2024届江苏省南大附中高二数学第二学期期末调研试题含解析

2024届江苏省南大附中高二数学第二学期期末调研试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．定义在上的函数若满足：①对任意、，都有；②对任意，都有，则称函数为“中心捺函数”，其中点称为函数的中心.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若满足不等式，当时，的取值范围为（）A． B． C． D．2．已知则复数A． B． C． D．3．已知集合，，则A． B． C． D．4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．1205．圆与的位置关系是（）A．相交 B．外切 C．内切 D．相离．6．已知双曲线的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A． B．2 C． D．57．已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是()A． B． C． D．8．袋中装有6个红球和4个白球，不放回的依次摸出两球，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率是A． B． C． D．9．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于()A． B． C． D．10．以，为端点的线段的垂直平分线方程是A． B． C． D．11．已知，，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．12．“”是“直线与直线平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在二项展开式中，常数项是_______.14．已知为抛物线上一个动点，定点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线的距离之和的最小值是__________．15．一个碗中有10个筹码，其中5个都标有2元，5个都标有5元，某人从此碗中随机抽取3个筹码，若他获得的奖金数等于所抽3个筹码的钱数之和，则他获得奖金的期望为________．16．函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内有________个极大值点。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1,2,3,4,5；4个白球编号分别为1,2,3,4，从袋中任意取出3个球．（I）求取出的3个球编号都不相同的概率；（II）记为取出的3个球中编号的最小值，求的分布列与数学期望．18．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（I）求的分布列；（II）若要求，确定的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？19．（12分）实数m取什么数值时，复数分别是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？20．（12分）已知四棱锥的底面为菱形，且，，，与相交于点.（1）求证：底面；（2）求直线与平面所成的角的值；（3）求平面与平面所成二面角的值.（用反三角函数表示）21．（12分）已知，均为正实数，求证：.22．（10分）某学生社团对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排有两种：白天背和晚上临睡前背．为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排进行分层抽样，并完成一项试验，试验方法是：使两组学生记忆40个无意义音节（如xiq,geh),均要求刚能全部记清就停止识记，并在8小时后进行记忆测验．不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验．两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点不含右端点）．（1）估计1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节的保持率大于或等于60%的人数；（2）从乙组准确回忆个数在MNmax（3）从本次试验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好？计算并说明理由．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

先结合题中条件得出函数为减函数且为奇函数，由，可得出，化简后得出，结合可求出，再由结合不等式的性质得出的取值范围.【题目详解】由知此函数为减函数.由函数是关于的“中心捺函数”，知曲线关于点对称，故曲线关于原点对称，故函数为奇函数，且函数在上递减，于是得，.，.则当时，令m=x，y=n则：问题等价于点（x，y）满足区域，如图阴影部分，由线性规划知识可知为（x，y）与（0，0）连线的斜率，由图可得，，故选：C.【题目点拨】本题考查代数式的取值范围的求解，解题的关键就是分析出函数的单调性与奇偶性，利用函数的奇偶性与单调性将题中的不等关系进行转化，应用到线性规划的知识，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.2、A【解题分析】分析：利用复数的乘法法则化简复数，再利用共轭复数的定义求解即.详解：因为，所以，，故选A.点睛：本题主要考查的是复数的乘法、共轭复数的定义，属于中档题．解答复数运算问题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误.3、C【解题分析】

利用一元二次不等式的解法化简集合，再根据集合的基本运算进行求解即可．【题目详解】因为，，所以，故选C．【题目点拨】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.4、B【解题分析】试题分析：根据频率分布直方图，得；该模块测试成绩不少于60分的频率是1-（0.005+0.015）×10=0.8，∴对应的学生人数是600×0.8=480考点：频率分布直方图5、A【解题分析】

试题分析：由题是给两圆标准方程为：，因为，所以两圆相离，故选D.考点：圆与圆的位置关系．6、C【解题分析】

设P为直线与的交点，则OP为的中位线，求得到渐近线的距离为b，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．【题目详解】，直线是线段的垂直平分线，可得到渐近线的距离为，且，，，可得，即为，即，可得．故选C．【题目点拨】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．7、B【解题分析】

根据方程有实根得到，利用向量模长关系可求得，根据向量夹角所处的范围可求得结果.【题目详解】关于的方程有实根设与的夹角为，则又又本题正确选项：【题目点拨】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.8、D【解题分析】

通过条件概率相关公式即可计算得到答案.【题目详解】设“第一次摸到红球”为事件A，“第二次摸到红球”为事件B，而，，故，故选D.【题目点拨】本题主要考查条件概率的相关计算，难度不大.9、D【解题分析】

先求出基本事件总数，再列举出所得的两条直线相互平行但不重合的个数，利用古典概型公式即可得解.【题目详解】甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有共12对，所以所求概率为，选D.【题目点拨】本题主要考查了古典概型的计算，涉及空间直线平行的判断，属于中档题.10、B【解题分析】

求出的中点坐标，求出的垂直平分线的斜率，然后求出垂直平分线方程．【题目详解】因为，，所以的中点坐标，直线的斜率为，所以的中垂线的斜率为：，所以以，为端点的线段的垂直平分线方程是，即．故选：B【题目点拨】本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，直线方程的求法，考查计算能力．11、B【解题分析】

根据指数函数、对数函数的单调性分别求得的范围，利用临界值可比较出大小关系.【题目详解】；；且本题正确选项：【题目点拨】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较大小的问题，关键是能够通过临界值来进行区分.12、B【解题分析】

时，直线与直线不平行，所以直线与直线平行的充要条件是，即且，所以“”是直线与直线平行的必要不充分条件．故选B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、60【解题分析】

首先写出二项展开式的通项公式，并求指定项的值，代入求常数项.【题目详解】展开式的通项公式是，当时，.故答案为：60【题目点拨】本题考查二项展开式的指定项，意在考查公式的熟练掌握，属于基础题型.14、【解题分析】由抛物线的焦点为，根据抛物线的定义可知点到准线的距离等于点的焦点的距离，设点到抛物线的准线的距离为，所以，可得当三点共线时，点到点的距离与点到准线的距离之和最小，所以最小值为.点睛：本题主要考查了抛物线的定义及其标准方程的应用，解答中把抛物线上的点到准线的距离转化为到抛物线的焦点的距离是解答的关键，这是解答抛物线最值问题的一种常见转化手段，着重考查了学生的转化与化归和数形结合思想的应用.15、【解题分析】分析：先确定随机变量取法，再分别求对应概率，最后根据数学期望公式求期望.详解：获得奖金数为随机变量ξ，则ξ＝6,9,12,15，所以ξ的分布列为：ξ691215PE(ξ)＝6×＋9×＋12×＋15×＝.点睛：本题考查数学期望公式，考查基本求解能力.16、【解题分析】

先记导函数与轴交点依次是，且；根据导函数图像，确定函数单调性，进而可得出结果.【题目详解】记导函数与轴交点依次是，且；由导函数图像可得：当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；所以，当或，原函数取得极大值，即极大值点有两个.故答案为2【题目点拨】本题主要考查导函数与原函数间的关系，熟记导数的方法研究函数单调性与极值即可，属于常考题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）（II）【解题分析】试题分析：（Ⅰ）设A表示“取出的3个球的编号为连续的自然数”，取出3球的方法有84种，连续自然数的方法：123和234均为种，341为种，由此能求出结果．（Ⅱ）X的取值为2，3，4，1．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列与数学期望试题解析：（I）设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B，则，（II）的取值为1,2,3,4所以的分布列为：1234的数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式18、（I）1617182212122（II）2（III）【解题分析】试题分析：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，2，21，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤2）=．由此能确定满足P（X≤n）≥1．5中n的最小值．（Ⅲ）由X的分布列得P（X≤2）=．求出买2个所需费用期望EX1和买21个所需费用期望EX2，由此能求出买2个更合适试题解析：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，11，11的概率分别为1．2，1．4，1．2，1．2，从而；；；；；；．所以的分布列为1617182212122（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故的最小值为2．（Ⅲ）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）．当时，．当时，．可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选．考点：离散型随机变量及其分布列19、（1）；（2）；（3）.【解题分析】本试题主要是考查了复数的概念的运用．先求解实数和虚数以及纯虚数的前提下各个参数m的取值问题．注意虚数虚部不为零，虚部为零是实数，实部为零，虚部不为零是纯虚数，因此可知结论．解：(1)当，即时，复数z是实数；……4分(2)当，即时，复数z是虚数；……8分(3)当，且时，即时，复数z是纯虚数.…12分20、（1）见解析；（2）；（3）【解题分析】

（1）由已知中四棱锥P−ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，PB＝PD＝AB＝2，PA＝PC，AC与BD相交于点O，根据平行四边形两条对角线互相平分及等腰三角形三线合一，结合线面垂直的判定定理，我们易得到结论；

（2）以O为坐标原点，建立坐标系，分别求出各顶点坐标，进而求出直线

PB的方向向量与平面PCD的法向量，代入线面夹角的向量法公式，即可求出答案；（3）求出平面的法向量，代入面面夹角的向量法公式，即可求出答案.【题目详解】（1）证明：因为ABCD为菱形，

所以O为AC，BD的中点

因为PB＝PD，PA＝PC，

所以PO⊥BD，PO⊥AC

所以PO⊥底面ABCD；

（2）解：因为ABCD为菱形，所以AC⊥BD，

建立如图所示空间直角坐标系

又∠ABC＝60°，PA＝AB＝2

得，

所以则，

设平面PCD的法向量

有，所以，令

得，

，

直线与平面所成的角的值为；（3）设平面的法向量,因为

有，所以，令

得，，

由图知，平面与平面所成二面角为钝角，.【题目点拨】本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，其中选择合适的点及坐标轴方向，建立空间坐标系，将问题转化为一个向量问题是解答此类问题的关键.21、见证明【解题分析】

方法一：因为，均为正实数，所以由基本不等式可得，，两式相加整理即可；方法二：利用作差法证明【题目详解】解：方法一：因为，均为正实数，所以由基本不等式可得，，两式相加，得，所以.方法二：.所以.【题目点拨】本题考查不等式的证明，一般的思路是借助作差或作商法，条件满足的话也可借助基本不等式证明．22、（1）180；（2）见解析；（3）见解析【解题分析】

（1）利用频率分布直方图能求出