天津市滨海新区大港第八中学2024届数学高二第二学期期末综合测试试题含解析

天津市滨海新区大港第八中学2024届数学高二第二学期期末综合测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．箱子中有标号为1，2，3，4，5，6且大小、形状完全相同的6个球，从箱子中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，则恰好有3人获奖的概率为()A．16625 B．96625 C．6242．将两颗骰子各掷一次，设事件“两个点数不相同”，“至少出现一个6点”，则概率等于（）A． B． C． D．3．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上，不同的种植方法共有()A．12种 B．24种 C．36种 D．48种4．在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，若曲线与交于、两点，则等于（）A． B． C． D．5．已知向量，，若，则()A． B．1 C．2 D．6．在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作.设这两个开关能够闭合的概率分别为0.5和0.7，则线路能够正常工作的概率是（）A．0.35 B．0.65 C．0.85 D．7．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＝xlnx，，则f(x)()A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值8．某大学安排5名学生去3个公司参加社会实践活动，每个公司至少1名同学，安排方法共有()种A．60 B．90 C．120 D．1509．.盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为A．15B．25C．110．在某次试验中，实数的取值如下表：013561.35.67.4若与之间具有较好的线性相关关系，且求得线性回归方程为，则实数的值为（）A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.911．函数的定义域为，且，当时，；当时，，则A．672 B．673 C．1345 D．134612．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为()A．(－1,4) B．(－2,0) C．(－1,0) D．(－1,2)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．多项式的展开式中，含项的系数是________.14．已知双曲线E:x2a2-15．已知复数满足，则等于______.16．若复数，则__________．（是的共轭复数）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（Ⅰ）求的值及函数的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数的最大值.18．（12分）在直角坐标系中，是过点且倾斜角为的直线.以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的参数方程与曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，，求.19．（12分）在提出的“变害为利，造福人民”的木兰溪全流域治理系统过程中，莆田市环保局根据水文观测点的历史统计数据，得到木兰溪某段流域的每年最高水位（单位：米）的频率分布直方图（如图）.若将河流最高水位落入各组的频率视为概率，并假设每年河流最高水位相互独立．（1）求在未来3年里，至多有1年河流最高水位的概率（结果用分数表示）；（2）根据评估，该流域对沿河企业影响如下：当时，不会造成影响；当时，损失1000万元；当时，损失6000万元．为减少损失，莆田市委在举行的一次治理听证会上产生了三种应对方案：方案一：布置能防御35米最高水位的工程，需要工程费用380万元；方案二：布置能防御31米最高水位的工程，需要工程费用200万元；方案三：不采取措施；试问哪种方案更好，请说明理由．20．（12分）某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求：（1）随机变量ξ的分布列；（2）随机变量ξ的均值．21．（12分）设数列的前项和为，且满足.（1）若为等比数列，求的值及数列的通项公式；（2）在（1）的条件下，设，求数列的前项和.22．（10分）如图，在矩形中，，，点是边上一点，且，点是的中点，将沿着折起，使点运动到点处，且满足.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】获奖的概率为p=6C62=25，记获奖的人数为ξ，ξ~B(4,2、A【解题分析】解：由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36-6=30至少出现一个6点的情况分二类，给两个骰子编号，1号与2号，若1号是出现6点，2号没有6点共五种2号是6点，一号不是6点有五种，若1号是出现6点，2号也是6点，有1种，故至少出现一个6点的情况是11种∴=3、B【解题分析】

由分步计数原理计算可得答案．【题目详解】根据题意，分2步进行分析：①、先在4种蔬菜品种中选出3种，有种取法，②、将选出的3种蔬菜对应3块不同土质的土地，有种情况，则不同的种植方法有种；故选：B．【题目点拨】本题考查计数原理的运用，注意本题问题要先抽取，再排列．4、B【解题分析】

由题意可知曲线与交于原点和另外一点，设点为原点，点的极坐标为，联立两曲线的极坐标方程，解出的值，可得出，即可得出的值.【题目详解】易知，曲线与均过原点，设点为原点，点的极坐标为，联立曲线与的坐标方程，解得，因此，，故选：B.【题目点拨】本题考查两圆的相交弦长的计算，常规方法就是计算出两圆的相交弦方程，计算出弦心距，利用勾股定理进行计算，也可以联立极坐标方程，计算出两极径的值，利用两极径的差来计算，考查方程思想的应用，属于中等题.5、B【解题分析】

由，，表示出，再由，即可得出结果.【题目详解】因为，，所以，又，所以，即，解得.故选B【题目点拨】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.6、C【解题分析】试题分析：线路能够了正常工作的概率=,故选C.考点：独立事件，事件的关系与概率.7、D【解题分析】因为xf′(x)－f(x)＝xlnx，所以，所以，所以f(x)＝xln2x＋cx.因为f()＝ln2＋c×＝，所以c＝，所以f′(x)＝ln2x＋lnx＋＝(lnx＋1)2≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上既无极大值，也无极小值，故选D.点睛：根据导函数求原函数，常常需构造辅助函数，一般根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等8、D【解题分析】分析：由题意结合排列组合公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知，5人的安排方案为或，结合平均分组计算公式可知，方案为时的方法有种，方案为时的方法有种，结合加法公式可知安排方法共有种.本题选择D选项.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．9、D【解题分析】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有5+10=15种结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有10种结果，∴根据等可能事件的概率得到P==1010、D【解题分析】

根据表中数据求得，代入回归直线方程即可求得结果.【题目详解】由表中数据可知：，又，解得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查利用回归直线求解数据的问题，关键是明确回归直线恒过点，属于基础题.11、D【解题分析】

根据函数周期的定义，得到函数是周期为3的周期函数，进而求得的值，进而得到，即可求解.【题目详解】根据题意，函数的定义域为，且，则函数是周期为3的周期函数，又由当时，，则，当时，，则，由函数是周期为3的周期函数，则则，所以，故选D.【题目点拨】本题主要考查了函数周期性的应用，以及函数值的计算，其中解答中根据函数周期性的定义，求得函数是周期为3的周期函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12、A【解题分析】

根据函数的奇偶性和周期性将条件进行转化，利用不等式的解法即可得到结论．【题目详解】∵f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，∴f（5）=f（5﹣6）=f（﹣1）=f（1），∴由f（1）＜1，f（5）=，得f（5）=＜1，即﹣1＜0，＜0，即（a﹣4）（a+1）＜0，解得：﹣1＜a＜4，故选：A．【题目点拨】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、200【解题分析】

根据题意，由二项式定理可得，的通项公式为，令，求出对应的值即可求解.【题目详解】根据题意，由二项式定理可得，的通项公式为，当时，可得，当时，可得，所以多项式的展开式中，含的项为，故多项式的展开式中，含项的系数为.故答案为：【题目点拨】本题考查利用二项式定理求二项展开式中某项的系数；考查运算求解能力；熟练掌握二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.14、2【解题分析】

可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±b2a，再根据题意，设出A,B,C,D的坐标，由2AB=3【题目详解】令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b由题意可设A(-c,b由2AB=3BC，由b2=c2-a2故答案是2.【题目点拨】该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有双曲线上的点的坐标的求法，根据双曲线对称性，得到四个点A,B,C,D四个点的坐标，应用双曲线中系数的关系，以及双曲线的离心率的公式求得结果.15、【解题分析】

先求出复数z,再求|z|.【题目详解】由题得.故答案为【题目点拨】（1）本题主要考查复数的计算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)复数的模.16、2【解题分析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，进而得到最后求出复数的模即可．详解：由，可得∴，∴故答案为：2点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ），最小正周期为；（Ⅱ）2.【解题分析】

（Ⅰ）整理，得，由周期公式可得解；（Ⅱ）由已知可得，所以，问题得解.【题目详解】（Ⅰ）∵，∴，∴，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∵，则，∴，∴的最大值为2.【题目点拨】本题考查了辅助角公式和三角函数周期公式，考查了整体法求三角函数的值域，属于中档题.18、（1）直线的参数方程为（为参数）;；（2）【解题分析】

分析：(1)先根据倾斜角写直线的参数方程，根据，将曲线极坐标方程化为直角坐标方程，(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义以及韦达定理得.详解：（1）直线的参数方程为（为参数）.由曲线的极坐标方程，得，把，，代入得曲线的直角坐标方程为.（2）把代入圆的方程得，化简得，设，两点对应的参数分别为，，则，∴，，则.点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cosα，y0＋t1sinα)，(x0＋t2cosα，y0＋t2sinα).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.19、（1）（2）见解析【解题分析】

（1）先在频率分布直方图中找出河流最高水位在区间的频率，然后利用独立重复试验的概率公式计算出所求事件的概率；（2）计算出三种方案的损失费用期望，在三种方案中选择损失最小的方案．【题目详解】（1）由题设得，所以，在未来3年里，河流最高水位发生的年数为，则～，记事件“在未来3年里，至多有1年河流水位”为事件，则，∴未来3年里，至多有1年河流水位的概率为．（2）由题设得，，用分别表示方案一、方案二、方案三的损失，由题意得万元，的分布列为：20062000.990.01万元，的分布列为：0100060000.740.250.01∴万元，三种方案采取方案二的损失最小，采取方案二好．【题目点拨】本题考查独立重复试验概率的计算，考查离散型随机变量分布列及其数学期望，在求解时要弄清随机变量所服从的分布列类型，考查计算能力，属于中等题．20、(1)见解析；(2)【解题分析】

（1）一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验．故ξ～B，由此能求出ξ的分布列．（2）由ξ～B，能求出Eξ．【题目详解】（1）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故，即有，.由此可得的分布列为012345（2），.【题目点拨】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的合理运用．21、（1），；（2）.【解题分析】

（1）利用和关系得到，验