2024届河南省驻马店数学高二第二学期期末综合测试模拟试题含解析

2024届河南省驻马店数学高二第二学期期末综合测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若实轴长为2的双曲线上恰有4个不同的点满足，其中，，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（）A． B． C． D．2．已知，，则“”是“表示椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知，，，则的大小关系为()．A． B． C． D．4．甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（）A．0.42 B．0.12 C．0.18 D．0.285．有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为（）A． B． C． D．6．有五名同学站成一排拍毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法种数为（）A．4 B．8 C．16 D．327．刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，即从半径为1尺的圆内接正六边形开始计算面积，如图是一个圆内接正六边形，若向圆内随机投掷一点，则该点落在正六边形内的概率为（）A． B． C． D．8．定义运算＝ad－bc，若复数z满足＝－2，则（）A．1－i B．1＋i C．－1＋i D．－1－i9．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．已知函数，则方程的根的个数为（）A．7 B．5 C．3 D．211．已知复数，则（）A．1 B． C． D．512．若，是第三象限的角，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．将参数方程,(,为参数)化为普通方程______________．14．5人站成一排，若其中甲、乙不相邻的不同排法共有m种，则m的值为_______．15．已知角的终边与单位圆交点的横坐标是，则的值是．16．设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，，是中点，求的长.18．（12分）在中，内角所对的边分别为，且．（1）求角；（2）若，的面积为，求的值．19．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设点分别在，上运动，若的最小值为2，求的值.20．（12分）某理财公司有两种理财产品A和B，这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：产品A投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概率产品B投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概率pq注：p＞0，q＞0（1）已知甲、乙两人分别选择了产品A和产品B投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数p的取值范围；（2）若丙要将家中闲置的10万元人民币进行投资，以一年后投资收益的期望值为决策依据，则选用哪种产品投资较理想？21．（12分）已知数列满足，且.（1）设，求证数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和.22．（10分）已知O是平面直角坐标系的原点，双曲线.（1）过双曲线的右焦点作x轴的垂线，交于A、B两点，求线段AB的长；（2）设M为的右顶点，P为右支上任意一点，已知点T的坐标为，当的最小值为时，求t的取值范围；（3）设直线与的右支交于A，B两点，若双曲线右支上存在点C使得，求实数m的值和点C的坐标.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

设点，由结合两点间的距离公式得出点的轨迹方程，将问题转化为双曲线与点的轨迹有个公共点，并将双曲线的方程与动点的轨迹方程联立，由得出的取值范围，可得出答案．【题目详解】依题意可得，设，则由，得，整理得.由得，依题意可知，解得，则双曲线C的虚轴长.2、B【解题分析】

先要理解椭圆方程的基本形式，再利用两个命题的关系即可得出必要不充分．【题目详解】当且时，表示圆，充分性不成立；当表示椭圆时，且，必要性成立，所以“”是“表示椭圆”的必要不充分条件，故选B．【题目点拨】本题考查了椭圆方程的基本形式，以及命题之间的关系．3、A【解题分析】

利用指数函数、对数函数的性质求解．【题目详解】显然，，，，因此最大，最小，故选A.【题目点拨】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数性质的合理运用．4、B【解题分析】

由两人考试相互独立和达到优秀的概率可得。【题目详解】所求概率为.故选B.【题目点拨】本题考查相互独立事件概率计算公式，属于基础题。5、B【解题分析】

利用超几何分布分别求随机变量X的概率，分布列及其数学期望即可得出．【题目详解】随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．所以，随机变量X的分布列为X1234P随机变量X的数学期望E(X)＝.【题目点拨】本题考查了超几何分布的概率计算公式、分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6、D【解题分析】

根据题意，假设有1、2、3、4、5，共5个位置，分3步进行分析：①将甲安排在3号位置；②在1、2、4、5中一个位置任选1个，安排乙，依据乙、丙两位同学不能相邻，再安排丙；③将剩下的2名同学全排列，安排在剩下的2个位置，由分步计数原理计算可得答案.【题目详解】解：根据题意，假设有1、2、3、4、5，共5个位置，分3步进行分析：①甲必须站在正中间，将甲安排在3号位置；②在1、2、4、5中一个位置任选1个，安排乙，有4种情况，由于乙、丙两位同学不能相邻，则丙有2种安排方法；③将剩下的2名同学全排列，安排在剩下的2个位置，有种安排方法.故有1×4×2×2=16种安排方法.故选：C.【题目点拨】本题考查排列组合的应用，注意题目的限制条件，优先满足受到限制的元素.7、D【解题分析】

由面积公式分别计算出正六边形与圆的面积，由几何概型的概率计算公式即可得到答案【题目详解】由图可知：，故选D.【题目点拨】本题考查几何概型，属于基础题。8、D【解题分析】分析：直接利用新定义，化简求解即可.详解：由＝ad－bc，则满足＝－2，可得：，，则.故选D.点睛：本题考查新定义的应用，复数的除法运算法则的应用，以及共轭复数，考查计算能力.9、D【解题分析】

根据复数的运算法则，化简复数，再利用复数的表示，即可判定，得到答案.【题目详解】由题意，复数，所以复数对应的点位于第四象限.故选D.【题目点拨】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10、A【解题分析】

令，先求出方程的三个根，，，然后分别作出直线，，与函数的图象，得出交点的总数即为所求结果.【题目详解】令，先解方程.（1）当时，则，得；（2）当时，则，即，解得，.如下图所示：直线，，与函数的交点个数为、、，所以，方程的根的个数为，故选A.【题目点拨】本题考查复合函数的零点个数，这类问题首先将函数分为内层函数与外层函数，求出外层函数的若干个根，再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个数，考查数形结合思想，属于难题．11、C【解题分析】.故选12、B【解题分析】

先利用同角三角函数的基本关系计算出的值，然后利用两角和的正弦公式可计算出的值.【题目详解】是第三象限角，，且，因此，，故选B.【题目点拨】本题考查两角和的正弦公式计算三角函数值，解题时充分利用同角三角函数的基本关系进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

可将左右同乘2，再消参即可求解普通方程【题目详解】，结合可得故答案为：【题目点拨】本题考查参数方程转化成普通方程，属于基础题14、1【解题分析】

根据题意，分2步进行分析，先安排甲乙之外的三人，形成了4个空位，再从这4个间隔选2个插入甲乙，由分步计数原理计算即可答案．【题目详解】根据题意，分2步分析：先安排除甲乙之外的3人，有种不同的顺序，排好后，形成4个空位，在4个空位中，选2个安排甲乙，有种选法，则甲乙不相邻的排法有种，即；故答案为：1．【题目点拨】本题考查排列、组合的应用，本题是不能相邻问题，处理此类问题，需要运用插空法．15、【解题分析】试题分析：由题意得.考点：三角函数的定义；同角三角函数的基本关系式；诱导公式.16、.【解题分析】分析：首先求得p和q，然后结合是的必要不充分条件求解实数a的取值范围即可.详解：求解二次不等式可得：，求解二次不等式可得：，是的必要不充分条件，则：，即：，求解不等式组可得：实数的取值范围为.点睛：本题主要考查充分性、必要性条件的应用，集合思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

（1）通过正弦定理和余弦定理即可得到答案；（2）在中使用余弦定理即可得到的长.【题目详解】（1）因为所以由正弦定理得：由余弦定理得：又，所以（2）由，，，得：所以在中，，所以【题目点拨】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的实际应用，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力，难度不大.18、（1）；（2）【解题分析】

（1）可通过化简计算出的值，然后解出的值。（2）可通过计算和的值来计算的值。【题目详解】（1）由得，又，所以，得，所以。（2）由的面积为及得，即，又，从而由余弦定理得，所以，所以。【题目点拨】本题考察的是对解三角函数的综合运用，需要对相关的公式有着足够的了解。19、(1)(2)或.【解题分析】

（1）由极坐标方程与直角坐标方程的互化，即可得出曲线的直角坐标方程；（2）由（1）先确定是圆心为，半径为2的圆，再由曲线的参数方程得到其普通方程，根据点到直线的距离公式即可求出结果.【题目详解】解：（1）因为，所以，所以.将，，代入上式，得的直角坐标方程为.（2）将化为，所以是圆心为，半径为2的圆.将的参数方程化为普通方程为，所以，解得或.【题目点拨】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以参数方程与普通方程的互化，熟记公式即可求解，属于常考题型.20、（1）；（2）当时，E(X)＝E(Y)，选择产品A和产品B一年后投资收益的数学期望相同，可以在产品A和产品B中任选一个；当时，E(X)＞E(Y)，选择产品A一年后投资收益的数学期望较大，应选产品A；当时，E(X)＜E(Y)，选择产品B一年后投资收益的数学期望较大，应选产品B．【解题分析】

（1）先表示出两人全都不获利的概率，再求至少有一人获利的概率，列出不等式求解；（2）分别求出两种产品的期望值，对期望中的参数进行分类讨论，得出三种情况.【题目详解】（1）记事件A为“甲选择产品A且盈利”，事件B为“乙选择产品B且盈利”，事件C为“一年后甲，乙两人中至少有一人投资获利”，则，．所以，解得．又因为，q＞0，所以．所以．（2）假设丙选择产品A进行投资，且记X为获利金额（单位：万元），则随机变量X的分布列为X40-2p则．假设丙选择产品B进行投资，且记Y为获利金额（单位：万元），则随机变量Y的分布列为Y20-1ppq则．讨论：当时，E(X)＝E(Y)，选择产品A和产品B一年后投资收益的数学期望相同，可以在产品A和产品B中任选一个；当时，E(X)＞E(Y)，选择产品A一年后投资收益的数学期望较大，应选产品A；当时，E(X)＜E(Y)，选择产品B一年后投资收益的数学期望较大，应选产品B．【题目点拨】本题考查独立事件的概率以及期望的求法，注意求概率时“正难则反”，若直接求不容易求，则求其相反的事件的概率，反推即可.21、（1）详见解析（2）【解题分析】

（1）由已知数列递推式可得，又，得，从而可得数列是等比数列；

（2）由（1）求得数列的通项公式，得到数列的通项公式，进一步得到，然后分类分组求数列的前项和．【题目详解】（1）由已知得代入得又，所以数列是等比数列（2）由（1）得，，因为，，，且时，所以当时，当时，.所以【题目点拨】本题考查数列递推式，考查等比关