浙江省湖州市9+1高中联盟长兴中学2024届高二数学第二学期期末经典试题含解析

浙江省湖州市9+1高中联盟长兴中学2024届高二数学第二学期期末经典试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．展开式中项的系数是A．4 B．5C．8 D．122．已知下表所示数据的回归直线方程为y，则实数a的值为x23456y3711a21A．16 B．18C．20 D．223．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件A为4名同学所报项目各不相同”,事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则P(B|A)=（）A．14 B．34 C．24．双曲线与双曲线有相同的（）A．顶点 B．焦点 C．渐近线 D．离心率5．某产品的销售收入（万元）关于产量（千台）的函数为；生产成本（万元）关于产量（千台）的函数为，为使利润最大，应生产产品()A．9千台 B．8千台 C．7千台 D．6千台6．设为虚数单位，则复数()A． B． C． D．7．已知n，，，下面哪一个等式是恒成立的（）A． B．C． D．8．在建立两个变量与的回归模型时，分别选择了4个不同的模型，这四个模型的相关系数分别为0.25、0.50、0.98、0.80，则其中拟合效果最好的模型是（）A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型49．正六边形的边长为，以顶点为起点，其他顶点为终点的向量分别为；以顶点为起点，其他顶点为终点的向量分别为．若分别为的最小值、最大值，其中，则下列对的描述正确的是（）A． B． C． D．10．已知满足约束条件，若的最大值为（）A．6 B． C．5 D．11．函数的单调递增区间为（）A． B．C． D．12．已知向量，，若，则()A． B．1 C．2 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数，的最大值是___．14．已知非零向量，，满足：，且不等式恒成立，则实数的最大值为__________.15．一只蚂蚁位于数轴处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为，则3秒后，这只蚂蚁在x=1处的概率为________.16．点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是__.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在正三棱锥中，侧棱长和底边长均为，点为底面中心.（1）求正三棱锥的体积；（2）求证：.18．（12分）袋中有红、黄、白色球各1个，每次任取1个，有放回地抽三次，求基本事件的个数，写出所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率：（1）三次颜色各不相同；（2）三次颜色不全相同；（3）三次取出的球无红色或黄色．19．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的方程为，直线的参数方程为（为参数）.（1）将的方程化为直角坐标方程；（2）为上一动点，求到直线的距离的最大值和最小值.20．（12分）如图，在三棱柱ABC−中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==1．（1）求证：AC⊥平面BEF；（1）求二面角B−CD−C1的余弦值；（3）证明：直线FG与平面BCD相交．21．（12分）甲将要参加某决赛，赛前，，，四位同学对冠军得主进行竞猜，每人选择一名选手，已知，选择甲的概率均为，，选择甲的概率均为，且四人同时选择甲的概率为，四人均末选择甲的概率为．（1）求，的值；（2）设四位同学中选择甲的人数为，求的分布列和数学期望．22．（10分）某水产养殖基地要将一批海鲜用汽车从所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由水产养殖基地承担．若水产养殖基地恰能在约定日期（×月×日）将海鲜送达，则销售商一次性支付给水产养殖基地万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给水产养殖基地万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给水产养殖基地万元．为保证海鲜新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送海鲜，已知下表内的信息：统计信息汽车行驶路线不堵车的情况下到达城市乙所需时间（天）堵车的情况下到达城市乙所需时间（天）堵车的概率运费（万元）公路公路（注：毛利润销售商支付给水产养殖基地的费用运费）（Ⅰ）记汽车走公路时水产养殖基地获得的毛利润为（单位：万元），求的分布列和数学期望．（Ⅱ）假设你是水产养殖基地的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能让水产养殖基地获得的毛利润更多？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

把（1+x）5按照二项式定理展开，可得（1﹣x）（1+x）5展开式中x2项的系数．【题目详解】（1﹣x）（1+x）5=（1﹣x）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），其中可以出现的有1*10x2和﹣x*5x，其它的项相乘不能出现平方项，故展开式中x2项的系数是10﹣5=5，故选B．【题目点拨】这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等．2、B【解题分析】

，代入回归直线方程得，所以，则，故选择B.3、A【解题分析】

确定事件AB，利用古典概型的概率公式计算出PAB和PA，再利用条件概型的概率公式可计算出P【题目详解】事件AB为“4名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”，则PAB=A334【题目点拨】本题考查条件概型概率的计算，考查条件概率公式的理解和应用，考查运算能力，属于中等题。4、C【解题分析】

根据选项分别写出两个双曲线的几何性质，比较后得到答案.【题目详解】的顶点是，焦点是，渐近线方程是，离心率是；的顶点是，焦点是，渐近线方程是，离心率，比较后可知只有渐近线方程一样.故选C.【题目点拨】本题考查了双曲线的几何性质，属于简单题型.5、B【解题分析】

根据题意得到利润关于产量的函数式，再由导数求得使利润最大时的产量，即可求解出答案。【题目详解】设利润为万元，则，，令，得，令，得，∴当时，取最大值，故为使利润最大，应生产8千台．选B.【题目点拨】本题主要考查了利用导数的性质求函数的最值来解决实际问题。6、D【解题分析】

由复数的乘除运算即可求得结果【题目详解】故选【题目点拨】本题主要考查了复数的除法运算，解题的关键是要掌握复数四则运算法则，属于基础题。7、B【解题分析】

利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断.【题目详解】由组合数的定义可知，A选项错误；由排列数的定义可知，B选项正确；由组合数的性质可知，则C、D选项均错误.故选B.【题目点拨】本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.8、C【解题分析】

相关系数的绝对值越靠近1，拟合效果越好，据此得到答案.【题目详解】四个模型的相关系数分别为0.25、0.50、0.98、0.80相关系数的绝对值越靠近1，拟合效果越好故答案选C【题目点拨】本题考查了相关系数，相关系数的绝对值越靠近1，拟合效果越好.9、A【解题分析】

利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而得到结论．【题目详解】由题意，以顶点A为起点，其他顶点为终点的向量分别为，以顶点D为起点，其他顶点为终点的向量分别为，则利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，又因为分别为的最小值、最大值，所以，故选A．【题目点拨】本题主要考查了向量的数量积运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，分析出向量数量积的正负是关键，着重考查了分析解决问题的能力，属于中档试题．10、A【解题分析】分析：首先绘制不等式组表示的平面区域，然后结合目标函数的几何意义求解最值即可.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择A选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.11、B【解题分析】

先求出的定义域,再利用同增异减以及二次函数的图像判断单调区间即可.【题目详解】令,得f(x)的定义域为,根据复合函数的单调性规律,即求函数在上的减区间,根据二次函数的图象可知为函数的减区间.故选：B【题目点拨】本题主要考查对数函数的定义域以及复合函数的单调区间等,属于基础题型.12、B【解题分析】

由，，表示出，再由，即可得出结果.【题目详解】因为，，所以，又，所以，即，解得.故选B【题目点拨】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

求导数，根据导数的正负判断函数单调性，求得最大值.【题目详解】函数时：函数单调递减故答案为【题目点拨】本题考查了利用导函数求单调性，再求最大值，意在考查学生的计算能力.14、4.【解题分析】

法一：采用数形结合，可判断的终点是在以AB为直径的圆上，从而分离参数转化成恒成立问题即可得到答案.法二：（特殊值法）可先设，，，利用找出的轨迹，从而将不等式恒成立问题转化为函数问题求解.【题目详解】法一：作出相关图形，设,，由于，所以，且这两个向量共起点，所以的终点是在以AB为直径的圆上，可设，所以由图可知，，所，等价于,,所以，答案为4.法二：（特殊值法）不妨设，，，则，，，由于可得整理得，可得圆的参数方程为：，则相当于恒成立，即求得，即求的最大值即可，，所以，因此.故答案为4.【题目点拨】本题主要考查向量的相关运算，参数方程的运用，不等式恒成立问题，意在考查学生的综合转化能力，逻辑推理能力，计算能力，难度较大.15、【解题分析】

3秒后，这只蚂蚁在x=1处的概率即求蚂蚁三次移动中，向右移动两次，向左移动一次的概率，由次独立重复试验的概率计算即可。【题目详解】3秒后，这只蚂蚁在x=1处的概率即求蚂蚁三次移动中，向右移动两次，向左移动一次的概率，所以【题目点拨】本题主要考查独立重复试验概率的计算，属于基础题。16、[﹣，0]【解题分析】

建立空间直角坐标系，设出点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，计算•x2﹣x，利用二次函数的性质求得它的值域即可．【题目详解】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示；则点A（1，0，0），C1（0，1，1），设点P的坐标为（x，y，z），由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），∴•x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，由二次函数的性质可得，当x＝y时，•取得最小值为；当x＝0或1，且y＝0或1时，•取得最大值为0，则•的取值范围是[，0]．故答案为：[，0]．【题目点拨】本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）连接，根据题意得到底面，，求出，再由三棱锥的体积公式，即可求出结果；（2）取的中点为，连接，，得到，，根据线面垂直的判定定理，得到平面，进而可得出结果.【题目详解】（1）连接，因为在正三棱锥中，侧棱长和底边长均为，点为底面中心，所以底面，，因此；所以正三棱锥的体积；（2）取的中点为，连接，，因为在正三棱锥中，侧棱长和底边长均为，所以，，又，平面，平面，所以平面；又平面，因此.【题目点拨】本题主要考查求三棱锥的体积，以及证明线线垂直，熟记棱锥的体积公式，以及线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型.18、（1）；（2）；（3）；【解题分析】

按球颜色写出所有基本事件；（1）计数三次颜色各不相同的事件数，计算概率；（2）计数三次颜色全相同的事件数，从对立事件角度计算概率；（3）计数三次取出的球无红色或黄色事件数，计算概率；【题目详解】按抽取的顺序，基本事件全集为：｛（红红红），（红红黄），（红红蓝），（红黄红），（红黄黄），（红黄蓝），（红蓝红），（红蓝黄），（红蓝蓝），（黄红红），（黄红黄），（黄红蓝），（黄黄红），（黄黄黄），（黄黄蓝），（黄蓝红），（黄蓝黄），（黄蓝蓝），（蓝红红），（蓝红黄），（蓝红蓝），（蓝黄红），（蓝黄黄），（蓝黄蓝），（蓝蓝红），（蓝蓝黄），（蓝蓝蓝）｝，共27个．（1）三次颜色各不相同的事件有（红黄蓝），（红蓝黄），（黄红蓝），（黄蓝红），（蓝红黄），（蓝黄红），共6个，概率为；（2）其中颜色全相同的有3个，因此所求概率为；（3）三次取出的球红黄都有的事件有12个，因此三次取出的球无红色或黄色事件有15个，概率为．无红色或黄色事件【题目点拨】本题考查古典概型概率，解题关键是写出所有基本事件的集合，然后按照要求计数即可，当然有时也可从对立事件的角度考虑．19、（1）（2）最大值是和最小值是.【解题分析】分析：（1）利用极坐标公式化成直角坐标方程.(2)先求出直线的直角坐标方程为，再利用圆心到直线的距离求到直线的距离的最大值是和最小值是.详解：（1）因为曲线的方程为，则，所以的直角坐标方程为，即.（2）因为直线的参数方程为（为参数），所以直线的直角坐标方程为，因为圆心到直线的距离，则直线与圆相离，所以所求到直线的距离的最大值是和最小值是.点睛：(1)本题主要考查极坐标、参数方程和直角坐标的互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答第2问的关键是数形结合.20、(2)见解析（2）；（3）见解析．【解题分析】

分析：（2）由等腰三角形性质得，由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得，因此，最后根据线面垂直判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面BCD一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果，（3）根据平面BCD一个法向量与直线FG方向向量数量积不为零，可得结论.详解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A2B2C2中，∵CC2⊥平面ABC，∴四边形A2ACC2为矩形．又E，F分别为AC，A2C2的中点，∴AC⊥EF．∵AB=BC．∴AC⊥BE，∴AC⊥平面BEF．（Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC2．又CC2⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．如图建立空间直角坐称系E-xyz．由题意得B（0，2，0），C（-2，0，0），D（2，0，2），F（0，0，2），G（0，2，2）．∴，设平面BCD的法向量为，∴，∴，令a=2，则b=-2，c=-4，∴平面BCD的法向量，又∵平面CDC2的法向量为，∴．由图可得二面角B-CD