2024届江西省赣州市厚德外国语学校高二数学第二学期期末复习检测试题含解析

2024届江西省赣州市厚德外国语学校高二数学第二学期期末复习检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13，14，19，x，23，27，28，31，其中，中位数为22，则x等于（）A．21 B．22 C．23 D．242．祖暅是南北朝时代的伟大科学家，公元五世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等．设A，B为两个同高的几何体，A，B的体积不相等，A，B在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若展开式中只有第四项的系数最大，则展开式中有理项的项数为（）A． B． C． D．4．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是A． B． C． D．5．若（是虚数单位），则复数的模为（）A． B． C． D．6．函数f（x）＝xsinx+cosx的导函数为，则导函数的部分图象大致是（）A． B．C． D．7．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．8．地球半径为R,北纬45°圈上A,B两点分别在东径130°和西径140°,并且北纬45°圈小圆的圆心为O´,则在四面体O-ABO´中，直角三角形有（）A．0个 B．2个 C．3个 D．4个9．变量与相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量与相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．表示变量之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，则()A． B． C． D．10．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为A．89 B．25 C．911．某地举办科技博览会，有个场馆，现将个志愿者名额分配给这个场馆，要求每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有（）种A． B． C． D．12．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．24二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．展开式中，项的系数为______________14．如图，在中，，和分别是边和上一点，，将沿折起到点位置，则该四棱锥体积的最大值为_______．15．一个碗中有10个筹码，其中5个都标有2元，5个都标有5元，某人从此碗中随机抽取3个筹码，若他获得的奖金数等于所抽3个筹码的钱数之和，则他获得奖金的期望为________．16．函数的定义域是_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设（Ⅰ）求的单调区间.（Ⅱ）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在求出的最小值，若不存在，说明理由.18．（12分）已知矩阵.（1）求；（2）求矩阵的特征值和特征向量.19．（12分）有6本不同的书:(1)全部借给5人,每人至少1本,共有多少种不同的借法?(2)全部借给3人,每人至少1本,共有多少种不同的借法?20．（12分）已知.猜想的表达式并用数学归纳法证明你的结论.21．（12分）已知函数，.（1）若，求函数的图像在点处的切线方程；（2）讨论的单调性.22．（10分）如图，已知四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，，且求证：平面BDEF；求二面角的余弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

这组数据共有8个，得到这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，列出中位数的表示式，得到关于x的方程，解方程即可．【题目详解】由条件可知数字的个数为偶数，∴这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，∴中位数22，∴x＝21故选A．【题目点拨】本题考查了中位数的概念及求解方法，属于基础题．2、A【解题分析】分析：利用祖暅原理分析判断即可.详解：设A，B为两个同高的几何体，A，B的体积不相等，A，B在等高处的截面积不恒相等．如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等，根据祖暅原理可知，p是q的充分不必要条件.故选：A.点睛：本题考查满足祖暅原理的几何体的判断，是基础题，解题时要认真审查，注意空间思维能力的培养.3、D【解题分析】

根据最大项系数可得的值，结合二项定理展开式的通项，即可得有理项及有理项的个数.【题目详解】展开式中只有第四项的系数最大，所以，则展开式通项为，因为，所以当时为有理项，所以有理项共有4项，故选：D.【题目点拨】本题考查了二项定理展开式系数的性质，二项定理展开式通项的应用，有理项的求法，属于基础题.4、B【解题分析】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为，选B.【考点】几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.5、D【解题分析】

利用复数的乘法、除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的求模公式计算出复数的模.【题目详解】因为，所以，所以，故选D.【题目点拨】本题考查复数的乘法、除法法则以及复数模的计算，对于复数相关问题，常利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行求解，考查计算能力，属于基础题.6、C【解题分析】

先求得函数的导数，根据导函数的奇偶性和正负，判断出正确选项.【题目详解】，为奇函数，且在上有，故选C.【题目点拨】本小题主要考查导数运算，考查函数的奇偶性，考查函数图像的识别，属于基础题.7、A【解题分析】

根据三视图得出几何体为一个圆柱和一个长方体组合而成，由此求得几何体的体积.【题目详解】由三视图可知，该几何体由圆柱和长方体组合而成，故体积为，故选A.【题目点拨】本小题主要考查三视图还原原图，考查圆柱、长方体体积计算，属于基础题.8、C【解题分析】

画图标注其位置，即可得出答案。【题目详解】如图所示：，即有3个直角三角形。【题目点拨】本题涉及到了地理相关的经纬度概念。学生需理解其基本概念，将题干所述信息转换为数学相关知识求解。9、C【解题分析】

求出，，进行比较即可得到结果【题目详解】变量与相对应的一组数据为即变量与相对应的一组数据为这一组数据的相关系数则第一组数据的相关系数大于，第二组数据的相关系数小于则故选【题目点拨】本题主要考查的是变量的相关性，属于基础题．10、A【解题分析】

利用条件概率的计算公式即可得出．【题目详解】设事件A表示某地四月份吹东风，事件B表示四月份下雨．根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率P(B|A)=8故选：A【题目点拨】本题主要考查条件概率的计算，正确理解条件概率的意义及其计算公式是解题的关键，属于基础题.11、A【解题分析】

“每个场馆至少有一个名额的分法”相当于在24个名额之间的23个空隙中选出两个空隙插入分隔符号，则有种方法，再列举出“至少有两个场馆的名额数相同”的分配方法，进而得到满足题中条件的分配方法.【题目详解】每个场馆至少有一个名额的分法为种，至少有两个场馆的名额相同的分配方法有（1，1，22），（2,2,20），（3,3,18），（4,4,16），（5,5,14），（6,6,12），（7,7,10），（8,8,8），（9,9,6），（10,10,4），（11,11,2），再对场馆分配，共有种，所以每个场馆至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有种，故选A.【题目点拨】该题考查的是有关形同元素的分配问题，涉及到的知识点有隔板法，在解题的过程中，注意对至少两个场馆分配名额相同的要去除.12、D【解题分析】试题分析：先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有种考点：排列、组合及简单计数问题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】∴二项式展开式中，含项为∴它的系数为1．故答案为1．14、【解题分析】

根据题中条件，设，表示出四边形的面积，由题意得到平面时，四棱锥体积最大,此时，根据四棱锥的体积公式，表示出，用导数的方法求其最值即可.【题目详解】在中，由已知，，，所以设，四边形的面积为,当平面时，四棱锥体积最大,此时，且,故四棱锥体积为，，时，；时，,所以，当时，.故答案为【题目点拨】本题主要考查求几何体的体积，熟记体积公式，以及导数的方法研究函数的最值即可，属于常考题型.15、【解题分析】分析：先确定随机变量取法，再分别求对应概率，最后根据数学期望公式求期望.详解：获得奖金数为随机变量ξ，则ξ＝6,9,12,15，所以ξ的分布列为：ξ691215PE(ξ)＝6×＋9×＋12×＋15×＝.点睛：本题考查数学期望公式，考查基本求解能力.16、【解题分析】

被开方式大于或等于0，得求解【题目详解】由题知：，，定义域为.故答案为：【题目点拨】本题考查函数的定义域.常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于.(3)一次函数、二次函数的定义域均为.(4)的定义域是．(5)且，的定义域均为.(6)且的定义域为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）0.【解题分析】

（Ⅰ）对分三种情况讨论，利用导数求的单调区间；（Ⅱ）先求出函数h(x)在上单调递减，在上单调递增，再求出，即得解.【题目详解】解：（I）时，令令故在单调递增，在上单调递减；0≤≤1时，恒成立，故在单调递增.时，令令故在单调递减，在上单调递增；综上：在单调递增，在上单调递减；时在单调递增.时，在单调递减，在上单调递增.（II）当时，由于在上单调递增且故唯一存在使得即故h(x)在上单调递减，在上单调递增，故又且在上单调递增，故即依题意：有解，故又故【题目点拨】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究不等式存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18、(1)(2)特征值为，，分别对应特征向量，．【解题分析】

（1）利用矩阵的乘法求得结果；（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令，解方程可得特征值，再由特征值列出方程组求出相应的特征向量.【题目详解】(1)(2)矩阵的特征多项式，令得，时，，解得，取得时，解得，取得∴矩阵的特征值为，，分别对应特征向量，．【题目点拨】该题考查的是有关矩阵的问题，涉及到的知识点有矩阵的乘法，矩阵的特征值与特征向量，属于简单题目.19、（1）1800；（2）540【解题分析】分析：（1）将6本书中某两本书合在一起组成5份,借给5人,即可得到答案；（2）将6本书分成三份有3种分法，第一种是一人4本，一人1本，一人1本；第二种是一人3本，一人2本，一人1本；第三种是每人各2本；然后再将分好的三份借给3人即可.详解：(1)将6本书中某两本书合在一起组成5份,借给5人,共有=1800种借法.(2)将6本书分成三份有3种分法.第一种是一人4本,一人1本,一人1本;第二种是一人3本,一人2本,一人1本;第三种是每人各2本;然后再将分好的三份借给3人,有=540种借法.点睛：分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分组三种，无论分成几组，都应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．20、证明见解析【解题分析】

首先计算，猜想，再用数学归纳法证明.【题目详解】猜想，下面用数学归纳法证明：①时，猜想成立；②假设时猜想成立，即则时，由及得又=,时猜想成立.由①②知.【题目点拨】本题考查了数学归纳法，意在考查学生的归纳推理能力和计算能力.21、（1）；（2）当时，的递增区间是，当时，的递增区间是，递减区间是.【解题分析】

（1）求出，当时，求出，写出切线的点斜式方程，整理即可；（2）求出的定义域，（或）是否恒成立对分类讨论，若恒成立，得到单调区间，若不恒成立，求解，即可得到结论.【题目详解】（1），当时，，，函数的图像在点处的切线方程为，即；（2）的定义域为，，当时，在恒成立，的递增区间是，当时，，的递增区间是，递减区间是，综上，当时，的递增区间是，当时，的递增区间是，递减区间是.【题目点拨】本题考查导数几何意义，利用导数求函数的单调性，考查分类讨论思想，以及计算求解能力，属于中档题.22、（1）见证明；（2）.【解题分析】

设AC、BD交于点O，连结OF、DF，推导出，，，由此能证明平面BDEF．以OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量