2024届台州市重点中学数学高二下期末质量跟踪监视试题含解析

2024届台州市重点中学数学高二下期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素组合，则可以组成这样的新集合的个数为（）A． B． C． D．2．已知复数(为虚数单位)，则（）A． B． C． D．3．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度4．在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（）A． B． C． D．5．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的（）A．-4 B．-7 C．-22 D．-326．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取3个球，所取的3个球颜色不同的概率为（）A． B． C． D．7．四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为（）A． B． C． D．8．函数的一个零点落在下列哪个区间（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）9．分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，1可以分拆为若干个不同的单位分数之和：1=12+13+16，A．228 B．240 C．260 D．27310．设，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是（）A．[0,1]B．[1,2]C．[-2,-1]D．[-1,0]11．已知函数，则（）A． B． C． D．12．可以整除（其中）的是（）A．9 B．10 C．11 D．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的_________倍；14．若复数z=(x2-2x-3)+(x+1)i为纯虚数，则实数15．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有__________种(用数字作答)．16．已知（是虚数单位），则的共轭复数为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数的定义域是，关于的不等式的解集为．（1）求集合；（2）已知，，若是的必要不充分条件，试求实数的取值范围．18．（12分）已知函数，为自然对数的底数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调区间与极值.19．（12分）已知函数，且函数在和处都取得极值．（1）求，的值；（2）求函数的单调递增区间．20．（12分）某快递公司（为企业服务）准备在两种员工付酬方式中选择一种现邀请甲、乙两人试行10天两种方案如下：甲无保底工资送出50件以内（含50件）每件支付3元，超出50件的部分每件支付5元；乙每天保底工资50元，且每送出一件再支付2元分别记录其10天的件数得到如图茎叶图，若将频率视作概率，回答以下问题：（1）记甲的日工资额为（单位：元），求的分布列和数学期望；（2）如果仅从日工资额的角度考虑请利用所学的统计学知识为快递公司在两种付酬方式中作出选择，并说明理由．21．（12分）如图1，等边中，，是边上的点（不与重合），过点作交于点，沿将向上折起，使得平面平面，如图2所示．（1）若异面直线与垂直，确定图1中点的位置；（2）证明：无论点的位置如何，二面角的余弦值都为定值，并求出这个定值．22．（10分）已知函数为实数）．（1）讨论函数的单调性；（2）若在上恒成立，求的范围；

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

利用分类计数加法原理和分步计数乘法原理计算即可，注意这个特殊元素的处理.【题目详解】已知集合，，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素组合，分为2类：含5，不含5；则可以组成这样的新集合的个数为个.故选C.2、D【解题分析】分析：化简复，利用复数模的公式求解即可.详解：因为，所以=，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3、B【解题分析】

由三角函数的诱导公式可得，再结合三角函数图像的平移变换即可得解.【题目详解】解：由，即为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度，故选：B.【题目点拨】本题考查了三角函数图像的平移变换及三角函数的诱导公式，属基础题.4、C【解题分析】

先求出直线和圆相交时的取值范围，然后根据线型的几何概型概率公式求解即可．【题目详解】由题意得，圆的圆心为，半径为，直线方程即为，所以圆心到直线的距离，又直线与圆相交，所以，解得．所以在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为．故选C．【题目点拨】本题以直线和圆的位置关系为载体考查几何概型，解题的关键是由直线和圆相交求出参数的取值范围，然后根据公式求解，考查转化和计算能力，属于基础题．5、A【解题分析】

模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i＝6时不满足条件i＜6，退出循环，输出S的值为S+1﹣9+16﹣25＝﹣18，从而解得S的值．【题目详解】解：由题意，模拟执行程序，可得i＝2，满足条件i＜6，满足条件i是偶数，S＝S+1，i＝3满足条件i＜6，不满足条件i是偶数，S＝S+1﹣9，i＝1满足条件i＜6，满足条件i是偶数，S＝S+1﹣9+16，i＝5满足条件i＜6，不满足条件i是偶数，S＝S+1﹣9+16﹣25，i＝6不满足条件i＜6，退出循环，输出S的值为S+1﹣9+16﹣25＝﹣18，故解得：S＝﹣1．故选A．点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序，正确得到循环结束时S的表达式是解题的关键，属于基础题．6、C【解题分析】分析：题意所求情况分为两种，两白一红，两红一白，两种情况，列式为，除以总的事件个数即可.详解：3个球颜色不同，即分为：两白一红，两红一白，两种情况，列式为，总的事件个数为，概率为.故答案为：C.点睛：这个题目考差了古典概型的计算，对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.7、A【解题分析】

通过分析每人有4种借阅可能，即可得到答案.【题目详解】对于甲来说，有4种借阅可能，同理每人都有4种借阅可能，根据乘法原理，故共有种可能，答案为A.【题目点拨】本题主要考查乘法分步原理，难度不大.8、B【解题分析】

根据函数的零点存在原理判断区间端点处函数值的符号情况，从而可得答案.【题目详解】由的图像在上是连续不间断的.且在上单调递增，又，,根据函数的零点存在原理有：在在有唯一零点且在内.故选：B.【题目点拨】本题考查函数的零点所在区间，利用函数的零点存在原理可解决，属于基础题.9、C【解题分析】

使用裂项法及m，n的范围求出m，n的值，从而求出答案．【题目详解】∵1=1∴1=1∴1∵m⩽n，m，n∈N∴m=13，n=20，所以mn=260.故选：C【题目点拨】本题主要考查归纳推理和裂项相消法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.10、D【解题分析】试题分析：函数f（x）在区间[a，b]上有零点，需要f（x）在此区间上的图像连续且两端点函数值异号，即f（a）f（b）≤0，把选择项中的各端点值代入验证可得答案D．考点：零点存在定理11、A【解题分析】

根据分段函数解析式，结合指数幂与对数的运算，即可化简求解.【题目详解】函数则，所以，故选：A.【题目点拨】本题考查了分段函数的求值，指数幂与对数式的运算应用，属于基础题.12、C【解题分析】分析：，利用二项展开式可证明能被11整除.详解：.故能整除（其中）的是11.故选C.点睛：本题考查利用二项式定理证明整除问题，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1；【解题分析】

分别计算侧面积和底面积后再比较．【题目详解】由题意，，，∴．故答案为1．【题目点拨】本题考查圆锥的侧面积，掌握侧面积计算公式是解题关键．属于基础题．14、3【解题分析】由题设{x2-2x-3=015、60【解题分析】试题分析：当一，二，三等奖被三个不同的人获得，共有种不同的方法，当一，二，三等奖被两个不同的人获得，即有一个人获得其中的两个奖，共有,所以获奖的不同情况有种方法,故填：60.考点：排列组合【方法点睛】本题主要考察了排列组合和分类计数原理，属于基础题型，重点是分析不同的获奖情况包含哪些情况，其中一，二，三等奖看成三个不同的元素，剩下的5张无奖奖券看成相同元素，那8张奖券平均分给4人，每人2张，就可分为三张奖券被3人获得，或是被2人获得的两种情况，如果是被3人获得，那这4组奖券就可看成4个不同的元素的全排列，如何2人获得，3张奖券分为2组，从4人挑2人排列，最后方法相加.16、【解题分析】

根据复数的四则运算以及共轭复数的概念即可求解．【题目详解】，，共轭复数为故答案为【题目点拨】本题主要考查复数的四则运算以及共轭复数，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）当时，；当时，；当时，（2）【解题分析】

（1）由含参二次不等式的解法可得，只需，，即可得解；（2）由函数定义域的求法求得，再结合命题间的充要性求解即可.【题目详解】解：（1）因为，所以，当时，；当时，方程无解；当时，，故当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.（2）解不等式，即，即，解得，即，由，，若是的必要不充分条件，可得是的真子集，则当时，则，即；当时，显然满足题意；当时，则，即，综上可知：，故实数的取值范围为.【题目点拨】本题考查了函数定义域的求法、含参二次不等式的解法及充要条件，重点考查了分类讨论的数学思想方法及简易逻辑，属中档题.18、（1）；（2）的单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值.【解题分析】

首先求得；（1）将代入求得且点坐标，根据导数的几何意义可求得切线斜率，利用点斜式可得切线方程；（2）令导函数等于零，求得，从而可得导函数在不同区间内的符号，进而得到单调区间；根据极值的定义可求得极值.【题目详解】由得：（1）在处切线斜率：，又所求切线方程为：，即：（2）令，解得：当时，；当时，的单调递减区间为：；单调递增区间为：的极小值为：；无极大值【题目点拨】本题考查利用导数求解曲线在某一点处的切线方程、求解导数的单调区间和极值的问题，考查学生对于导数基础应用的掌握.19、(1),；(2).【解题分析】

(1)易得和为导函数的两个零点,代入计算即可求得.(2)求导分析的解集即可.【题目详解】(1)∵.∴,∵函数在和处都取得极值,故和为的两根.故.即,(2)由(1)得故当,即时,即,解得或.∴函数的单调递增区间为.【题目点拨】本题主要考查了根据极值点求解参数的问题以及求导分析函数单调增区间的问题.需要根据题意求导,根据极值点为导函数的零点以及导函数大于等于0则原函数单调递增求解集即可.属于中档题.20、（1）分布列详见解析，数学期望为151.5元；（2）推荐该公司选择乙的方案，理由详见解析.【解题分析】

（1）首先根据茎叶图得到的所有可能取值为：，，，，，并计算其概率，再列出分布列求数学期望即可.（2）根据题意求出乙的日均工资额，再比较甲乙的日工资额即可.【题目详解】（1）设甲日送件量为，则当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，所以的所有可能取值为：，，，，．，，，，.的分布列为（元）.（2）乙的日均送件量为：乙的日均工资额为：（元），而甲的日均工资额为：元，元元，因此，推荐该公司选择乙的方案．【题目点拨】本题主要考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了茎叶图和数学期望在决策中的作用，属于中档题.21、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）取中点，中点，连结，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点在靠近点的三等分点处；（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能证明无论点D的位置如何，二面角的余弦值都为定值．【题目详解】解：（1）在图2中，取中点，中点，连结，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，∴，，，，故，，∵异面直线与垂直，∴，解得x（舍）或x，∴，∴图1中点在靠近点的三等分点处．（2）证明：平面的法向量，