湖南省长沙市明达中学2024届数学高二第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

湖南省长沙市明达中学2024届数学高二第二学期期末质量跟踪监视模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数y＝f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x，y，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若数列满足＝f(0)，且f()＝()，则的值为()A．2209 B．3029 C．4033 D．22492．已知a＝log34，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞c＞aC．c＞a＞b D．b＞a＞c3．设全集，集合，，则（）A． B． C． D．4．设为中的三边长，且，则的取值范围是（）A． B．C． D．5．某大学安排5名学生去3个公司参加社会实践活动，每个公司至少1名同学，安排方法共有()种A．60 B．90 C．120 D．1506．复数在复平面内对应的点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．有一个偶数组成的数阵排列如下：248142232…610162434……12182636………202838…………3040……………42…………………则第20行第4列的数为（）A．546 B．540 C．592 D．5988．已知具有线性相关关系的两个变量，的一组数据如下表：245682040607080根据上表，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则的值为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.59．已知数列的通项公式为，则（）A．-1 B．3 C．7 D．910．已知展开式的常数项为15，则（）A． B．0 C．1 D．-111．某快递公司共有人，从周一到周日的七天中，每天安排一人送货，每人至少送货天，其不同的排法共有（）种.A． B． C． D．12．函数的图象可能是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知随机变量服从正态分布，，则．14．一个袋中有形状、大小完全相同的个小球，其中个红球，其余为白球.从中一次性任取个小球，将“恰好含有个红球”的概率记为，则当__________时，取得最大值．15．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有______种.16．.若为真命题，则实数的最大值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知.（1）求的最小值；（2）已知为正数，且，求证.18．（12分）已知是定义在上的奇函数，且当时，．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）解不等式．19．（12分）已知函数.（1）证明：；（2）若对任意的均成立，求实数的最小值.20．（12分）已知椭圆过点，且离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）为椭圆的左、右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：恒为定值.21．（12分）小王每天自己开车上班，他在路上所用的时间（分钟）与道路的拥堵情况有关.小王在一年中随机记录了200次上班在路上所用的时间，其频数统计如下表，用频率近似代替概率.（分钟）15202530频数（次）50506040（Ⅰ）求小王上班在路上所用时间的数学期望；（Ⅱ）若小王一周上班5天，每天的道路拥堵情况彼此独立，设一周内上班在路上所用时间不超过的天数为，求的分布列及数学期望.22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线：，曲线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线，的极坐标方程；（2）曲线：（为参数，，），分别交，于，两点，当取何值时，取得最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

因为该题为选择题，可采用特殊函数来研究，根据条件，底数小于1的指数函数满足条件，可设函数为，从而求出，再利用题目中所给等式可证明数列为等差数列，最后利用等差数列定义求出结果。【题目详解】根据题意，可设，则，因为，所以，所以，所以数列数以1为首项，2为公差的等差数列，所以，所以，故选C。【题目点拨】本题考查选择题中的特殊法解决问题，对于选择题则可以找到满足题意的特殊值或者特殊函数直接代入进行求解。2、B【解题分析】

得出，从而得到的大小关系，得到答案．【题目详解】由题意，根据对数的运算可得，所以，故选B．【题目点拨】本题主要考查了对数的换底公式，以及对数的单调性、指数的运算的应用，其中解答中熟记对数的运算性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3、B【解题分析】

求得，即可求得，再求得，利用交集运算得解.【题目详解】由得：或，所以，所以由可得：或所以所以故选：B【题目点拨】本题主要考查了对数函数的性质，还考查了补集、交集的运算，属于基础题.4、B【解题分析】

由，则，再根据三角形边长可以证得，再利用不等式和已知可得，进而得到，再利用导数求得函数的单调性，求得函数的最小值，即可求解．【题目详解】由题意，记，又由，则，又为△ABC的三边长，所以，所以，另一方面，由于，所以，又，所以，不妨设，且为的三边长，所以．令，则，当时，可得，从而，当且仅当时取等号．故选B．【题目点拨】本题主要考查了解三角形，综合了函数和不等式的综合应用，以及基本不等式和导数的应用，属于综合性较强的题，难度较大，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题．5、D【解题分析】分析：由题意结合排列组合公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知，5人的安排方案为或，结合平均分组计算公式可知，方案为时的方法有种，方案为时的方法有种，结合加法公式可知安排方法共有种.本题选择D选项.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．6、B【解题分析】因，故复数对应的点在第二象限，应选答案B．7、A【解题分析】分析：观察数字的分布情况，可知从右上角到左下角的一列数成公差为2的等差数列，想求第20行第4列的数，只需求得23行第一个数再减去即可，进而归纳每一行第一个数的规律即可得出结论．详解：顺着图中直线的方向，从上到下依次成公差为2的等差数列，要想求第20行第4列的数，只需求得23行第一个数再减去即可.观察可知第1行的第1个数为：；第2行第1个数为：；第3行第1个数为：.……第23行第1个数为：.所以第20行第4列的数为.故选A.点睛：此题考查归纳推理，解题的关键是通过观察得出数字的排列规律，是中档题．8、B【解题分析】

回归直线经过样本中心点.【题目详解】样本中心点为，因为回归直线经过样本中心点，所以，.故选B.【题目点拨】本题考查回归直线的性质.9、C【解题分析】

直接将代入通项公式，可得答案.【题目详解】数列的通项公式为.所以当时，.故选：C【题目点拨】本题考查求数列中的项，属于基础题.10、A【解题分析】

先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项，再根据常数项为15，求得的值．【题目详解】解：二项式的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项为，由此求得，故选：．【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．11、C【解题分析】分析：把天分成天组，然后人各选一组值班即可.详解：天分成天，天，天组，人各选一组值班，共有种，故选C.点睛：本题主要考查分组与分配问题问题，着重考查分步乘法计数原理，意在考查综合运用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题.12、A【解题分析】

求导，判断导函数函数值的正负，从而判断函数的单调性，通过单调性判断选项.【题目详解】解：当时，，则，若，，，若，，，则恒成立，即当时，恒成立，则在上单调递减，

故选：A.【题目点拨】本题主要考查函数的图象，可以通过函数的性质进行排除，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、0.16【解题分析】试题分析：因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线的对称轴为.由及正态分布的性质，考点：正态分布及其性质.14、20【解题分析】分析：由题意可知，满足超几何分布，列出的公式，建立与的表达式，求最大值。详解：，取得最大值，也即是取最大，所以：解得，故。点睛：组合数的最大值，可以理解为数列的最大项来处理。15、1【解题分析】分析：把丙丁捆绑在一起，作为一个元素排列，然后把甲插入，注意丙丁这个元素的位置不同决定着甲插入的方法数的不同．详解：．故答案为1．点睛：本题考查排列组合的应用．排列组合中如果有元素相邻，则可用捆绑法，即相邻的元素捆绑在一起作为一个元素进行排列，当然它们之间也要全排列，特殊元素可优先考虑．注意分类与分步结合，不重不漏．16、【解题分析】

根据题意转化为，利用，可将函数进行换元，利用对勾函数求函数的最大值.【题目详解】当时，又，设，设当时，取得最大值.若为真命题，，即,的最大值是5.故填:5.【题目点拨】本题考查了根据全称命题的真假，求参数取值范围的问题，考查了转化与化归的思想，若存在，使，即，若，使恒成立，所以，需注意时任意还是存在问题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）3；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）利用绝对值不等式求得函数的最小值.（2）利用基本不等式，证得不等式成立.【题目详解】（1）依题意，当且仅当时，取得最小值，故的最小值为.（2）由（1）知，，当且仅当时等号成立.【题目点拨】本小题主要考查利用绝对值不等求得最小值，考查利用基本不等式证明不等式，属于基础题.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解题分析】

（Ⅰ）当时，，因为是定义在上的奇函数，所以可得；，进而求出解析式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得出函数的单调性，利用单调性解不等式．【题目详解】（Ⅰ）当时，，因为是定义在上的奇函数所以；当时，；所以（Ⅱ）易知当时，单调递增，又是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，所以不等式等价于，解得，所以原不等式的解集为．【题目点拨】本题考查函数的奇偶性与单调性，解题的关键是由奇偶性先求出解析式，属于一般题．19、（1）证明见解析（2）【解题分析】

(1)由可得,再构造函数,分析函数单调性求最值证明即可.(2)根据题意构造函数,再根据的正负分析函数的单调性可知为最大值,进而求得实数的最小值即可.【题目详解】（1）证明：由,得,.设,所以,函数在上单调递增,在单调递减,所以,.又因为（其中）,所以,,所以,成立.（2）解：设,.,,所以,.下面证明当时,成立.,因为,所以,所以.又因为当时,,所以,所以,所以,当时,.故,.所以,的最大值为,所以,的最小值为.【题目点拨】本题主要考查了利用导数证明函数不等式的问题,同时也考查了数列中求最大值项的方法.需要构造数列求解的正负判断,属于难题.20、（Ⅰ）.（Ⅱ）为定值.证明见解析．【解题分析】本试题主要是考出了椭圆方程的求解，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系的运用的综合考查，体现了运用代数的方法解决解析几何的本质的运用．（1）首先根据题意的几何性质来表示得到关于a,b,c的关系式，从而得到其椭圆的方程．（2设出直线方程，设点P的坐标，点斜式得到AP的方程，然后联立方程组，可知借助于韦达定理表示出长度，进而证明为定值．（Ⅰ）解：由题意可知，，，解得.…………4分所以椭圆的方程为.…………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知,，.设，依题意，于是直线的方程