2024届河北省保定市长城高级中学数学高二第二学期期末考试模拟试题含解析

2024届河北省保定市长城高级中学数学高二第二学期期末考试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A． B． C． D．2．二项式的展开式中的常数项是A．第10项 B．第9项 C．第8项 D．第7项3．若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A． B． C． D．4．已知函数，给出下列四个说法：；函数的周期为；在区间上单调递增；的图象关于点中心对称其中正确说法的序号是A． B． C． D．5．口袋中装有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任意取出3个小球，以表示取出球的最大号码，则()A． B． C． D．6．下列等式中，错误的是（）A． B．C． D．7．设是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：①若，则②若，，则③若，，则④若，，则.其中真命题的序号为（）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④8．已知定义在上的可导函数的导函数为，对任意实数均有成立，且是奇函数，不等式的解集是（）A． B． C． D．9．在二维空间中，圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；在三维空间中，球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=4A．4πr4 B．3πr410．已知集合，，则＝（）A． B． C． D．11．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．80B．160C．240D．48012．某人射击一次命中目标的概率为，且每次射击相互独立，则此人射击7次，有4次命中且恰有3次连续命中的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．方程的正整数解的个数__________.14．对于自然数方幂和（，），，，求和方法如下：23﹣13＝3＋3＋1，33﹣23＝3×22＋3×2＋1，……(n＋1)3﹣n3＝3n2＋3n＋1，将上面各式左右两边分别，就会有(n＋1)3﹣13＝＋＋n，解得＝n(n＋1)(2n＋1)，类比以上过程可以求得，A，B，C，D，E，FR且与n无关，则A＋F的值为_______．15．根据所示的伪代码，若输入的的值为-1,则输出的结果为________.16．函数在区间的最大值为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前项和为，且满足，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，记数列的前项和为，证明：.18．（12分）设是椭圆上的两点，已知向量，，若且椭圆的离心率，短轴长为2，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过椭圆的焦点（为半焦距），求直线的斜率的值；（3）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.19．（12分）某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为；若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为.每台仪器各项费用如表：项目生产成本检验费/次调试费出厂价金额（元）（1）求每台仪器能出厂的概率；（2）求生产一台仪器所获得的利润为元的概率（注：利润=出厂价-生产成本-检验费-调试费）；（3）假设每台仪器是否合格相互独立，记为生产两台仪器所获得的利润，求的分布列和数学期望.20．（12分）已知抛物线的焦点为，直线与轴相交于点，与曲线相交于点，且（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，过分别作抛物线的切线，两切线交于点，求证点的纵坐标为定值.21．（12分）已知中，三个内角，，所对的边分别为，，，满足.（1）求；（2）若，的面积为，求，的值.22．（10分）已知直线，，，其中与的交点为P.（1）求点P到直线的距离；（2）求过点P且与直线的夹角为的直线方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线，再由点到直线的距离公式求出结果.【题目详解】依题意，抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，其中一条为，由点到直线的距离公式得.故选C.【题目点拨】本小题主要考查抛物线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题.2、B【解题分析】展开式的通项公式Tr＋1＝，令＝0，得r＝8.展开式中常数项是第9项.选B.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.3、B【解题分析】

由抽象函数的定义域，对数的真数大于零，分母不为零，列出不等式，从而求出的定义域。【题目详解】由题可得：，解得且，所以函数的定义域为；故答案选B【题目点拨】本题主要抽象函数与初等函数的定义域，属于基础题。4、B【解题分析】

根据函数的周期性可排除，同时可以确定对．由，可去绝对值函数化为，可判断对．由取特值，可确定错．【题目详解】，所以函数的周期不为，错，，周期为．=，对．当时，，，所以f(x)在上单调递增．对．，所以错．即对，填．【题目点拨】本题以绝对值函数形式综合考查三角函数求函数值、周期性、单调性、对称性等性质，需要从定义角度入手分析，也是解题之根本．5、A【解题分析】

首先计算各个情况概率,利用数学期望公式得到答案.【题目详解】故.故本题正确答案为A.【题目点拨】本题考查了概率的计算和数学期望的计算,意在考查学生的计算能力.6、C【解题分析】分析：计算每一选项的左右两边，检查它们是否相等.详解：通过计算得到选项A,B,D的左右两边都是相等的.对于选项C,,所以选项C是错误的.故答案为C.点睛：本题主要考查排列组合数的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本计算能力.7、D【解题分析】

由题意结合立体几何的结论逐一考查所给的说法是否正确即可.【题目详解】逐一考查所给的命题：①如图所示，正方体中，取平面为平面，平面，直线为，满足，，但是不满足，题中所给的命题错误；②由面面垂直的性质定理可知若，，则，题中所给的命题正确；③如图所示，正方体中，取平面为，直线为，直线为，满足，，但是，不满足，题中所给的命题错误；④由面面垂直的性质定理可知若，，则，题中所给的命题正确.综上可得：真命题的序号为②④.本题选择D选项.【题目点拨】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.8、A【解题分析】

构造函数，利用导数和已知条件判断出在上递增，由此求解出不等式的解集.【题目详解】要求解的不等式等价于，令，，所以在上为增函数，又因为是奇函数，故，所以，所以所求不等式等价于，所以解集为，故选A.【题目点拨】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查导数的运算，考查利用导数判断函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.9、B【解题分析】

根据所给的示例及类比推理的规则得出，高维度的测度的导数是低一维的测度，从而得到W'【题目详解】由题知，S'=l,V'=S所以W=3πr4，故选【题目点拨】本题主要考查学生的归纳和类比推理能力。10、B【解题分析】

根据交集的概念，结合题中条件，即可求出结果.【题目详解】在数轴上画出集合A和集合B，找出公共部分，如图，可知故选B【题目点拨】本题主要考查集合交集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.11、B【解题分析】由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱截去一个三棱锥得到的，三棱柱的底面是直角三角形，两直角边边长为6和8，三棱柱的高为10，三棱锥的底面是直角三角形，两直角边为6和8，三棱锥的高为10，所以几何体的体积V=112、B【解题分析】

由于射击一次命中目标的概率为，所以关键先求出射击7次有4次命中且恰有3次连续命中的所有可能数，即根据独立事件概率公式得结果.【题目详解】因为射击7次有4次命中且恰有3次连续命中有种情况，所以所求概率为.选B.【题目点拨】本题考查排列组合以及独立事件概率公式，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

本题转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法，利用隔板法，即可求得答案.【题目详解】问题中的看作是三个盒子，问题则转化为把个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．将个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的个空内．共有种．

故答案为：【题目点拨】本题解题关键是掌握将正整数解的问题转化为组合数问题，考查了分析能力和转化能力，属于中档题.14、.【解题分析】分析：先根据推导过程确定A,F取法，即得A＋F的值.详解：因为,，所以,所以,,所以.点睛：本题考查运用类比方法求解问题，考查归纳观察能力.15、【解题分析】

通过读条件语句，该程序是分段函数，代入即可得到答案.【题目详解】根据伪代码，可知，当时，，故答案为.【题目点拨】本题主要考查条件程序框图的理解，难度不大.16、【解题分析】

利用导数，以及二倍角的正弦公式，判断函数的单调性，可得结果【题目详解】由，所以又，所以所以，故在单调递增所以故答案为：【题目点拨】本题考查函数在定区间的最值，关键在于利用导数判断函数的单调性，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1).(2)证明见解析.【解题分析】试题分析：（I）当时，，整理得，当n=1时，有.数列是以为公比，以为首项的等比数列．即可求数列的通项公式．（II）由（I）有，则,用裂项相消法可求其前n项和.试题解析：（I）当时，有，解得.当时，有，则整理得：数列是以为公比，以为首项的等比数列．即数列的通项公式为：．（II）由（I）有，则故得证.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）三角形的面积为定值1．【解题分析】试题分析：（1）根据条件可得，再设直线的方程为：，与椭圆联立方程组，利用韦达定理和已知条件，即可求出的值；（2）先考虑直线斜率不存在的情况，即，，根据，求得和的关系式，代入椭圆的方程求得点的横坐标和纵坐标的绝对值，进而求得△AOB的面积的值；当直线斜率存在时，设出直线的方程，与椭圆联立方程组，利用韦达定理表示出和，再利用，弦长公式及三角形面积公式求得答案.试题解析：（1）由题可得：，，所以，椭圆的方程为设的方程为：，代入得：∴，，∵，∴，即：即，解得：（2）①直线斜率不存在时，即，∵∴，即又∵点在椭圆上∴，即∴，∴，故的面积为定值1②当直线斜率存在时，设的方程为，联立得：∴，，∴所以三角形的面积为定值1.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的定值问题，解题时要注意解题技巧的运用，如常用的设而不求，整体代换的方法；探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个这个值与变量无关；②直接推理、计算，借助韦达定理，结合向量所提供的坐标关系，然后经过计算推理过程中消去变量，从而得到定值.19、（1）；（2）（3）见解析【解题分析】

试题分析：（Ⅰ）每台仪器能出厂的对立事件为不能出厂，根据对立事件的概率可得结果；（Ⅱ）由表可知生产一台仪器所获得的利润为元即初检不合格再次检测合格，根据相互独立事件同时发生的概率可得结果；（Ⅲ）由题意可得可取，，，，，，根据相互独立事件同时发生的概率计算出概率，可得分布列及期望.试题解析：（Ⅰ）记每台仪器不能出厂为事件，则，所以每台仪器能出厂的概率．（Ⅱ）生产一台仪器利润为1600的概率．（Ⅲ）可取，，，，，．，，，，，．的分布列为：380035003200500200．20、(1)；(2)证明见解析【解题分析】

（1）根据抛物线定义得，再根据点N坐标列方程，解得结果，（2）利用导数求切线斜率，再根据切线方程解得A点纵坐标，最后利用直线与方程联立方程组，借助韦达定理化简的纵坐标.【题目详解】解：（1）由已知抛物线的焦点，由，得，即因为点，所以，所以抛物线方程：（2）抛物线的焦点为设过抛物线的焦点的直线为．设直线与抛物线的交点分别为，由消去得：,根据韦达定理得抛物线,即二次函数，对函数求导数，得，所以抛物线在点处的切线斜率为可得切线方程为，化简得，同理，得到抛物线在点处切线方程为，两方程消去，得两切线交点纵坐标满足,，，即点的纵坐标是定值．【题目点拨】本题考查抛物线方程、抛物线切线方程以后利用韦达定理求值，考查综合分析求解能力，属中档题.21、(1)(2).【解题分析】分析：（1）