2024届重庆第二外国语学校数学九年级第一学期期末经典模拟试题含解析

2024届重庆第二外国语学校数学九年级第一学期期末经典模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，等边△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC中点，点M在CB的延长线上，△DMN为等边三角形，且EN经过F点.下列结论：①EN=MF②MB=FN③MP·DP=NP·FP④MB·BP=PF·FC，正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，在中，，，为边上的一点，且．若的面积为，则的面积为（）A． B． C． D．3．如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积为()A． B． C． D．4．如图①，在矩形中，，对角线相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则边的长为()．A．3 B．4 C．5 D．65．如图所示几何体的主视图是（）A． B． C． D．6．定义新运算：，例如：，，则y=2⊕x（x≠0）的图象是（）A． B． C． D．7．与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．三边的垂直平分线的交点8．如果，、分别对应、，且，那么下列等式一定成立的是（）A． B．的面积：的面积C．的度数：的度数 D．的周长：的周长9．已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④.其中，正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．410．如图，AB为⊙O的弦，AB＝8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，则⊙O的半径为（）A．8.5 B．7.5 C．9.5 D．811．某学习小组在研究函数y＝x3﹣2x的图象与性质时，列表、描点画出了图象．结合图象，可以“看出”x3﹣2x＝2实数根的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知二次函数，当时随的增大而减小，且关于的分式方程的解是自然数，则符合条件的整数的和是（）A．3 B．4 C．6 D．8二、填空题（每题4分，共24分）13．如图所示，点为平分线上一点，以点为顶点的两边分别与射线，相交于点，，如果在绕点旋转时始终满足，我们就把叫做的关联角.如果，是的关联角，那么的度数为______.14．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（3a，a）是反比例函数（k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为▲．15．方程的解是__________．16．抛物线y＝(x﹣1)(x﹣3)的对称轴是直线x＝_____．17．顺次连接矩形各边中点所得四边形为_____．18．已知，是抛物线上两点，该抛物线的解析式是__________．三、解答题（共78分）19．（8分）已知△ABC，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，EF是BD的中垂线，且分别交BC于点E，交AB于点F，交BD于点K，连接DE，DF．（1）证明：DE//AB；（2）若CD=3，求四边形BEDF的周长．20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．21．（8分）把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上1、2、3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张．（1）试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率；（2）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．22．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆，AD、BC的延长线交于点E，F是BD延长线上一点，DE平分∠CDF．求证：AB=AC．23．（10分）如图，抛物线经过点，与轴相交于，两点，（1）抛物线的函数表达式；（2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标；（3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式.24．（10分）解下列方程：（1）（2）25．（12分）抛物线过点（0，-5）和（2，1）.（1）求b,c的值；（2）当x为何值时，y有最大值？26．已知关于x的不等式组恰有两个整数解,求实数a的取值范围.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】①连接DE、DF，根据等边三角形的性质得到∠MDF=∠NDE，证明△DMF≌△DNE，根据全等三角形的性质证明；②根据①的结论结合点D、E、F分别是AB、AC、BC中点，即可得证；③根据题目中的条件易证得，即可得证；④根据题目中的条件易证得，再则等量代换，即可得证．【详解】连接，

∵和为等边三角形，

∴，，

∵点分别为边的中点，

∴是等边三角形，∴，，

∵∴，

在和中，，

∴，

∴，故①正确；∵点分别为等边三角形三边的中点，

∴四边形为菱形，∴，∵，∴，故②正确；∵点分别为等边三角形三边的中点，∴∥，∴，∵为等边三角形，∴，又∵，∴，∴，∴，故③错误；∵点分别为等边三角形三边的中点，∴∥，，∴，∴，由②得，∴，∴，故④正确；综上：①②④共3个正确.故选：C【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理结合等量代换是解题的关键．2、C【分析】根据相似三角形的判定定理得到，再由相似三角形的性质得到答案.【详解】∵，，∴，∴，即，解得，的面积为，∴的面积为：，故选C．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质.3、C【分析】根据图象可知点M在AB上运动时，此时AM不断增大，而从B向C运动时，AM先变小后变大，从而得出AC=AB，及时AM最短，再根据勾股定理求出时BM的长度，最后即可求出面积．【详解】解：∵当时，AM最短∴AM=3∵由图可知，AC=AB=4∴当时，在中，∴∴故选：C．【点睛】本题考查函数图像的认识及勾股定理，解题关键是将函数图像转化为几何图形中各量．4、B【分析】当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为1，得到与的积为12；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解．【详解】解：当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为1．∴，即．当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，∴．则，代入，得，解得或1，因为，即，所以．故选B．【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．5、C【解析】根据主视图的定义即可得出答案.【详解】从正面看，共有两列，第一列有两个小正方形，第二列有一个小正方形，在下方，只有选项C符合故答案选择C.【点睛】本题考查的是三视图，比较简单，需要熟练掌握三视图的画法.6、D【分析】根据题目中的新定义，可以写出y=2⊕x函数解析式，从而可以得到相应的函数图象，本题得以解决．【详解】解：由新定义得：，根据反比例函数的图像可知，图像为D．故选D．【点睛】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用新定义写出正确的函数解析式，再根据函数的解析式确定答案，本题列出来的是反比例函数，所以掌握反比例函数的图像是关键．7、D【分析】可分别根据线段垂直平分线的性质进行思考，首先满足到A点、B点的距离相等，然后思考满足到C点、B点的距离相等，都分别在各自线段的垂直平分线上，于是答案可得．【详解】解：如图：∵OA＝OB，∴O在线段AB的垂直平分线上，∵OB＝OC，∴O在线段BC的垂直平分线上，∵OA＝OC，∴O在线段AC的垂直平分线上，又三个交点相交于一点，∴与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的三边的垂直平分线的交点．故选：D．【点睛】此题主要考查垂直平分线的性质，解题的关键是熟知线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等．8、D【解析】相似三角形对应边的比等于相似比，面积之比等于相似比的平方,对应角相等.【详解】根据相似三角形性质可得：A：BC和DE不是对应边，故错；B：面积比应该是，故错；C:对应角相等，故错；D：周长比等于相似比，故正确.故选：D【点睛】考核知识点：相似三角形性质.理解基本性质是关键.9、D【解析】由题意根据函数图象和二次函数的性质可以判断题目中的各个小题的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：函数图象与x轴有两个交点，故b2-4ac＞0，所以①正确，由图象可得，a＞0，b＜0，c＜0，故abc＞0，所以②正确，当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故③正确，∵该函数的对称轴为x=1，当x=-1时，y＜0，∴当x=3时的函数值与x=-1时的函数值相等，∴当x=3时，y=9a+3b+c＜0，故④正确，故答案为：①②③④．故选D.【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10、A【解析】根据垂径定理得到直角三角形，求出的长，连接，得到直角三角形，然后在直角三角形中计算出半径的长.【详解】解：如图所示：连接，则长为半径.∵于点，∴，∵在中，，∴，∴，故答案为A.【点睛】本题主要考查垂径定理和勾股定理.根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧”得到一直角边，利用勾股定理列出关于半径的等量关系是解题关键.11、C【分析】利用直线y=2与yx1﹣2x的交点个数可判断x1﹣2x=2实数根的个数．【详解】由图象可得直线y=2与yx1﹣2x有三个交点，所以x1﹣2x=2实数根的个数为1．故选C．【点睛】本题考查了函数图像的交点问题：把要求方程根的问题转化为函数图像的交点问题是解题关键．12、A【分析】由二次函数的增减性可求得对称轴，可求得a取值范围，再求分式方程的解，进行求解即可．【详解】解：

∵y=-x2+（a-2）x+3，

∴抛物线对称轴为x=，开口向下，

∵当x＞2时y随着x的增大而减小，

∴≤2，解得a≤6，

解关于x的分式方程可得x=，且x≠3，则a≠5，

∵分式方程的解是自然数，

∴a+1是2的倍数的自然数，且a≠5，

∴符合条件的整数a为：-1、1、3，

∴符合条件的整数a的和为：-1+1+3=3，

故选：A．【点睛】此题考查二次函数的性质，由二次函数的性质求得a的取值范围是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】由已知条件得到，结合∠AOP=∠BOP，可判定△AOP∽△POB，再根据相似三角形的性质得到∠OPA=∠OBP，利用三角形内角和180°与等量代换即可求出∠APB的度数.【详解】∵∴∵OP平分∠MON∴∠AOP=∠BOP∴△AOP∽△POB∴∠OPA=∠OBP在△OBP中，∠BOP=∠MON=25°∴∠OBP+∠OPB=∴∠OPA+∠OPB=155°即∠APB=155°故答案为：155°.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.14、．【解析】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数图象的对称性，正方形的性质．【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的，设小正方形的边长为b，图中阴影部分的面积等于9可求出b的值，从而可得出直线AB的表达式，再根据点P（2a，a）在直线AB上可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式：∵反比例函数的图象关于原点对称，∴阴影部分的面积和正好为小正方形的面积．设正方形的边长为b，则b2=9，解得b=3．∵正方形的中心在原点O，∴直线AB的解析式为：x=2．∵点P（2a，a）在直线AB上，∴2a=2，解得a=3．∴P（2，3）．∵点P在反比例函数（k＞0）的图象上，∴k=2×3=2．∴此反比例函数的解析式为：．15、【分析】先通过移项将等号右边多项式移到左边，再利用提公因式法因式分解，即可得出方程的根.【详解】解：移项得：提公因式得：解得：；故答案为：.【点睛】本题考查一元二次方程因式分解的解法.在解一元二次方程的时候，一定要先观察方程的形式，如果遇到了相同的因式，先将他们移到方程等号的一侧，看能否利用提公因式解方程，观察以及积累是快速解题的关键.16、1【分析】将抛物线的解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的对称轴；【详解】解：∵抛物线y＝(x﹣1)(x﹣3)＝x1﹣4x+3＝(x﹣1)1﹣1，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.17、菱形【详解】解：如图，连接AC、BD，∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，∴EF=GH=AC，FG=EH=BD（三角形的中位线等于第三边的一半），∵矩形ABCD的对角线AC=BD，∴EF=GH=FG=EH，∴四边形EFGH是菱形．故答案为菱形．考点：三角形中位线定理；菱形的判定；矩形的性质．18、【分析】将A（0，3），B（2，3）代入抛物线y=-x2+bx+c的解析式，可得b，c，可得解析式.【详解】∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y=-x2+bx+c上两点，∴代入得，解得：b=2，c=3，∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3.故答案为：y=-x2+2x+3.【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式，利用代入法解得b，c是解答此题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）见详解；（2）12【分析】（1）由角平分线性质，得到∠ABD=∠CBD，由EF是BD的中垂线，则BE=DE，则∠CBD=∠EDB，则∠ABD=∠EDB，即可得到答案；（2）先证明四边形BEDF是菱形，由DE∥AB，得到DE=CD=3，即可求出周长；【详解】（1）证明：∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，∵EF是BD的中垂线，∴BE=DE，BF=DF，∴∠CBD=∠EDB，∴∠ABD=∠EDB，∴DE∥AB；（2）解：与（1）同理，可证DF∥BC，∴四边形BEDF是平行四边形，∵BE=DE，∴四边形BEDF是菱形，∵AB=BC，DE∥AB，∴∠C=∠ABC=∠DEC，∴DE=CD=3，∴菱形BEDF的周长为：．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质，以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的性质，从而正确的进行推导．20、（1）证明见解析；（2）BH＝．【分析】（1）先判断出∠AOC=90°，再判断出OC∥BD，即可得出结论；（2）先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF，最后利用面积即可得出结论．【详解】（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，∴AB•BF＝AF•BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出BF=3是解本题的关键．21、（1）（2）不公平【解析】试题分析：（1）依据题意画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概率公式求出该事件的概率；（2）根据（1）中所求，进而求出两人获胜的概率，即可得出答案．解：（1）画树状图得：，由上图可知，所有等可能结果共有9种，其中两张卡片数字之和为奇数的结果有4种．∴P=．（2）不公平；理由：由（1）可得出：取出的两张卡片数字之和为偶数的概率为：．∵＜，∴这个游戏不公平．考点：游戏公平性；列表法与树状图法．22、见解析【解析】试题分析：先根据角平分线的性质得出∠CDE=∠EDF，再由对顶角相等得出∠EDF=∠ADB，∠CDE=∠ADB．根据圆内接四边形的性质得出∠CDE=∠ABC，∠ADB=∠ACB，进而可得出结论．证明：∵DE平分∠CDF，∴∠CDE=∠EDF．∵∠EDF=∠ADB，∴∠CDE=∠ADB．∵∠CDE=∠ABC，∠ADB=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．考点：圆周角定理．23、（1）；（2）点的坐标为；（3）直线的函数表达式为或.【分析】（1）根据待定系数法确定函数关系式即可求解；（2）设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，.由翻折得，求出CH’的长，可得，求出DH的长，则可得D的坐标；（3）由题意可知为等边三角形，分两种讨论①当点在轴上方时，点在轴上方，连接，，证出，可得垂直平分，点在直线上，可求出直线的函数表达式；②当点在轴下方时，点在轴下方，同理可求出另一条直线解析式.【详解】（1）由题意，得解得抛物线的函数表达式为.（2）抛物线与轴的交点为，，抛物线的对称轴为直线.设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，.上翻折得.在中，由勾股定理，得.’点的坐标为，..由翻折得.在中，.点的坐标为.（3）取（2）中的点，，连接.，.为等边三角形，分类讨论如下：①当点在轴上方时，点在