2024届广东省茂名市电白县第一中学高二数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

2024届广东省茂名市电白县第一中学高二数学第二学期期末学业质量监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一张储蓄卡的密码共有位数字，每位数字都可以是中的任意一个.某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，任意按最后一位数字，则不超过次就按对的概率为（）A． B． C． D．2．把4个苹果分给两个人，每人至少一个，不同分法种数有()A．6 B．12 C．14 D．163．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则与的面积之比为（）A． B． C． D．4．已知函数，若存在区间D，使得该函数在区间D上为增函数，则的取值范围为（）A． B．C． D．5．已知的二项展开式中含项的系数为，则()A． B． C． D．6．已知双曲线上有一个点A，它关于原点的对称点为B，双曲线的右焦点为F，满足，且，则双曲线的离心率e的值是A． B． C．2 D．7．设随机变量ξ～N（μ，σ2），函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点的概率是0.5，则μ等于（）A．1 B．4 C．2 D．不能确定8．已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．学号分别为1，2，3，4的4位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为()A．2 B．4 C．6 D．810．已知平面向量，的夹角为，且，，则（）A． B． C． D．11．如图，在三棱锥中，点D是棱的中点，若，，，则等于（）A． B． C． D．12．“a＞0”是“|a|＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下列结论正确的是____.①存在点，使得平面平面；②存在点，使得平面；③的面积不可能等于；④若分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得.14．从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选中的概率为__________．15．已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数k的取值范围是________．16．已知函数f（x）＝x3﹣3x+1，则函数y＝f（x）的单调递减区间是_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角梯形中，，，，为的中点，如图1．将沿折到的位置，使，点在上，且，如图2．（1）求证：⊥平面；（2）求二面角的正切值．18．（12分）从某公司生产线生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：（1）求这1000件产品质量指标的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差.（i）利用该正态分布，求；（ⅱ）已知每件该产品的生产成本为10元，每件合格品（质量指标值）的定价为16元；若为次品（质量指标值），除了全额退款外且每件次品还须赔付客户48元.若该公司卖出100件这种产品，记表示这件产品的利润，求.附：，若，则.19．（12分）已知正项数列满足：，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）设为数列的前项和，证明：.20．（12分）已知数列满足，且.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）是否存在实数，，使得，对任意正整数恒成立？若存在，求出实数、的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由.21．（12分）如图,某军舰艇位于岛的的正西方处,且与岛的相距12海里.经过侦察发现,国际海盗船以10海里/小时的速度从岛屿出发沿北偏东30°方向逃窜,同时,该军舰艇从处出发沿北偏东的方向匀速追赶国际海盗船,恰好用2小时追上.（1）求该军舰艇的速度.（2）求的值.22．（10分）大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如下表所示：喜欢盲拧不喜欢盲拧总计男22▲30女▲12▲总计▲▲50表1并邀请这30名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如下表所示：成功完成时间（分钟）[0，10)[10，20)[20，30)[30，40]人数101055表2（1）将表1补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？（2）根据表2中的数据，求这30名男生成功完成盲拧的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）现从表2中成功完成时间在[0，10)内的10名男生中任意抽取3人对他们的盲拧情况进行视频记录，记成功完成时间在[0，10)内的甲、乙、丙3人中被抽到的人数为，求的分布列及数学期望.附参考公式及数据：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式直接求解，即可求得答案.【题目详解】设第次按对密码为事件第一次按对第一次按错，第二次按对第一次按错，第二次按错，第三次按对事件，事件，事件是互斥，任意按最后一位数字，则不超过次就按对的概率由概率的加法公式得：故选：C．【题目点拨】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2、C【解题分析】

给两个人命名为甲、乙，根据甲分的苹果数进行分类即可求出．【题目详解】按照分给甲的苹果数，有种分法，故选C．【题目点拨】本题主要考查分类加法计数原理的应用．3、D【解题分析】

由题意得出点为的中点，由余弦定理得出，结合三角形面积公式得出正确答案.【题目详解】，，即点为的中点由余弦定理得：解得：故选：D【题目点拨】本题主要考查了余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题.4、B【解题分析】

求出导函数，由题意说明不等式有解。【题目详解】由题意有解.当时，一定有解；当时，也一定有解.当时，需要，即,综上所述，，故选：B。【题目点拨】本题考查用导数研究函数的单调性。函数有单调增区间，则有解，这样可结合二次函数或一次函数的性质得出结论。5、C【解题分析】分析：先根据二项式定展开式通项公式求m,再求定积分.详解：因为的二项展开式中，所以,因此选C.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.6、B【解题分析】

设是双曲线的左焦点，由题可得是一个直角三角形，由，可用表示出，，利用双曲线定义列方程即可求解．【题目详解】依据题意作图，如下：其中是双曲线的左焦点，因为，所以，由双曲线的对称性可得：四边形是一个矩形，且，在中，，,,由双曲线定义得：，即：，整理得：，故选B【题目点拨】本题主要考查了双曲线的简单性质及双曲线定义，考查计算能力，属于基础题．7、B【解题分析】试题分析：由题中条件：“函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点”可得ξ＞4，结合正态分布的图象的对称性可得μ值．解：函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点，即二次方程x2+4x+ξ=0无实根得ξ＞4，∵函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点的概率是0.5，∴P（ξ＞4）=0.5，由正态曲线的对称性知μ=4，故选B．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．8、B【解题分析】

根据充分性和必要性的判断方法来判断即可．【题目详解】当时，若，不能推出，不满足充分性；当，则，有，满足必要性；所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B．【题目点拨】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题．9、A【解题分析】

先排1,2，再将3、4插空，用列举法，即可得出结果.【题目详解】先排好1、2，数字3、4插空，排除相邻学号，只有2种排法：3142、1．故选A【题目点拨】本题主要考查计数原理，熟记概念即可，属于基础题型.10、C【解题分析】分析：根据向量的运算，化简，由向量的数量积定义即可求得模长．详解：平面向量数量积，所以所以选C点睛：本题考查了向量的数量积及其模长的求法，关键是理解向量运算的原理，是基础题．11、A【解题分析】

利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可．【题目详解】解：由题意在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，可知：，，，．故选：．【题目点拨】本题考查向量的三角形法则，空间向量与平面向量的转化，属于基础题．12、A【解题分析】试题分析：本题主要是命题关系的理解，结合|a|＞0就是{a|a≠0}，利用充要条件的概念与集合的关系即可判断．解：∵a＞0⇒|a|＞0，|a|＞0⇒a＞0或a＜0即|a|＞0不能推出a＞0，∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件故选A考点：必要条件．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①②④【解题分析】

逐项分析.【题目详解】①如图当是中点时，可知也是中点且，，，所以平面，所以，同理可知，且，所以平面，又平面，所以平面平面，故正确；②如图取靠近的一个三等分点记为，记，，因为，所以，所以为靠近的一个三等分点，则为中点，又为中点，所以，且，，，所以平面平面，且平面，所以平面，故正确；③如图作，在中根据等面积得：，根据对称性可知：，又，所以是等腰三角形，则，故错误；④如图设，在平面内的正投影为，在平面内的正投影为，所以，，当时，解得：，故正确.故填：①②④.【题目点拨】本题考查立体几何的综合问题，难度较难.对于判断是否存在满足垂直或者平行的位置关系，可通过对特殊位置进行分析得到结论，一般优先考虑中点、三等分点；同时计算线段上动点是否满足一些情况时，可以设动点和线段某一端点组成的线段与整个线段长度的比值为，然后统一未知数去分析问题.14、2【解题分析】

利用列举法：从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有6种结果，其中甲乙两人中有且只一个被选取，共4种结果，由古典概型概率公式可得结果.【题目详解】从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁），6种结果，其中甲乙两人中有且只一个被选取，有（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），共4种结果，故甲、乙两人中有且只一个被选中的概率为46=2【题目点拨】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题.在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m，然后根据公式P=mn15、【解题分析】由题意可知，故答案为.16、【解题分析】

求得函数的导数，利用导数的符号，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，函数，则，令，即，解得，所以函数的单调递减区间为，故答案为：．【题目点拨】本题主要考查了利用研究函数的单调性，求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数与原函数的关系式解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解题分析】试题分析：（1）证明：在图中，由题意可知，为正方形，所以在图中，，四边形ABCD是边长为2的正方形，因为，ABBC，所以BC平面SAB，又平面SAB，所以BCSA，又SAAB，所以SA平面ABCD，（2）在AD上取一点O，使，连接EO．因为，所以EO//SA所以EO平面ABCD，过O作OHAC交AC于H，连接EH，则AC平面EOH，所以ACEH．所以为二面角E—AC—D的平面角，在中，…11分，即二面角E—AC—D的正切值为考点：线面垂直的判定及二面角求解点评：本题中第二问求二面角采用的是作角求角的思路，在作角时常用三垂线定理法；此外还可用空间向量的方法求解；以A为原点AB,AD,AS为x,y,z轴建立坐标系，写出各点坐标，代入向量计算公式即可18、（1）200,150；（2）（i）；（ⅱ）280.【解题分析】

（1）直接利用样本平均数和样本方差公式计算得到答案.（2）（i）先判断，则（ⅱ）Ⅹ表示100件产品的正品数，题意得，计算，再计算【题目详解】（1）由题意得.∴，即样本平均数为200，样本方差为150.（2）（i）由（1）可知，，∴（ⅱ）设Ⅹ表示100件产品的正品数，题意得，∴，∴.【题目点拨】本题考查了数学期望，方差的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.【解题分析】

（Ⅰ）由题意，得，可求出；（Ⅱ）由，得与同号，可得，再由可得，问题得证；（Ⅲ）令，得，当时，由可得，再由可使问题得证.【题目详解】（Ⅰ）解：由题意，，解得或（舍去）.（Ⅱ）证明：因为，且，所以与同号，…，与也同号.而，因此.又，所以.综上，有成立.（Ⅲ）证明：令，则，且.由，得到.于是当时，，又，因此，即.考虑，故，即.当时，也成立.综上所述，.【题目点拨】本题考查了数列递推式，数列求和，考查了放缩法证明不等式，考查了推理能力和计算能力，属于难题.20、（Ⅰ），；（Ⅱ）存在实数，符合题意.【解题分析】

（Ⅰ）由题意可整理为，从而代入，即可求，的值；（Ⅱ）当时和时，可得到一组、的值，于是假设该式成立，用数学归纳法证明即可.【题目详解】（Ⅰ）因为，整理得，由，代入得，.（Ⅱ）假设存在实数、，使得对任意正整数恒成立.当时，，①当时，，②由①②解得：，.下面用数学归纳法证明：存在实数，，使对任意正整数恒成立.（1）当时，结论显然成立.（2）当时，假设存在，，使得成立，那么，当时，.即当时，存在，，使得成立.由（1）（2）得：存在实数，，使对任意正整数恒成立.【题目点拨】本题主要考查数学归纳法在数列中的应用，意在考查学生的计算能力，分析能力，逻辑推理