2024届湖南省长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

2024届湖南省长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学数学高二第二学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为（）A． B． C． D．2．己知复数z1=3+ai(a∈R),z2A．-1 B．1 C．10 D．33．过点且与平行的直线与圆：交于，两点，则的长为（）A． B． C． D．4．已知复数满足方程，复数的实部与虚部和为，则实数（）A． B． C． D．5．定义在上的奇函数满足，当时，，则在区间上是()A．增函数且 B．增函数且C．减函数且 D．减函数且6．已知曲线：经过点，则的最小值为（）A．10 B．9 C．6 D．47．下列函数中，满足“且”的是()A． B．C． D．8．已知复数，则（）A．4 B．6 C．8 D．109．已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．10．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的12，男生喜欢抖音的人数占男生人数的16，女生喜欢抖音的人数占女生人数23，若有99%参考公式：KP0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828A．12人 B．18人 C．24人 D．30人11．．设(x1,y1),(x2,y2A．x和y的相关系数为直线l的斜率B．x和y的相关系数在0到1之间C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同D．直线l过点(12．函数是定义在R上的奇函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值为（）A．2B．1C．0D．不能确定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知服从二项分布，则________.14．若双曲线的一个焦点是，则该双曲线的渐近线方程是______15．已知函数，若，则m的取值范围是___________.16．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，与交于两点，则_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）求直线的普通方程及曲线直角坐标方程；（2）若曲线上的点到直线的距离的最小值.18．（12分）已知函数满足，其中.（1）求的值及的最小正周期；（2）当时，求的最值.19．（12分）已知函数（其中），．（Ⅰ）若命题“”是真命题，求的取值范围；（Ⅱ）设命题：；命题：．若是真命题，求的取值范围．20．（12分）设函数，，，其中是的导函数.（1）令，，，求的表达式；（2）若恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知函数.(I)求的减区间;(II)当时,求的值域.22．（10分）甲、乙两位同学进入新华书店购买数学课外阅读书籍，经过筛选后，他们都对三种书籍有购买意向，已知甲同学购买书籍的概率分别为,乙同学购买书籍的概率分别为,假设甲、乙是否购买三种书籍相互独立.（1）求甲同学购买3种书籍的概率；（2）设甲、乙同学购买2种书籍的人数为,求的概率分布列和数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：三棱锥的三条侧棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可.详解：根据题意可知三棱锥的三条侧棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱中，底面，,，的外接圆的半径为，由题意可得：球心到底面的距离为.球的半径为.外接球的表面积为：.故选：C.点睛：考查空间想象能力，计算能力.三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提.2、B【解题分析】

根据复数的除法运算和纯虚数的概念求得.【题目详解】由已知得：z1z所以3-3a=09+a≠0,解得：故选B.【题目点拨】本题考查复数的除法运算和纯虚数的概念,属于基础题.3、D【解题分析】

由题意可得直线，求得圆心到直线距离，再由弦长公式即可求解【题目详解】设直线过点，可得，则直线圆的标准方程为，圆心为，圆心到直线距离，，故选D【题目点拨】本题考查用设一般方程求平行直线方程以及几何法求圆的弦长问题4、D【解题分析】分析：由复数的运算，化简得到z，由实部与虚部的和为1，可求得的值．详解：因为所以因为复数的实部与虚部和为即所以所以选D点睛：本题考查了复数的基本运算和概念，考查了计算能力，是基础题．5、B【解题分析】

先利用函数奇偶性求出函数在上的解析式，然后利用周期性求出函数在上的解析式，结合解析式对其单调性以及函数值符号下结论．【题目详解】设，则，，由于函数为上的奇函数，则，当时，，则.所以，函数在上是增函数，且当时，，，故选B.【题目点拨】本题考查函数单调性与函数值符号的判断，解决函数问题关键在于求出函数的解析式，本题的核心在于利用奇偶性与周期性求出函数的解析式，属于中等题．6、B【解题分析】

曲线过点得，所以展开利用均值不等式可求最小值.【题目详解】由曲线：经过点得.所以当且仅当，即时取等号.故选：B【题目点拨】本题考查利用均值不等式求满足条件的最值问题，特殊数值1的特殊处理方法，属于中档题.7、C【解题分析】

根据题意知，函数在上是减函数，根据选项判断即可。【题目详解】根据题意知，函数在上是减函数。选项A，在上是增函数，不符合；选项B，在上不单调，不符合；选项C，在上是减函数，符合；选项D，在上是增函数，不符合；综上，故选C。【题目点拨】本题主要考查函数单调性的定义应用以及常见函数的单调性的判断。8、D【解题分析】

根据复数的模长公式进行计算即可．【题目详解】z＝8+6i，则8﹣6i，则||10，故选：D．【题目点拨】本题主要考查复数的模长的计算，根据条件求出是解决本题的关键．9、B【解题分析】

利用函数奇偶性和单调性可得，距离y轴近的点，对应的函数值较小，可得选项.【题目详解】因为函数满足，且函数在上是减函数，所以可知距离y轴近的点，对应的函数值较小；，且，所以，故选B.【题目点拨】本题主要考查函数性质的综合应用，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养.10、B【解题分析】

设男生人数为x，女生人数为x2，完善列联表，计算K2【题目详解】设男生人数为x，女生人数为x喜欢抖音不喜欢抖音总计男生1656x女生1316x总计xx32K男女人数为整数故答案选B【题目点拨】本题考查了独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力.11、D【解题分析】因回归直线一定过这组数据的样本中心点(x点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求a,b，写出回归方程，回归直线方程恒过点12、A【解题分析】试题分析：∵函数是定义在上的奇函数，∴，令代入可得，函数关于对称，由函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数关于对称从而有，故选A．考点：奇偶函数图象的对称性．【思路点睛】利用奇函数的定义可把已知转化为，从而可得函数关于对称，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则关于对称，代入即可求出结果．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：先根据二项分布数学期望公式得，再求.详解：因为服从二项分布，所以所以点睛：本题考查二项分布数学期望公式，考查基本求解能力.14、【解题分析】

利用双曲线的焦点坐标，求解，然后求解双曲线的渐近线方程。【题目详解】双曲线的一个焦点是，可得，解得，所以双曲线的渐近线方程是故答案为：【题目点拨】本题考查双曲线的渐近线方程，属于基础题。15、【解题分析】

求导得到，利用均值不等式判断，得到函数单调递增，故，解得答案.【题目详解】，函数在R上单调递增，又，，可得，解得或.故答案为：.【题目点拨】本题考查了利用函数的单调性解不等式，均值不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.16、8【解题分析】

将曲线极坐标方程化为化为直角坐标方程，将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，得到韦达定理的形式；利用可求得结果.【题目详解】曲线的直角坐标方程为：，把直线代入得：，，，则.故答案为：.【题目点拨】本题考查极坐标与参数方程中的弦长问题的求解，涉及到极坐标化直角坐标，直线参数方程中参数的几何意义等知识的应用；关键是明确直线参数方程标准方程中参数的几何意义，利用几何意义知所求弦长为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）.【解题分析】

(1)直接利用参数方程和极坐标方程公式得到答案.(2)计算圆心到直线的距离，判断相离，再利用公式得到答案.【题目详解】解：（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为（2）曲线的圆心到直线的距离所以直线与圆相离，则曲线上的点到直线的距离的最小值为【题目点拨】本题考查了参数方程和极坐标方程，将圆上的点到直线的距离转化为圆心到直线的距离是解题的关键.18、（1）；（2）最大值为3，最小值为．【解题分析】

(1)代入即可得到的值，化简整理，利用周期公式即可得到答案；（2）当，利用第一问求得的解析式分析可得到最值.【题目详解】解：（1）由，得，解得所以函数的最小正周期（2）当时，，所以的最大值为3，最小值为．【题目点拨】本题主要考查三角函数中周期的计算，最值的计算，意在考查学生的基础知识，难度不大.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解题分析】试题分析：（1），即，，解得；（2）是真命题，则都是真命题.当时，，故需.或，故，.当时，，故需.，所以，.综上所述，.试题解析：（1）∵命题“”是真命题，即，∴，解得，∴的取值范围是；（2）∵是真命题，∴与都是真命题，当时，，又是真命题，则∵，∴，∴或∴，解得当时，∵是真命题，则，使得，而∵，∴，∴，解得求集合的交集可得.考点：命题真假性判断，含有逻辑联结词的命题．20、（1）；（2）.【解题分析】分析：（1）求出的解析式，依次计算即可得出猜想；

（2）已知恒成立，即恒成立．设(x≥0)，则φ′(x)＝=－＝，对进行讨论，求出的最小值，令恒成立即可；详解：由题设得，g(x)＝(x≥0)．(1)由已知，g1(x)＝，g2(x)＝g(g1(x))＝＝，g3(x)＝，…，可得gn(x)＝.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，g1(x)＝，结论成立．②假设n＝k时结论成立，即gk(x)＝.那么，当n＝k＋1时，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝，即结论成立．由①②可知，结论对n∈N＋成立．所以gn(x)＝.(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立．设φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)，则φ′(x)＝=－＝，当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x＝0，a＝1时等号成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1时，ln(1＋x)≥恒成立(仅当x＝0时等号成立)．当a>1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，∴φ(a－1)<φ(0)＝0，即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥不恒成立．综上可知，a的取值范围是(－∞，1]．点睛：本题考查了函数的单调性判断与最值计算，数学归纳法证明，分类讨论思想，属于中档题．21、(I)(II)【解题分析】

(I)对函数进行求导，求出导函数小于零时，的取值范围即可。(II)利用导数求出函数的增区间，结合（1），判断当时，函数的单调性，然后求出最值。【题目详解】解:(I)由函数,求导当,解得即的减区间(II)当,解得即在上递减,在上递增故的值域【题目点拨】本题考查了