北京市顺义牛栏山一中2024届高二数学第二学期期末经典模拟试题含解析

北京市顺义牛栏山一中2024届高二数学第二学期期末经典模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设随机变量服从正态分布，且，则（）A． B． C． D．2．某产品的销售收入（万元）关于产量（千台）的函数为；生产成本（万元）关于产量（千台）的函数为，为使利润最大，应生产产品()A．9千台 B．8千台 C．7千台 D．6千台3．已知关于的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点是，则这个方程可以是（）A． B．C． D．4．执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为（）A． B． C． D．5．某机构需掌握55岁人群的睡眠情况，通过随机抽查110名性别不同的55岁的人的睡眠质量情况，得到如下列联表男女总计好402060不好203050总计6050110由得，.根据表0.0500.0100.0013.8416.63510.828得到下列结论，正确的是（）A．有以下的把握认为“睡眠质量与性别有关”B．有以上的把握认为“睡眠质量与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别无关”6．已知各棱长均相等的正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥的侧面与底面所成角的大小分别为，则（）A． B．C． D．前三个答案都不对7．己知集合，，若，则实数的取值范围_______.A． B． C． D．8．若抛物线,过其焦点的直线与抛物线交于两点,则的最小值为()A．6 B． C．9 D．9．定积分的值为()A．3 B．1 C． D．10．设，则二项式展开式的所有项系数和为（）A．1 B．32 C．243 D．102411．有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为（）A． B． C． D．12．设，当时，不等式恒成立，则的取值范围是A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是__________14．已知双曲线的离心率为，一条渐近线为，抛物线的焦点为F，点P为直线与抛物线异于原点的交点，则_________.15．某中学连续14年开展“走进新农村”社会实践活动.让同学们开阔视野，学以致用.展开书本以外的思考.进行课堂之外的磨练.今年该中学有四个班级到三个活动基地.每个活动基地至少分配1个班级.则A、B两个班级被分到不同活动基地的情况有______种.16．从编号为01，02，…，50的50个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中的前两个编号分别为03，08（编号按从小到大的顺序排列），则样本中最大的编号是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有10人．在20名女性驾驶员中，平均车速超过的有5人，不超过的有15人．（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过的人与性别有关；（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的数学期望.参考公式：，其中．参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）已知函数，.（1）若，求函数的单调递增区间；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.19．（12分）已知函数，．若不等式有解，求实数a的取值范围；2当时，函数的最小值为3，求实数a的值．20．（12分）已知函数.(1)若曲线在处的切线过点,求的值;(2)是否存在实数,使恒成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理山.21．（12分）已知圆柱的底面半径为r，上底面和下底面的圆心分别为和O，正方形ABCD内接于下底面圆O，与母线所成的角为.（1）试用r表示圆柱的表面积S；（2）若圆柱的体积为，求点D到平面的距离.22．（10分）已知函数.（1）若不等式的解集，求实数的值.（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

根据正态密度曲线的对称性得出，再由可计算出答案．【题目详解】由于随机变量服从正态分布，由正态密度曲线的对称性可知，因此，，故选B．【题目点拨】本题考查正态分布概率的计算，充分利用正态密度曲线的对称性是解题的关键，考查计算能力，属于基础题．2、B【解题分析】

根据题意得到利润关于产量的函数式，再由导数求得使利润最大时的产量，即可求解出答案。【题目详解】设利润为万元，则，，令，得，令，得，∴当时，取最大值，故为使利润最大，应生产8千台．选B.【题目点拨】本题主要考查了利用导数的性质求函数的最值来解决实际问题。3、A【解题分析】

先由题意得到方程的两复数根为，(为虚数单位)，求出，，根据选项，即可得出结果.【题目详解】因为方程的根在复平面内对应的点是，可设根为：，(为虚数单位)，所以方程必有另一根，又，，根据选项可得，该方程为.故选A【题目点拨】本题主要考查复数的方程，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.4、C【解题分析】

读懂流程图，可知每循环一次，的值减少4，当时，得到的值.【题目详解】根据流程图，可知每循环一次，的值减少4，输入，因为2019除以4余3，经过多次循环后，再经过一次循环后满足的条件，输出【题目点拨】流程图的简单问题，找到循环规律，得到的值，得到输出值.属于简单题.5、C【解题分析】

根据独立性检验的基本思想判断得解.【题目详解】因为，根据表可知；选C.【题目点拨】本题考查独立性检验的基本思想，属于基础题.6、C【解题分析】

通过作出图形，分别找出正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥的侧面与底面所成角，通过计算余弦值比较大小即可知道角度大小关系.【题目详解】如图，正三棱锥，正四棱锥，正五棱锥，设各棱长都为2，在正三棱锥中，取AC中点D，连接PD,BD，可知即为侧面与底面所成角，可知，，由余弦定理得；同理，，于是，而由于为锐角，所以，故选C.【题目点拨】本题主要考查面面角的相关计算，意在考查学生的转化能力，空间想象能力，计算能力，难度中等.7、B【解题分析】

首先解出集合,若满足，则当时，和恒成立，求的取值范围.【题目详解】，，即当时，恒成立，即，当时恒成立，即，而是增函数，当时，函数取得最小值，且当时，恒成立，，解得：综上：.故选：B【题目点拨】本题考查根据给定区间不等式恒成立求参数取值范围的问题，意在考查转化与化归和计算求解能力，恒成立问题可以参变分离转化为求函数的最值问题，如果函数是二次函数可以转化为根的分布问题，列不等式组求解.8、B【解题分析】分析：设直线方程为，联立方程组得出A，B两点坐标的关系，根据抛物线的性质得出关于A，B两点坐标的式子，使用基本不等式得出最小值.详解：抛物线的焦点，设直线方程为，联立方程组，得，设，则，，由抛物线的性质得，.故选：B.点睛：本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.9、C【解题分析】

运用定积分运算公式，进行求解计算.【题目详解】，故本题选C.【题目点拨】本题考查了定积分的运算，属于基础题.10、C【解题分析】

根据定积分求得，得出二项式，再令，即可求得展开式的所有项的系数和，得到答案.【题目详解】由题意，可得，所以二项式为，令，可得二项式展开式的所有项系数和为，故选C.【题目点拨】本题主要考查了微积分基本定理的应用，以及二项展开式的系数问题，其中解答中熟记定积分的计算，以及二项式的系数的求解方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11、B【解题分析】

利用超几何分布分别求随机变量X的概率，分布列及其数学期望即可得出．【题目详解】随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．所以，随机变量X的分布列为X1234P随机变量X的数学期望E(X)＝.【题目点拨】本题考查了超几何分布的概率计算公式、分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12、A【解题分析】∵当时，不等式恒成立∴当时，不等式恒成立令，则∵∴当时，，即在上为减函数当时，，即在上为增函数∴，即令，则∴当时，，即在上为减函数当时，，即在上为增函数∴∵∴或故选A点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为；（3）若恒成立，可转化为.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

利用点到直线的距离公式计算出焦点到渐近线的距离，然后根据对应距离等于焦距的求解出的值，即可得到双曲线的渐近线方程.【题目详解】因为焦点到渐近线的距离，所以，所以，所以，所以渐近线方程为：.故答案为：.【题目点拨】本题考查双曲线渐近线方程的求解，难度一般.双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.14、4【解题分析】

由双曲线的离心率求出渐近线的方程，然后求出直线与抛物线的交点的坐标，可得．【题目详解】双曲线中，，即，，不妨设方程为，由得或，即，抛物线中，∴．故答案为：4.【题目点拨】本题考查双曲线的几何性质，考查直线与抛物线相交问题，考查抛物线的焦半径公式．属于中档题．15、30【解题分析】

根据题意，分2步进行分析：（1）将四个班级分成3组，要求A,B两个班级不分到同一组；（2）将分好的三组全排列，安排到三个活动基地，由分步计数原理得到答案.【题目详解】根据题意，分2步进行分析：（1）将四个班级分成3组，要求A,B两个班级不分到同一组，有种分组方法；（2）将分好的三组全排列，安排到三个活动基地，有种情况，则有种不同的情况，故填：30.【题目点拨】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.16、48【解题分析】分析：根据系统抽样的定义得到，编号之间的关系，即可得到结论.详解：已知样本中的前两个编号分别为03，08，样本数据组距为，则样本容量为，则对应的号码数，则当时，取得最大值为.故答案为：48.点睛：本题主要考查系统抽样的应用，根据条件确定组距是解决本题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）有；（2）.【解题分析】分析：（1）根据公示计算得到卡方值，作出判断即可；（2）根据条件可知由公式得到期望值.详解：（1）平均车速超过人数平均车速不超过人数合计男性驾驶员人数201030女性驾驶员人数51520合计252550∵，∴所以有的把握认为平均车速超过与性别有关.（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过的车辆的概率为.所以的可能取值为0,1,2,3，且，.方法点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.18、（1）的单调递增区间为和；（2）.【解题分析】

（1）由求得，求，由可解得函数的增区间；（2）在上恒成立，转化为求函数最值即得．【题目详解】（1）若，则，，函数的单调递增区间为和；（2）若函数在区间上单调递增，则，则，因，则.【题目点拨】本题考查用导数研究函数的单调性．属于基础题．19、（Ⅰ）（Ⅱ）．【解题分析】分析：（1）由绝对值的几何意义知，由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，可得，即可求实数a的取值范围；（2）当a＜2时，画出函数的图像，利用函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．详解：（1）由题，即为．而由绝对值的几何意义知，由不等式有解，∴，即．实数的取值范围．（2）函数的零点为和，当时知.

如图可知在单调递减，在单调递增，，得（合题意），即．点睛：这个题目考查了含有绝对值的不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，以及函数的最值问题；一般对于解含有多个绝对值的不等式，根据零点分区间，将绝对值去掉，分段解不等式即可.20、（1）或（2）存在，使得不等式成立，详见解析【解题分析】

（1）求出导函数，得切线斜率，写出切线方程，由切线过点可求得参数，从而得切线方程；（2），要使恒成立，则是的极小值点，先由此结论求出参数，然后验证是极小值，也是最小值点．【题目详解】（1）∴曲线在处的切线方程为又切线过点∴∴或