【创新设计】高考数学一轮总复习第八篇第6讲空间中向量的概念和运算课件理湘教版

汇报人：AA2024-01-24【创新设计】高考数学一轮总复习第八篇第6讲空间中向量的概念和运算课件理湘教版目录CONTENTS空间向量基本概念空间向量运算规则空间向量坐标表示法空间向量数量积与夹角公式空间向量在几何中应用高考真题解析与备考建议01空间向量基本概念向量是既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。向量定义向量具有大小和方向两个要素，且满足平行四边形法则和三角形法则。向量性质向量定义及性质用带箭头的线段表示向量，线段的长度表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。在平面直角坐标系或空间直角坐标系中，可以用有序数对或有序数组表示向量。向量表示方法坐标表示法符号表示法长度为0的向量称为零向量，记作0。零向量的方向是任意的。零向量长度为1的向量称为单位向量。单位向量可以表示任何方向。单位向量零向量与单位向量相等向量大小相等且方向相同的向量称为相等向量。共线向量方向相同或相反的非零向量称为共线向量。共线向量所在的直线平行或重合。相等向量与共线向量02空间向量运算规则

加法运算规则平行四边形法则两个向量相加，可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线。三角形法则两个向量首尾相接，其和向量是由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量。坐标运算若两个向量的坐标分别为$(x_1,y_1,z_1)$和$(x_2,y_2,z_2)$，则它们的和向量的坐标为$(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$。实数与向量的积实数$lambda$与向量$vec{a}$的积是一个向量，记作$lambdavec{a}$。当$lambda>0$时，$lambdavec{a}$与$vec{a}$方向相同；当$lambda<0$时，$lambdavec{a}$与$vec{a}$方向相反；当$lambda=0$时，$lambdavec{a}=vec{0}$。坐标运算若向量$vec{a}$的坐标为$(x,y,z)$，则$lambdavec{a}$的坐标为$(lambdax,lambday,lambdaz)$。数乘运算规则向量减法向量$vec{b}$减去向量$vec{a}$，可以表示为向量$vec{a}$加上向量$-vec{b}$（即$vec{b}$的相反向量）。坐标运算若两个向量的坐标分别为$(x_1,y_1,z_1)$和$(x_2,y_2,z_2)$，则它们的差向量的坐标为$(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$。减法运算规则定义两个向量$vec{a}$和$vec{b}$的向量积（外积）是一个向量，记作$vec{a}timesvec{b}$。它的模等于$vec{a}$和$vec{b}$的模的乘积与它们之间夹角的正弦值的乘积，即$|vec{a}timesvec{b}|=|vec{a}|cdot|vec{b}|cdotsintheta$，其中$theta$是$vec{a}$和$vec{b}$之间的夹角。方向向量积的方向垂直于由$vec{a}$和$vec{b}$所确定的平面，并且遵循右手定则。坐标运算若两个向量的坐标分别为$(x_1,y_1,z_1)$和$(x_2,y_2,z_2)$，则它们的向量积的坐标为$(y_1z_2-y_2z_1,z_1x_2-z_2x_1,x_1y_2-x_2y_1)$。向量积运算规则03空间向量坐标表示法确定坐标原点建立坐标轴确定坐标平面空间点坐标空间直角坐标系建立在空间中任意选择一点O作为坐标原点。过点O作三条互相垂直的数轴，分别称为x轴、y轴和z轴。x轴和y轴确定的平面称为xOy平面，x轴和z轴确定的平面称为xOz平面，y轴和z轴确定的平面称为yOz平面。对于空间任意一点P，过点P作三条坐标轴的垂线，与三个坐标平面分别交于点A、B、C，则点P的坐标记为(x,y,z)，其中x、y、z分别为点A、B、C到坐标原点的距离。向量坐标表示方法向量起点与终点坐标设向量a的起点为A(x1,y1,z1)，终点为B(x2,y2,z2)，则向量a可表示为a=OB-OA=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。向量模长与方向向量a的模长|a|等于终点B到起点A的距离，即|a|=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。向量的方向由起点指向终点。向量坐标运算法则向量加法：设向量a=(x1,y1,z1)，向量b=(x2,y2,z2)，则向量a与向量b的和为a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)。向量减法：设向量a=(x1,y1,z1)，向量b=(x2,y2,z2)，则向量a与向量b的差为a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)。向量数乘：设向量a=(x,y,z)，实数λ，则向量a与实数λ的数乘为λa=(λx,λy,λz)。当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反；当λ=0时，λa为零向量。向量的点积：设向量a=(x1,y1,z1)，向量b=(x2,y2,z2)，则向量a与向量b的点积为a·b=x1x2+y1y2+z1*z2。点积的结果是一个标量，其值等于两向量的模长与它们之间夹角的余弦的乘积。当两向量垂直时，点积为零；当两向量同向时，点积为正；当两向量反向时，点积为负。04空间向量数量积与夹角公式定义数乘结合律与零向量的数量积与自身的数量积分配律交换律对于空间中的两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，它们的数量积（也称为点积）定义为$vec{a}cdotvec{b}=|vec{a}||vec{b}|costheta$，其中$theta$是$vec{a}$和$vec{b}$之间的夹角。$vec{a}cdotvec{b}=vec{b}cdotvec{a}$$(vec{a}+vec{b})cdotvec{c}=vec{a}cdotvec{c}+vec{b}cdotvec{c}$$(kvec{a})cdotvec{b}=k(vec{a}cdotvec{b})=vec{a}cdot(kvec{b})$$vec{0}cdotvec{a}=0$$vec{a}cdotvec{a}=|vec{a}|^2$数量积定义及性质输入标题02010403夹角公式推导过程夹角公式：$costheta=frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}||vec{b}|}$2.当$vec{a}$和$vec{b}$均不为零向量时，可以除以$|vec{a}||vec{b}|$，得到$costheta=frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}||vec{b}|}$。1.根据数量积的定义，有$vec{a}cdotvec{b}=|vec{a}||vec{b}|costheta$。推导过程例1已知向量$vec{a}=(1,2,3)$，$vec{b}=(4,5,6)$，求$vec{a}$和$vec{b}$的夹角。解首先计算数量积$vec{a}cdotvec{b}=1times4+2times5+3times6=32$。夹角公式应用举例最后代入夹角公式$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{32}{\sqrt{14}\times\sqrt{77}}=\frac{32}{\sqrt{1078}}$，求得$\theta=\arccos\left(\frac{32}{\sqrt{1078}}\right)$。夹角公式应用举例判断向量$vec{a}$和$vec{b}$是否垂直。例2若$vec{a}$和$vec{b}$垂直，则它们的数量积应为0，即$vec{a}cdotvec{b}=0$。因此，通过计算数量积可以判断两向量是否垂直。解夹角公式应用举例05空间向量在几何中应用VS通过向量的外积可以定义平行六面体的体积，即向量a、b、c构成平行六面体的三条棱，则该平行六面体的体积V等于向量a、b、c的混合积的绝对值，即V=|a·(b×c)|。体积公式的推导利用向量外积的性质和几何意义，结合平行六面体的几何特征，可以推导出平行六面体的体积公式。具体推导过程涉及到向量的线性运算、数量积、外积等知识点。向量外积的定义平行六面体体积公式推导两点间距离公式01在空间中，给定两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则两点间的距离d可以通过公式d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²]来计算。点到直线距离公式02在空间中，给定一点P和直线l，则点P到直线l的距离d可以通过公式d=|(P-A)·n|/|n|来计算，其中A为直线l上一点，n为直线l的方向向量。两异面直线距离公式03在空间中，给定两条异面直线l1和l2，则两异面直线间的距离d可以通过公式d=|(n1×n2)·(A1-A2)|/|n1×n2|来计算，其中A1、A2分别为两直线上一点，n1、n2分别为两直线的方向向量。空间距离问题求解方法直线与平面所成角在直线上取一点，作平面的垂线，将直线与平面的夹角转化为直线与垂线所成角来求解。也可以通过向量的夹角公式来求解。异面直线所成角通过平移将两条异面直线转化到同一个平面上，然后利用平面几何知识求解所成角的大小。也可以通过向量的夹角公式来求解。二面角及其平面角在二面角的棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，将二面角转化为两条垂线所成角来求解。也可以通过向量的夹角公式来求解。空间角问题求解方法06高考真题解析与备考建议（2019全国卷Ⅰ）题目：在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=2+tcosα,y=1+tsinα}（t为参数，α为倾斜角），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin^2θ=4cosθ。历年高考真题解析

历年高考真题解析1.写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；2.若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|=√10，求倾斜角α的值。（2020全国卷Ⅱ）题目：在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,0)，B(-2,0)，动点P满足|PA|+|PB|=6。1.求动点P的轨迹C的方程；2.设过点(1,0)的直线l与曲线C交于M，N两点，若|MN|=4，求直线l的方程。历年高考真题解析备考策略与建议熟练掌握空间中向量的基本概念和性质，如向量的模、方向、共线、垂直等；熟练掌握向量的线性运算，如向量的加法