2024届浙江省温州市求知中学高二数学第二学期期末综合测试试题含解析

2024届浙江省温州市求知中学高二数学第二学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．某随机变量服从正态分布,若在内取值的概率为0.6则在内取值的概率为()A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.33．已知函数，设，则A． B．C． D．4．随机变量的分布列如右表，若，则（）012A． B． C． D．5．某同学通过英语听力测试的概率为，他连续测试次，要保证他至少有一次通过的概率大于，那么的最小值是()A． B． C． D．6．魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为：若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为A．16 B． C． D．7．某导弹发射的事故率为0.001，若发射10次，记出事故的次数为，则（）A．0.0999 B．0.001 C．0.01 D．0.009998．若复数是纯虚数（是实数，是虚数单位），则等于（）A．2 B．-2 C． D．9．已知空间不重合的三条直线、、及一个平面，下列命题中的假命题是（）．A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则10．若复数是纯虚数，则（）A． B． C． D．11．若复数（）不是纯虚数，则（）A． B． C． D．且12．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为10，14，则输出的（）A．6 B．4 C．2 D．0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围为______.14．若，，与的夹角为，则的值为______．15．计算____．16．在中，已知，则的值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．18．（12分）在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目.（Ⅰ）3名女生相邻，有多少种不同的站法？（Ⅱ）女生甲不能站在最左端，有多少种不同的站法？19．（12分）已知的内角A的大小为，面积为.(1)若，求的另外两条边长；(2)设O为的外心，当时，求的值.20．（12分）已知函数，．（1）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；（2）记表示中的最小值，若函数在内恰有一个零点，求实的取值范围．21．（12分）在锐角中，角所对的边分别为，已知．证明：；若的面积，且的周长为10，为的中点，求线段的长．22．（10分）（1）求过点且与两坐标轴截距相等的直线的方程；（2）已知直线和圆相交，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

等价于在上恒成立，即在上恒成立，再构造函数并求g(x)的最大值得解.【题目详解】在上恒成立，则在上恒成立，令，，所以在单调递增，故g(x)的最大值为g(3)=.故.故选A【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，属于基础题.2、D【解题分析】分析：由正态分布曲线图，内取值的概率为0.6，区间关于对称，得解。详解：由正态分布曲线图，内取值的概率为，区间关于对称，故上的概率为.故选D点睛：正态分布，在区间段的概率，利用图像的对称性可得出左右两侧的区间的概率。3、D【解题分析】

对函数求导，得出函数在上单调递减，利用中间值法比较、、的大小关系，利用函数的单调性得出、、三个数的大小关系．【题目详解】，，所以，函数在上单调递减，，，即，，则，函数在上单调递减，因此，，故选D.【题目点拨】本题考查函数值的大小比较，这类问题需要结合函数的单调性以及自变量的大小，其中单调性可以利用导数来考查，本题中自变量的结构不相同，可以利用中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题．4、B【解题分析】分析：根据题目条件中给出的分布列，可以知道和之间的关系，根据期望为，又可以得到一组关系，这样得到方程组，解方程组得到的值.进而求得.详解：根据题意，解得则故选B.点睛：本题考查期望、方差和分布列中各个概率之间的关系，属基础题.5、B【解题分析】

由题意利用次独立试验中恰好发生次的概率计算公式以及对立事件发生的概率即可求得结果．【题目详解】由题意可得，，求得，∴，故选B．【题目点拨】本题主要考查次独立试验中恰好发生次的概率计算公式的应用，属于基础题．6、C【解题分析】

由已知求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积．【题目详解】正方体的棱长为2，则其内切球的半径，正方体的内切球的体积，又由已知，．故选C．【题目点拨】本题考查球的体积的求法，理解题意是关键，是基础题．7、D【解题分析】

根据题意服从二项分布，由公式可得求得。【题目详解】由于每次发射导弹是相互独立的，且重复了10次，所以可以认为是10次独立重复试验，故服从二项分布，.故选D.【题目点拨】本题考查离散型随机变量的方差，由服从二项分布的方差公式可直接求出。8、B【解题分析】

利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出．【题目详解】∵复数（1+ai）（1﹣i）＝1+a+（1a﹣1）i是纯虚数，∴，解得a＝﹣1．故选B．【题目点拨】本题考查了复数的乘法运算、纯虚数的定义，属于基础题．9、B【解题分析】

根据线线、线面有关定理对选项逐一分析，由此确定是假命题的选项.【题目详解】对于A选项，根据平行公理可知，A选项正确.对于B选项，两条直线平行与同一个平面，这两条直线可以相交、平行或异面，故B选项是假命题.对于C选项，由于，，根据空间角的定义可知，，C选项正确.对于D选项，由于，所以平行于平面内一条直线，而，所以，所以，即D选项正确.故选：B.【题目点拨】本小题主要考查空间线线、线面有关命题真假性的判断，属于基础题.10、B【解题分析】

根据纯虚数的定义求解即可.【题目详解】因为复数是纯虚数,故,解得.故选：B【题目点拨】本题主要考查了根据纯虚数求解参数的问题,属于基础题.11、A【解题分析】

先解出复数（）是纯虚数时的值，即可得出答案．【题目详解】若复数（）是纯虚数，根据纯虚数的定义有：，则复数（）不是纯虚数，故选A【题目点拨】本题考查虚数的分类，属于基础题．12、C【解题分析】

由程序框图，先判断，后执行，直到求出符合题意的.【题目详解】由题意，可知，，满足，不满足，则，满足，满足，则，满足，满足，则，满足，不满足，则，不满足，输出.故选C.【题目点拨】本题考查了算法和程序框图，考查了学生对循环结构的理解和运用，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

将已知等式化边为角，结合两角和的正弦公式化简可得，已知，由余弦定理和基本不等式，求出的最大值，结合，即可求解.【题目详解】由正弦定理及，得.因为，所以.化简可得.因为，所以.因为，所以.由已知及余弦定理，得，即，因为，，所以，得，所以，当且仅当时，取等号.又因三角形任意两边之和大于第三边，所以，所以.故的取值范围为.故答案为：【题目点拨】本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形，利用基本不等式求最值，属于中档题.14、或【解题分析】

利用空间向量的数量积的坐标运算公式可求得，从而可求得的值．【题目详解】解：，，，，，又与的夹角为，，解得：或1．故答案为：或1【题目点拨】本题考查空间向量的数量积的坐标运算，熟练掌握空间向量的数量积的坐标运算公式是关键，属于中档题．15、；【解题分析】

根据阶乘的定义：，计算得到答案.【题目详解】.【题目点拨】本题考查阶乘的计算，考查基本的运算求解能力，要求计算过程耐心、细心，才不会出错.16、0【解题分析】

通过展开，然后利用已知可得，于是整理化简即可得到答案.【题目详解】由于，因此，所以，即，所以,则，故答案为0.【题目点拨】本题主要考查三角函数诱导公式的运用，意在考查学生的基础知识，难度中等.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解题分析】

(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得的通项公式；(Ⅱ)首先求得的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.【题目详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为成等比数列，所以，即，解得，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,所以；当或者时，取到最小值.【题目点拨】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.18、（Ⅰ）720种；（Ⅱ）4320种【解题分析】

（Ⅰ）相邻问题用“捆绑法”；（Ⅱ）有限制元素采取“优先法”.【题目详解】解：（Ⅰ）3名女生相邻可以把3名女生作为一个元素，和4名男生共有5个元素排列，有种情况，其中3名女生内部还有一个排列，有种情况，∴一共有种不同的站法.（Ⅱ）根据题意，女生甲不能站在最左端，那么除最左端之外，甲有种站法，将剩余的6人全排列，安排在剩余的位置，有种站法，∴一共有种不同的站法.【题目点拨】本题主要考查排列的应用，较基础.19、（1）,；（2）或【解题分析】

（1）由三角形面积公式得到AC边，再由余弦定理即可得出BC边；（2）由（1）可知，利用余弦定理可求，设的中点为，则，结合为的外心，可得，从而可求得．【题目详解】（1）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，于是，所以因为，所以.由余弦定理得.（2）由得，即，解得或4.设的中点为D，则，因为O为的外心，所以，于是.所以当时，，；当时，，.【题目点拨】本题主要考查三角形的面积公式及余弦定理的应用以及向量的基本运算和性质的应用．属于中档题.20、（1）；（2）【解题分析】

（1）利用分离参数，并构造新的函数，利用导数判断的单调性，并求最值，可得结果.（2）利用对的分类讨论，可得，然后判断函数单调性以及根据零点存在性定理，可得结果.【题目详解】（1）由，得，令，当时，，，；当时，，，，∴函数在上递减，在上递增，，，∴实数的取值范围是（2）①由（1）得当时，，，，函数在内恰有一个零点，符合题意②当时，i．若，，，故函数在内无零点ii．若，，，，不是函数的零点；iii．若时，，故只考虑函数在的零点，，若时，，∴函数在上单调递增，，，∴函数在上恰有一个零点若时，，∴函数在上单调递减，，∴函数在上无零点，若时，，，∴函数在上递减，在上递增，要使在上恰有一个零点，只需，．综上所述，实数的取值范围是．【题目点拨】本题考查函数导数的综合应用，难点在于对参数的分类讨论，考验理解能力以及对问题的分析能力，属难题.21、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出结果；（2）利用题中所给的条件，结合三角形的面积公式求得两条边长，根据三角形的周长求得第三边，之后根据，利用余弦定理得到相应的等量关系式，求得结果.【题目详解】（1）证明：，，，，又，，即.（2）解：又.，.点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理，在