2024届安徽黄山市数学高二下期末教学质量检测试题含解析

2024届安徽黄山市数学高二下期末教学质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设fx=sinxcosA．12 B．32 C．-2．若函数的图象与直线相切，则()A． B． C． D．3．己知复数z满足，则A． B． C．5 D．254．已知双曲线C:x216-yA．6x±y=0 B．C．x±2y=0 D．2x±y=05．若函数有三个零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．6．将两个随机变量之间的相关数据统计如表所示：根据上述数据，得到的回归直线方程为，则可以判断（）A． B． C． D．7．已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（）A． B． C． D．8．设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值是（）A． B． C． D．9．函数的图象在点处的切线方程为A． B． C． D．10．已知椭圆的左右焦点分别为，，以为圆心，为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点，且直线的斜率为，则椭圆的离心率为A． B． C． D．11．已知集合，,则等于()A． B． C． D．12．已知函数f(x)在R上可导，且f(x)=x2A．f(x)=x2C．f(x)=x2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为__________．（用数字作答）14．已知分别为的三个内角的对边，，且，为内一点，且满足，则__________．15．函数在处的切线方程是______.16．已知在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，分别是棱的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1千多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体.如图，在堑堵中，.（1）求证：四棱锥为阳马；并判断四面体是否为鳖臑，若是，请写出各个面的直角（要求写出结论）.（2）若，当阳马体积最大时，求二面角的余弦值.19．（12分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．（1）求乙以4比1获胜的概率；（2）求甲获胜且比赛局数多于5局的概率．20．（12分）如图，在四边形中，.（1）求的余弦值；（2）若，求的长.21．（12分）已知函数f（x）=sin+cos，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期，并求函数f（x）在x∈[﹣2π，2π]上的单调递增区间；（2）函数f（x）=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数f（x）的图象．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，极坐标系中，弧所在圆的圆心分别为，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.（1）分别写出的极坐标方程；（2）直线的参数方程为（为参数），点的直角坐标为，若直线与曲线有两个不同交点，求实数的取值范围，并求出的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

曲线在点π6,fπ【题目详解】∵f∴f【题目点拨】本题考查函数求导及导数的几何意义，属于基础题.2、B【解题分析】

设切点为，由可解得切点坐标与参数的值。【题目详解】设切点为，则由题意知即解得或者故选B【题目点拨】高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围．3、B【解题分析】

先计算复数再计算.【题目详解】故答案选B【题目点拨】本题考查了复数的化简，复数的模，属于基础题型.4、C【解题分析】

根据双曲线的性质，即可求出。【题目详解】令x216双曲线C的渐近线方程为x±2y=0，故选C。【题目点拨】本题主要考查双曲线渐近线方程的求法。5、A【解题分析】

令分离常数，构造函数，利用导数研究的单调性和极值，结合与有三个交点，求得的取值范围.【题目详解】方程可化为，令，有，令可知函数的增区间为，减区间为、，则，，当时，，则若函数有3个零点，实数的取值范围为．故选A.【题目点拨】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.6、C【解题分析】

根据最小二乘法，求出相关量，，即可求得的值。【题目详解】因为，，，所以，，故选C。【题目点拨】本题主要考查利用最小二乘法求线性回归方程，意在考查学生的数学运算能力。7、D【解题分析】

构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，在不等式两边同时乘以化为，即，然后利用函数在上的单调性进行求解即可.【题目详解】构造函数，其中，则，所以，函数在定义域上为增函数，在不等式两边同时乘以得，即，所以，解得，因此，不等式的解集为，故选：D.【题目点拨】本题考查利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下：（1）根据导数不等式的结构构造新函数；（2）利用导数分析函数的单调性，必要时分析该函数的奇偶性；（3）将不等式变形为，利用函数的单调性与奇偶性求解.8、A【解题分析】

构造函数，根据等式可得出函数为偶函数，利用导数得知函数在上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在上单调递增，由，得出，利用函数的单调性和偶函数的性质解出该不等式即可.【题目详解】构造函数，对任意实数，都有，则，所以，函数为偶函数，.当时，，则函数在上单调递减，由偶函数的性质得出函数在上单调递增，，即，即，则有，由于函数在上单调递增，，即，解得，因此，实数的最小值为，故选A.【题目点拨】本题考查函数不等式的求解，同时也涉及函数单调性与奇偶性的判断，难点在于根据导数不等式的结构构造新函数，并利用定义判断奇偶性以及利用导数判断函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.9、C【解题分析】f′(x)＝，则f′(1)＝1，故函数f(x)在点(1，－2)处的切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.故选C10、D【解题分析】

利用直角三角形的边角关系、椭圆的定义离心率计算公式即可得出．【题目详解】在Rt△PF1F2中，∠F1PF2=90°，直线的斜率为故得到∠POF2=60°，∴|PF2|=c，由三角形三边关系得到|PF1|=，又|PF1|+|PF2|=2a=c+，∴.故选：D．【题目点拨】本题考查椭圆的几何性质及其应用，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).11、C【解题分析】

分析：利用一元二次不等式的解法求出中不等式的解集确定出，然后利用交集的定义求解即可.详解：由中不等式变形得，解得，即，因为，，故选C.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.12、A【解题分析】

先对函数f(x)求导，然后将x=1代入导函数中，可求出f'(1)=-2，从而得到f(x)【题目详解】由题意，f'(x)=2x+2f'(1)，则f故答案为A.【题目点拨】本题考查了函数解析式的求法，考查了函数的导数的求法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，

故不同的选派方案种数为C12•C34+C22•C24=2×4+1×6=1；法二：从4男2女中选4人共有C46种选法，4名都是男生的选法有C44种，

故至少有1名女生的选派方案种数为C46-C44=15-1=1．故答案为1点睛：本题考查简单的排列组合，建议如果分类讨论太复杂的题目最好用间接法即排除法，以避免直接的分类不全情况出现．14、【解题分析】

运用余弦定理可求得，利用同角三角函数关系式中的平方关系求得，再由题意可得O为的重心，得到，由三角形的面积公式，解方程可得所求值.【题目详解】由余弦定理可得，因为，且，所以，整理得，所以，从而得，满足，且，可得O为的重心，且，即，则，故答案是.【题目点拨】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，同角三角函数关系，三角形重心的性质，三角形面积公式，熟练掌握基础知识是解题的关键.15、【解题分析】函数，求导得：，当时，，即在处的切线斜率为2.又时，，所以切线为：，整理得：.故答案为：.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．16、【解题分析】

令，则由题意可得函数在区间上为增函数且，故有，由此解得实数的取值范围.【题目详解】令，则由函数，在区间上为减函数，可得函数在区间上为增函数且，故有，解得，故答案为.【题目点拨】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题；求复合函数的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）依据线面平行的判定定理，在面中寻找一条直线与平行，即可由线面平行的判定定理证出；(2)建系，分别求出平面，平面的法向量，根据二面角的计算公式即可求出二面角的余弦值．【题目详解】（1）证明：如图，取中点为，连结，则，所以与平行与且相等，所以四边形是平行四边形，所以平面，平面，所以平面.（2）令，因为是中点，所以平面，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，在菱形中，，所以，，在中，，则，，，，，设平面的法向量为，所以，所以可取，又因平面的法向量，所以.由图可知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.【题目点拨】本题主要考查线面平行的判定定理应用以及二面角的求法，常见求二面角的方法有定义法，三垂线法，坐标法．18、（1）证明见解析；是，，，，；（2）.【解题分析】

（1）由堑堵的性质得：四边形是矩形，推导出，，从而BC⊥平面，由此能证明四棱锥为阳马，四面体是否为鳖臑;（2）阳马B﹣A1ACC1的体积：阳马的体积：，当且仅当时，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当阳马体积最大时，二面角的余弦值．【题目详解】证明：（1）由堑堵的性质得：四边形是矩形，底面，平面，，又，，平面，面，四棱锥为阳马，四面体为鳖臑，四个面的直角分别是，，，.（2），由（1）知阳马的体积：，当且仅当时，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，设当阳马体积最大时，二面角的平面角为，则，当阳马体积最大时，二面角的余弦值为.【题目点拨】本题考查棱锥的结构特征的运用，直线与平面垂直的性质，线面垂直的判定，二面角的向量求法，关键在于熟练掌握空间的线面、面面关系，二面角的向量求解方法，属于中档题.19、（1）（2）【解题分析】

（1）记“乙以4比1获胜”为事件A，，则A表示乙赢了3局甲赢了1局，且第五局乙赢，再根据n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式求得的值．（2）利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式求得甲以4比2获胜的概率，以及甲以4比3获胜的概率，再把这2个概率值相加，即得所求．【题目详解】解：（1）由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是，记“乙以4比1获胜”为事件A，则A表示乙赢了3局甲赢了一局，且第五局乙赢，∴．（2）记“甲获胜且比赛局数多于5局”为事件B，则B表示甲以4比2获胜，或甲以4比3获胜．因为甲以4比2获胜，表示前5局比赛中甲赢了3局且第六局比赛中甲赢了，这时，无需进行第7局比赛，故甲以4比2获胜的概率为．甲以4比3获胜，表示前6局比赛中甲赢了3局且第7局比赛中甲赢了，故甲以4比3获胜的概率为，故甲获胜且比赛局数多于5局的概率为．【题目点拨】问题（1）中要注意乙以4比1获胜不是指5局中乙胜4局，而是要求乙在前4局中赢3局输一局，然后第5局一定要赢，要注意审题．问题（2）有“多于”这种字眼的，可以进行分类讨论．20、（1）（2）【解题分析】

（1）先利用余弦定理求出BC=2,再利用正弦定理求出，再求的余弦值；（2）先求出,再利用正弦定理求AD得解.【题目详解】解：（1）因为，所以，即，所以.由正弦定理得，所以，又因为，所以.（2）由（1）得，所以，所以，所以.【题目点拨】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.21、（1）函数f（x）在x∈[﹣2π，2π]上的单调递增区间是[，]．（2）见解析【解题分析】试题分析：将f（x）化为一角一函数形式得出f（x）=2sin（），（1）利用≤≤，且x∈[﹣2π，2π]，对k合理取值求出单调递增区间（2）该函数图象可由y=sinx的图象，先向左平移，再图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的2倍，，即得到函数y=2sin（）解：f（x）=sin+cos=2sin（）（1）最小正周期T==4π．令z=，函数y=sinz的单调递增区间是[，]，k∈Z．由