《数值微积分》课件

《数值微积分》课件汇报人：AA2024-01-24数值微分数值积分插值法与拟合常微分方程数值解偏微分方程数值解数值微积分应用举例contents目录01数值微分03基本原理通过取函数在某点附近的两点的函数值之差与这两点间距离的比值，来近似该点的导数。01定义数值微分是用数值方法逼近函数在某一点的导数或近似的微分方法。02应用背景在实际问题中，很多函数的表达式是未知的，或者即使知道表达式也难以直接求出其导数，这时就需要用到数值微分。数值微分基本概念利用函数在某点的前一点处的函数值来近似该点的导数。前向差分法利用函数在某点的后一点处的函数值来近似该点的导数。后向差分法利用函数在某点的前后两点处的函数值的平均来近似该点的导数，这种方法具有更高的精度。中心差分法用于近似高阶导数的方法，可以通过组合低阶差分得到。高阶差分法数值微分方法数值微分误差分析截断误差由于采用有限项近似而产生的误差，与步长有关。通常可以通过减小步长来减小截断误差。舍入误差由于计算机浮点数运算的精度限制而产生的误差。在数值微分中，舍入误差可能会累积并导致结果的不准确。稳定性分析研究数值微分算法在受到微小扰动时的行为。稳定的算法能够保持误差在可控范围内，而不稳定的算法可能导致误差迅速增长。收敛性与收敛速度研究当步长趋近于零时，数值微分结果是否趋近于真实导数的性质。收敛速度则衡量了算法逼近真实解的快慢程度。02数值积分定积分的定义与性质阐述定积分的几何与物理意义，探讨定积分的性质，如线性性、可加性等。数值积分的提出针对实际计算中难以获得原函数或原函数计算复杂的情况，引入数值积分方法，通过逼近思想求解定积分的近似值。数值积分的基本原理介绍数值积分的基本思想，即通过构造插值多项式或逼近函数来近似代替被积函数，进而求得定积分的近似值。数值积分基本概念将积分区间划分为若干个小矩形，以矩形的面积和作为定积分的近似值。包括左矩形法、右矩形法和中矩形法。矩形法通过选取特定的节点和权系数，构造出具有高精度和稳定性的求积公式。高斯求积公式在数值积分中占有重要地位。高斯求积公式将积分区间划分为若干个小梯形，以梯形的面积和作为定积分的近似值。相比矩形法，梯形法具有更高的精度。梯形法在梯形法的基础上，通过增加二次项来提高逼近精度。辛普森法适用于被积函数较为光滑的情况。辛普森法数值积分方法误差来源分析数值积分过程中误差的主要来源，包括截断误差、舍入误差等。误差估计介绍数值积分误差的估计方法，如复化求积公式的误差估计、高斯求积公式的误差估计等。通过误差估计可以对数值积分的精度进行评估。收敛性与稳定性讨论数值积分方法的收敛性和稳定性问题。收敛性是指当步长趋于零时，数值积分的近似值是否趋于真值；稳定性是指数值积分方法在计算过程中是否保持稳定的特性。数值积分误差分析03插值法与拟合通过已知数据点，构造一个函数，使得该函数在已知点上取值与已知数据点相同，并可用于估计其他点的值。插值定义用于插值的函数，通常是一个多项式或分段多项式。插值函数插值函数需要满足的条件，如在已知点上取值与已知数据点相同。插值条件插值法基本概念插值法方法通过构造拉格朗日基函数进行插值的方法。利用差商的概念，构造牛顿插值多项式进行插值的方法。将数据点分成若干段，每段上采用低次多项式进行插值的方法。采用样条函数作为插值函数的方法，具有局部性和光滑性。拉格朗日插值法牛顿插值法分段插值法样条插值法拟合函数用于拟合的函数，通常是一个参数化的函数形式。拟合准则用于评价拟合好坏的标准，如最小二乘法中的残差平方和最小。拟合定义通过已知数据点，寻找一个函数，使得该函数在某种意义下最接近已知数据点，并可用于估计其他点的值。拟合基本概念最小二乘法加权最小二乘法非线性拟合正则化方法拟合方法通过最小化残差平方和来求解拟合参数的方法。当拟合函数为非线性形式时，采用迭代算法求解拟合参数的方法。在最小二乘法中引入权重因子，以考虑不同数据点的重要性。在拟合过程中引入正则化项，以防止过拟合现象的发生。04常微分方程数值解常微分方程基本概念线性常微分方程具有形式y'+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数；非线性常微分方程则不满足这一形式。线性与非线性常微分方程含有未知函数及其导数（或微分）的方程，且导数（或微分）的阶数是常数。常微分方程定义初始条件指定了未知函数在某一点的值，而边界条件指定了未知函数在区间端点的值或导数值。初始条件与边界条件欧拉法一种简单的数值解法，通过逐步逼近的方式求解常微分方程的近似解。改进欧拉法在欧拉法的基础上，采用预测-校正的方法提高解的精度。龙格-库塔法一种广泛使用的高精度数值解法，通过多步迭代的方式求解常微分方程的近似解。常微分方程数值解法局部截断误差01数值解法在每一步计算中所产生的误差，可以通过泰勒级数展开进行分析。整体误差02数值解法在整个求解过程中累积的误差，可以通过误差传播理论进行分析。收敛性与稳定性03数值解法的收敛性是指当步长趋于零时，数值解是否趋近于精确解；稳定性则是指数值解法在长时间计算过程中是否能保持稳定的误差范围。常微分方程数值解误差分析05偏微分方程数值解含有未知函数及其偏导数的方程。偏微分方程定义椭圆型、抛物型、双曲型等。偏微分方程分类初始条件、边界条件等。定解条件偏微分方程基本概念有限差分法将微分用差分代替，将偏微分方程转化为代数方程求解。有限元法将求解区域划分为有限个单元，在每个单元上构造插值函数，通过变分原理求解。谱方法利用正交多项式逼近未知函数，将偏微分方程转化为常微分方程或代数方程求解。偏微分方程数值解法截断误差由于计算机字长限制而产生的误差。舍入误差稳定性分析收敛性分析01020403研究数值解与真解之间的逼近程度。由于采用近似算法而产生的误差。研究数值解法在计算过程中的误差传播情况。偏微分方程数值解误差分析06数值微积分应用举例123通过测量物体在不同时间点的位置和速度，利用数值微分方法计算加速度，从而验证牛顿第二定律。牛顿第二定律利用数值积分方法求解热传导方程，可以模拟热量在物体内部的传递过程，进而研究材料的热学性质。热传导方程在量子力学中，波函数的演化遵循薛定谔方程。通过数值求解薛定谔方程，可以研究微观粒子的运动状态和相互作用。量子力学在物理学中的应用举例利用数值微分方法计算化学反应速率常数，可以研究反应的动力学过程，揭示反应机理和影响因素。化学反应动力学通过数值积分方法求解物质扩散方程，可以模拟化学物质在溶液或气体中的浓度分布，进而研究物质的传输和转化过程。物质浓度分布量子化学计算涉及复杂的数学运算和积分计算。通过数值方法求解薛定谔方程和相关方程，可以计算分子的电子结构、能量和反应活性等性质。量子化学计算在化学中的应用举例结构力学分析在结构力学中，利用数值积分方法求解弹性力学方程，可以分析结构的应力、应变和位移等力学性能，进而评估结构的安