2024届河北邢台市南和一中数学高二第二学期期末经典试题含解析

2024届河北邢台市南和一中数学高二第二学期期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．用数学归纳法证明：“”，由到时，等式左边需要添加的项是（）A． B．C． D．2．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为2π3，弦长为403m的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（）平方米.（其中A．15 B．16 C．17 D．183．设为等差数列的前项和，若，，则A． B． C． D．4．若随机变量服从正态分布，则（）附：，．A．1．3413 B．1．2718 C．1．1587 D．1．12285．已知的周长为9，且，则的值为（）A． B． C． D．6．已知展开式的常数项为15，则（）A． B．0 C．1 D．-17．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，正面向上的次数为，则（）A． B．C． D．8．刍薨（），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广.刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”，如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为（）A．24 B． C．64 D．9．设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．设，，，则()A． B． C． D．11．已知奇函数是定义在上的减函数，且，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．12．已知有穷数列2，3，，满足2，3，，，且当2，3，，时，若，则符合条件的数列的个数是

A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若离散型随机变量的分布列如下，则=__________.0114．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为__________．15．在四面体中，，已知，，且，则四面体的体积的最大值为_______.16．若小明在参加理、化、生三门课程的等级性考试中，取得等级的概率均为，且三门课程的成绩是否取得等级互不影响．则小明在这三门课程的等级性考试中恰有两门取得等级的概率为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知复数z满足z=﹣1．（1）求复数z的共轭复数；（2）若w=z+ai，且|w|≤|z|，求实数a的取值范围．18．（12分）已知数列的前项和，函数对任意的都有，数列满足.（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足，是数列的前项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在请求出的取值范围；若不存在请说明理由．19．（12分）某中学高中毕业班的三名同学甲、乙、丙参加某大学的自主招生考核，在本次考核中只有合格和优秀两个等次.若考核为合格，则给予分的降分资格；若考核为优秀，则给予分的降分资格.假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立.（1）求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率；（2）记在这次考核中，甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量，请写出所有可能的取值，并求的值.20．（12分）已知函数的定义域是，关于的不等式的解集为．（1）求集合；（2）已知，，若是的必要不充分条件，试求实数的取值范围．21．（12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求AM与平面A1MD所成角的正弦值．22．（10分）已知椭圆的左右顶点分别是，，点在椭圆上，过该椭圆上任意一点P作轴，垂足为Q，点C在的延长线上，且．（1）求椭圆的方程；（2）求动点C的轨迹E的方程；（3）设直线（C点不同A、B）与直线交于R，D为线段的中点，证明：直线与曲线E相切；

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

写出时，左边最后一项，时，左边最后一项，由此即可得到结论【题目详解】解：∵时，左边最后一项为，时，左边最后一项为，∴从到，等式左边需要添加的项为一项为故选：D．【题目点拨】本题考查数学归纳法的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．2、B【解题分析】分析：先根据经验公式计算出弧田的面积，再利用扇形面积减去三角形面积得实际面积，最后求两者之差.详解：因为圆心角为2π3，弦长为403m因此根据经验公式计算出弧田的面积为12实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为12因此两者之差为1600π3点睛：扇形面积公式12lr=123、B【解题分析】分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果.详解：设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.4、C【解题分析】

根据正态曲线的对称性，以及，可得结果.【题目详解】，故选：C【题目点拨】本题考查正态分布，重点把握正态曲线的对称性，属基础题.5、A【解题分析】

由题意利用正弦定理可得,再由余弦定理可得cosC的值．【题目详解】由题意利用正弦定理可得三角形三边之比为3：2：4，再根据△ABC的周长为9，可得．再由余弦定理可得cosC，故选A．【题目点拨】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，求得是解题的关键，属于中档题．6、A【解题分析】

先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项，再根据常数项为15，求得的值．【题目详解】解：二项式的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项为，由此求得，故选：．【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．7、D【解题分析】分析：将一枚硬币连续抛掷5次，正面向上的次数，由此能求出正面向上的次数的分布列详解：将一枚硬币连续抛掷5次，正面向上的次数.故选D.点睛：本题考查离散型随机变量的分布列的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的合理运用．8、B【解题分析】茅草面积即为几何体的侧面积，由题意可知该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形．其中，等腰梯形的上底长为4，下底长为8，高为；等腰三角形的底边长为4，高为．故侧面积为．即需要的茅草面积至少为．选B．9、B【解题分析】

分别将两个不等式解出来即可【题目详解】由得由得所以“”是“”的必要不充分条件故选：B【题目点拨】设命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，若AB,则p是q的充分不必要条件，若AB，则p是q的必要不充分条件，若A=B，则p是q的充要条件.10、C【解题分析】

分别求出，，的范围，从而得到答案．【题目详解】根据指数函数图像可得，，；由于，则，则；所以；故答案选C【题目点拨】本题考查指数、对数值的大小比较，解题的关键利用指数对数的运算法则求出值的范围，属于中档题．11、C【解题分析】

根据对数运算性质和对数函数单调性可得，根据指数函数单调性可知；利用为减函数可知，结合为奇函数可得大小关系.【题目详解】，即：又是定义在上的减函数又为奇函数，即：本题正确选项：【题目点拨】本题考查根据指数函数、对数函数单调性，结合奇偶性比较函数值的大小关系，关键是能够通过函数得单调性，利用临界值的方式得到自变量之间的大小关系.12、A【解题分析】

先选出三个数确定为，其余三个数从剩下的7个里面选出来，排列顺序没有特殊要求.【题目详解】先确定，相当于从10个数值中选取3个，共有种选法，再从剩余的7个数值中选出3个作为，共有种选法，所以符合条件的数列的个数是，故选A.【题目点拨】本题主要考查利用排列组合的知识确定数列的个数，有无顺序要求，是选择排列还是组合的依据.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

根据概率之和为1，列出方程，即可求出结果.【题目详解】由概率的性质可得：，由题意则，解得或；又概率介于之间，所以.故答案为1【题目点拨】本题主要考查由概率的性质求参数的问题，熟记概率的基本性质即可，属于基础题型.14、【解题分析】分析：过作，垂足为，则平面，则即为所求平面角，从而可得结果.详解：依题意，画出图形，如图，过作，垂足为，由平面，可得，所以平面，则即为所求平面角，因为，，所以，故答案为.点睛：本题考查长方体的性质，以及直线与平面所成的角，属于中档题.求直线与平面所成的角由两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.15、【解题分析】

作与，连接，说明与都在以为焦点的椭球上，且都垂直与焦距，，取BC的中点F，推出当是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可.【题目详解】解：作与，连接，则平面，，由题意，与都在以为焦点的椭球上，且都垂直与焦距且垂足为同一点E，显然与全等，所以，取BC的中点F，，要四面体ABCD的体积最大，因为AD是定值，只需三角形EBC面积最大，因为BC是定值，所以只需EF最大即可，当是等腰直角三角形时几何体的体积最大，，，，所以几何体的体积为：,故答案为：.【题目点拨】本题考查棱锥的体积，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题.16、【解题分析】

利用次独立重复试验的公式即可求解.【题目详解】这三门课程的等级性考试取得的等级可看成进行3次相互独立的重复试验因而小明在这三门课程的等级性考试中恰有两门取得等级的概率为故答案为：【题目点拨】本题主要考查了次独立重复试验的概率问题，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）﹣1≤a≤0【解题分析】

（1）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出；（2）利用复数模的计算公式、一元二次不等式的解法即可得出．【题目详解】解：（1），．（2），，，，则，，，所以，实数的取值范围是：．【题目点拨】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数模的计算公式、一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．18、(1)，;(2).【解题分析】分析：（1）利用的关系，求解；倒序相加求。（2）先用错位相减求，分离参数，使得对于一切的恒成立，转化为求的最值。详解：（1）时满足上式，故∵=1∴∵①∴②∴①+②，得.（2）∵，∴∴①，②①－②得即要使得不等式恒成立，恒成立对于一切的恒成立，即，令，则当且仅当时等号成立，故所以为所求.点睛：1、，一定要注意，当时要验证是否满足数列。2、等比乘等差结构的数列用错位相减。3、数列中的恒成立问题与函数中的恒成立问题解法一致。19、（1）；（2）所有可能的取值为、、、，.【解题分析】

（1）计算出三名同学考核均为合格的概率，利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率；（2）根据题意得出所有可能的取值为、、、，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率计算公式能求出．【题目详解】（1）由题意知，三名同学考核均为合格的概率为，因此，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率为；（2）由题意知，随机变量的所有可能取值有、、、，则，，.【题目点拨】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．20、（1）当时，；当时，；当时，（2）【解题分析】

（1）由含参二次不等式的解法可得，只需，，即可得解；（2）由函数定义域的求法求得，再结合命题间的充要性求解即可.【题目详解】解：（1）因为，所以，当时，；当时，方程无解；当时，，故当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.（2）解不等式，即，即，解得，即，由，，若是的必要不充分条件，可得是的真子集，则当时，则，即；当时，显然满足题意；当时，则，即，综上可知：，故实数的取值范围为.【题目点拨】本题考查了函数定义域的求法、含参二次不等式的解法及充要条件，重点考查了分类讨论的数学思想方法及简易逻辑，属中档题.21、（1）见解析（2）【解题分析】

要证线面平