2024届北京市海淀区市级名校数学高二第二学期期末监测试题含解析

2024届北京市海淀区市级名校数学高二第二学期期末监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．袋中装有标号为1,2,3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次，若抽到各球的机会均等，事件“三次抽到的号码之和为6”，事件“三次抽到的号码都是2”，则（）A． B． C． D．2．若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（）A． B． C． D．3．某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：——结伴步行，——自行乘车，——家人接送，——其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，求得本次抽查的学生中类人数是（）A．30 B．40 C．42 D．484．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是A． B． C． D．5．已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足（）A． B．C． D．6．已知集合，则=（）A． B． C． D．7．已知双曲线的离心率为，则m=A．4 B．2 C． D．18．已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为A．3 B．4 C．5 D．69．已知抛物线上一动点到其准线与到点M（0，4）的距离之和的最小值为，F是抛物线的焦点，是坐标原点，则的内切圆半径为A． B． C． D．10．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则的面积为()A． B． C． D．11．已知函数的导函数为，若，则函数的图像可能是()A． B． C． D．12．在一组样本数据不全相等的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．3 B．0 C． D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．有一个容器，下部分是高为的圆柱体，上部分是与圆柱共底面且母线长为的圆锥，现不考虑该容器内壁的厚度，则该容器的最大容积为___________．14．已知等比数列中，有，，数列前项和为，且则_______．15．已知双曲线：的右焦点到渐近线的距离为4，且在双曲线上到的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线的左焦点的距离为______.16．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知在中，角、、的对边分别是、、，且．（1）求角的大小；（2）若的面积，，，求的值．18．（12分）已知点为抛物线上异于原点的任意一点，为抛物线的焦点，连接并延长交抛物线于点，点关于轴的对称点为.（1）证明：直线恒过定点；（2）如果，求实数的取值范围.19．（12分）已知数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为，证明：．20．（12分）新高考最大的特点就是取消文理分科，除语文、数学、外语之外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6科中自由选择三门科目作为选考科目.某研究机构为了了解学生对全文（选择政治、历史、地理）的选择是否与性别有关，从某学校高一年级的1000名学生中随机抽取男生，女生各25人进行模拟选科.经统计，选择全文的人数比不选全文的人数少10人.（1）估计在男生中，选择全文的概率.（2）请完成下面的列联表；并估计有多大把握认为选择全文与性别有关，并说明理由；选择全文不选择全文合计男生5女生合计附：，其中.P（）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.0763.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）某超市为了解气温对某产品销售量的影响，随机记录了该超市12月份中天的日销售量(单位：千克)与该地当日最低气温(单位:)的数据，如下表所示:求关于的线性回归方程；（精确到）判断与之间是正相关还是负相关；若该地12月份某天的最低气温为，请用中的回归方程预测该超市当日的销售量.参考公式：，参考数据：，22．（10分）在平面直角坐标系中,曲线过点,其参数方程为（t为参数，），以为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为．求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；已知曲线和曲线交于两点，且，求实数的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

试题分析：由题意得，事件“三次抽到的号码之和为”的概率为，事件同时发生的概率为，所以根据条件概率的计算公式.考点：条件概率的计算.2、A【解题分析】

通过平移得到，即可求得函数的对称中心的坐标，得到答案.【题目详解】向左平移个单位长度后得到的图像，则其对称中心为,或将选项进行逐个验证,选A.【题目点拨】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3、A【解题分析】

根据所给的图形，计算出总人数，即可得到A的人数．【题目详解】解：根据选择D方式的有18人，所占比例为15%，得总人数为120人，故选择A方式的人数为120﹣42﹣30﹣18＝30人．故选A．【题目点拨】本题考查了条形图和饼图的识图能力，考查分析问题解决问题的能力．4、B【解题分析】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为，选B.【考点】几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.5、D【解题分析】

函数的导数为，图像在点处的切线的斜率为，切线方程为，即，设切线与相切的切点为，，由的导数为，切线方程为，即，∴，．由，可得，且，解得，消去，可得，令，，在上单调递增，且，，所以有的根，故选D.6、D【解题分析】分析：直接利用交集的定义求解.详解：集合，，故选D.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.7、B【解题分析】

根据离心率公式计算．【题目详解】由题意，∴，解得．故选B．【题目点拨】本题考查双曲线的离心率，解题关键是掌握双曲线的标准方程，由方程确定．8、B【解题分析】由,则=可化简为,构造函数,,令,即在单调递增,设,因为,,所以,且,故在上单调递减,上单调递增,所以,又,,即k的最小值为4,故选B.点睛:本题考查函数的恒成立和有解问题,属于较难题目.首先根据自变量x的范围,分离参数和变量,转化为新函数g(x)的最值,通过构造函数求导判断单调性,可知在上单调递减,上单调递增,所以,且,,通过对最小值化简得出的范围,进而得出k的范围.9、D【解题分析】

由抛物线的定义将到准线的距离转化为到焦点的距离，到其准线与到点M（0，4）的距离之和的最小值，也即为最小，当三点共线时取最小值．所以，解得，由内切圆的面积公式，解得．故选D．10、C【解题分析】

设直线的方程为，与抛物线联立，设，由，所以，结合韦达定理可得，，由可得解.【题目详解】因为抛物线的焦点为所以，设直线的方程为，将代入，可得，设，则，，因为，所以，所以，，所以，即，所以，所以的面积，故选C．【题目点拨】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，由转化为是解题的关键，属于基础题.11、D【解题分析】

根据导数的几何意义和，确定函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，即可得出结论．【题目详解】函数的导函数为，，∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故选：D．【题目点拨】本题考查函数的图象与其导函数的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．12、D【解题分析】

根据回归直线方程可得相关系数．【题目详解】根据回归直线方程是可得这两个变量是正相关，故这组样本数据的样本相关系数为正值，且所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线上，则有|r|＝1，∴相关系数r＝1．故选：D．【题目点拨】本题考查了由回归直线方程求相关系数，熟练掌握回归直线方程的回归系数的含义是解题的关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

设圆柱底面圆的半径为，分别表示出圆柱和圆锥的体积，利用导数求得极值点，并判断在极值点左右两侧的单调性，即可求得函数的最大值，即为容器的最大容积.【题目详解】设圆柱底面圆的半径为，圆柱体的高为，则圆柱的体积为；圆锥的高为，则圆锥的体积，所以该容器的容积为则，令，即，化简可得，解得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，取得最大值；代入可得，故答案为：.【题目点拨】本题考查了导数在体积最值问题中的综合应用，圆柱与圆锥的体积公式应用，属于中档题.14、【解题分析】

首先根据是等比数列得到，根据代入求出的值，再根据求即可.【题目详解】因为是等比数列，，所以.又因为，所以.因为，，所以.则.当时，，，即：，是以首项，的等比数列.所以.故答案为：【题目点拨】本题主要考查根据求数列的通项公式，同时考查等比中项的性质，属于中档题.15、8【解题分析】

双曲线：的右焦点到渐近线的距离为4,可得的值，由条件以为圆心，2为半径的圆与双曲线仅有1个交点.由双曲线和该圆都是关于轴对称的，所以这个点只能是双曲线的右顶点.即，根据可求得答案.【题目详解】由题意可得双曲线的一条渐近线方程为，由焦点到渐近线的距离为4，即，即.双曲线上到的距离为2的点有且仅有1个,即以为圆心，2为半径的圆与双曲线仅有1个交点.由双曲线和该圆都是关于轴对称的，所以这个点只能是双曲线的右顶点.所以，又即，即，所以.所以双曲线的右顶点到左焦点的距离为.所以这个点到双曲线的左焦点的距离为8.故答案为：8【题目点拨】本题考查双曲线的性质，属于中档题.16、36【解题分析】试题分析：将4人分成3组，再将3组分配到3个乡镇，考点：排列组合三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】

（1）根据同角三角函数关系得到2（1﹣cos2A）﹣3cosA=0，解出角A的余弦值，进而得到角A；（2）根据三角形的面积公式和余弦定理得到a=，再结合正弦定理得到最终结果.【题目详解】（1）∵在△ABC中2sin2A+3cos（B+C）=0，∴2（1﹣cos2A）﹣3cosA=0，解得cosA=，或cosA=﹣2（舍去），∵0＜A＜π，∴A=；（2）∵△ABC的面积S=bcsinA=bc=5，∴bc=20，再由c=4可得b=5，故b+c=9，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=21，∴a=，∴sinB+sinC∴sinB+sinC的值是.【题目点拨】这个题目考查了同角三角函数的化简求值，考查了三角形面积公式和正余弦定理的应用，解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18、（1）证明见解析；（2）【解题分析】

（1）设，计算得到，直线的方程为，得到答案.（2）计算，设，讨论，，三种情况，分别计算得到答案.【题目详解】（1）设，因为，所以，由三点共线得，化简得，即，由此可得，所以直线的方程为，即，因此直线恒过定点.（2），，令，如果，则；如果，则，当时，，时等号成立，从而，即；当时，函数在上单调递减，当时，，故，故，所以，故.综上，实数的取值范围为.【题目点拨】本题考查了抛物线中直线过定点问题，求参数范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19、（1）；（2）见解析【解题分析】

（1）可以通过取计算出，再通过取时计算出,得出答案。（2）可通过裂项相消求解。【题目详解】（1）当时，有，解得.当时，有，则，整理得：，数列是以为公比，以为首项的等比数列．所以，即数列的通项公式为：．（2）由（1）有，则所以易知数列为递增数列，所以。【题目点拨】本题考察的是求数列的通项公式以及构造数列然后求和，求等比数列的通项公式可以先求首项和公比，求和可以通过裂项相消求解。20、（1）；（2）列联表见解析，，理由见解析.【解题分析】

（1）利用古典概型概率公式求解即可；（2）由题先求得选择全文的有20人,不选全文的有30人,即可完成列联表,再代入公式求解,并与7.879比较即可.【题目详解】（1）由题中数据可知,男生总共25人,选择全文的5人,故选择全文的概率为（2）因为选择全文的人数比不选全文的人数少10人,男生、女生共有50人,所以选择全文的有20人,不选全文的有30人,由此完成列联表:选择全文不选择全文全计男生52025女生151025合计203050因为,所以至少有的把握认为选择全文与性别有关.【题目点拨】本题考