的误码率

信号带宽为3=|工—_/o|+2&=0.4xl（y,+2x2xl06=4.4xl（）6Hz

_£_（40x10-6）2_1600x10*

「一2仇一2%B~2x6xl0-1!ix4.4xl06-,

因此，=1.31x10-7。

2

（2）2FSK信号采用相干解调时的误码率为

上=上公词「〉〉1=0.19x10-7

r

习题6.9设在一个2DPSK传输系统中，输入信号码元序列为XX00,试写出

其变成相对码后的码元序列，以及采用A方式编码时发送载波的相对相位和绝对

相位序列。

解：原码：0111001101000

相对码：0101110110000

绝对相位：0nnn00nn0n000

相对相位：0n0nnn0nn0000

习题6.12试证明在等概率出现条件下16QAM信号的最大功率和平均功率

之比为1.8；即2.55dB。

解：等概率条件下，QAM信号的最大功率与平均功率之比为

*1)2

2*21)2

/=!

对于16QAM来说，L=4,因止匕460AM=1.8=2.55dB。

第九章

习题9.14设3级线性反馈移位寄存器的特征方程为：/（X）=1+X2+X3。

试验证它为本原多项式。

解：由题意n=3,所以加=2"-1=7。

而V"+1=『+1=(J+，+1卜+%3+%2+0

上式说明f(x)可整除『+1,且f(x)既约，除不尽/+1,/+],/+i,所以f(x)

为本原多项式。

习题9.15设4级线性反馈移存器的特征方程为：f(x)=]+x+x2+X3+X4,试证

明此移位寄存器产生的不是m序列。

证明：方法一。由题意n=4,得加=2"-1=15。因为

(X+1)(尤4+X+X~+X+1)=x，+1

f(x)可整除r+1,故f(x)不是本原多项式，它所产生的序列不是m序列。

方法二。由特征多项式/(x)=l+x+x2+x3+x4构成的4级线性反馈移位寄

存器如图9-1所示。

假设初始状态为：1

状态转换为：0

01

1110

1111

可见输出序列的周期为6H2"-1=15,故不是m序列。

习题9.16设有一个9级线性反馈移存器产生的m序列，试写出其一个周

期内不同长度游程的个数。

解：该m序列中共有2$=256个游程。

根据m序列游程分布的性质，长度为k的游程数目占游程总数的

2-Al<k<(n-l)

而且在长度为k的游程中[其中lWkW(n-2),连"1"和连"0"的游程各占一半。所以:

长度为1的游程有128个，"1"和"0"各为64个;

长度为2的游程有64个，"11"和"00"各为32个;

长度为3的游程有32个，“1讨和"000”各为16个;

长度为4的游程有16个，"1111"和"0000”各为8个;

长度为5的游程有8个,“11111”和“00000”各为4个;

长度为6的游程有4个,“111111"和"000000”各为2个;

长度为7的游程有2个,“1111111”和”0000000”各为1个;

长度为8的游程有1个,即“00000000"；

长度为9的游程有1个,即“111111111"；

S]S253s4错码

位置

0000无错

码

0001

%

第十章

0010

%

0100

习题10.2设一种编码中共有如下8个码组：

表10-1习题10.3表1000

000000,001110,010101,011011,100011,

0011

101101,110110,111000试求出其最小码距，并«4

给出其检错能力、纠错能力和同时纠检错的能力。

0101

%

解：此8个码组的最小码距为：4=3。

0110

%

由得即可以检错位。

do*+1,e=2,2

0111

«7

由4,N2t+l,得t=l,即可以纠错1位。

1001

由得即可以纠错位，同时检

do2e+t+l,e=l,t=l,1

1010

%

错1位。

1011

60

习题10.3设有一个长度为n=15的汉明码，试问

1100

其监督位r应该等于多少？其码率等于多少？其最小41

码距等于多少？试写出其监督位和信息位之间的关

1101a

系。\2

1110

解：由〃=2,,一1,n=15,得厂=4,即监督位4位。a\3

1111

码率为：&=已="二1=11。a\4

nn1515

用$52s3s4表示校正子，正好可以指明15个错码的位置，其关系如表10-1

所示。

可得监督位和信息位之间的关系式为

+。［3+《2+41+a+火

a3=al4\o+

=64+63++々11+%+%>+。5

V

6Z|=Oy+。］3+。10+。9+々7+。6+。4

a0=al4+ai2+a［0+/+%+%+%

最小码距为：4=3。

习题10.6已知一循环码的监督矩阵如下:

1101100

H=1110010

0111001

试求出其生成矩阵，并写出所有可能的码组。

解：由该线性分组码的监督矩阵可知，该码长度。=7,信息位k=4,监督位「=3.

0r-1000101

1110

.1110100111

P=0111,Q=P7=,则生成矩阵G=

iioi;100010110

L」0110001011

整个码组：A=[g«5%%]G,于是可得所有可能的码组为

0000000,0001011,0010110,0011101,0100111,0101100,0110001,0111010,

1000101,1001110,1010011,1011000,1100010,1101001,1110100,1111111

习题10.9已知一个循环(7,4)循环码的全部码组为

0000000,1000101,0001011,1001110,0010110,1010011,0011101,

1011000

0100111,1100010,0101100,1101001,0110001,1110100,0111010,

1111111

试给出此循环码的生成多项式g(z)和生成矩阵G(x),并将G(z)化成典型矩

阵

解：由全部码组得：唯一的一个n-k=3次码多项式所代表的码组为0001011,

则生成多项式g(x)=%3+%+1,从而生成矩阵为

dg(x)-100100

x2g(x)010100

G(x)=,或G=

xg(x)001010

_g3000111

化成典型矩阵为:

1001101

0101111

0010110

0001011

习题10.11已知一个(15,11)汉明码的生成多项式为

g。)=X4+X3+1

试求出其生成矩阵和监督矩阵。

解：由g(x)=/+x3+i得

x'°g(x)

-110010000000000

9

xg(x)011001000000000

s

xg(x)001100100000000

x'g(x)000110010000000

x6g(x)000011001000000

G(x)=X5g(x)，或或000001100100000

X4g(x)000000110010000

x3g(x)000000011001000

fg(x)000000001100100

Xg(x)000000000110010

000000000011001

g(x)

,1

因为监督多项式为h(x)=--------=X11+X10+X9+X8+X6+X4+X34-1

g(x)

所以/l*(x)=X114-Xs+X7+x5+x3+x2+X+1

x3/z*(x)■100110101111000-

x2/z*(x)010011010111100

则H(x)=,或“=

xli[x}001001101011110

/z*(x)000100110101111

习题10.15设一个(15,7)循环码的生成多项式为：g(x)=xs+x7+x6+x4+lo

若接收码组为：T(x)=x'4+x5+x+lo试问其中有无错码。

73

T(x)653X+X+X4-1

解：因为=X。++X5+———-——-——--

g(x)-------------X+X+X+X+1

即码组多项式7(x)不能被生成多项式g(x)整除，所以其中必有错码。

习题10.17已知一个(2,1,2)卷积码编码器输出和输入的关系为

C]=〃]㊉〃，C，2=d㊉4

试画出该编码器的方框图、码树图和网络图。

解：由输入和输出关系可得移存器状态和输入/输出码元的关系如表10；2

所示。

所以该卷积码的状态图（图中实线表示输入信息位为"0"，虚线表示输入信

息位为"1"）、方框图、码树图，以及网格图分别如下：

00

00r----Oa

00

10r-

■Qa

11^-Oa

10

0

bio

01-OC

,doo

信息位

―01皿

11Qb

11r----oc

状态帅2

a00

b01<)b

c1010r—"°a

11

01

oo

习题10.18已知一个（3,1,4）卷积码编码器的输出和输入关系为

q=4，㊉a㊉&㊉a，q=4㊉仇㊉4

试画出该编码器的方框图和和状态图。当输入信息序列为10110时，试求出

其输出序列。

解：由输入和输出关系可得移存器状态和输入/输出码元的关系如表10-3所

示。所以该卷积码的方框图如下。

表10-3习题10.18表

前一状态下一状态

当前输入。］输出qc2c3

b4b3b2b4b3b2

0000a(000)

a(000)

1111b(001)

0010c(010)

b(001)

1101d(Oil)

e(100)

0Oil

c(010)

1100/(101)

0001g（no）

d(Oil)

1110h(lll)

e(100)0Oila(000)

1100b(001)

0001c(010)

/(101)

1110d(Oil)

0000e(100)

g(110)

1111/(101)

0010g(110)

/z(lll)

1101

习题10.19已知发送序列是一个（2,