新教材人教A版高中数学选择性必修第二册全册教学课件(共541张)

4.1.1数列的概念与简单表示4.1.2数列的递推公式第1课时等差数列的概念及通项公式4.2.1等差数列的概念第2课时等差数列的性质及应用第1课时等差数列的前n项和4.2.2等差数列的前n项和公式第2课时等差数列前n项和的性质及应用第1课时等比数列的概念及通项公式4.3.1等比数列的概念第2课时等比数列的性质及应用第1课时等比数列的前n项和4.3.2等比数列的前n项和公式第2课时等比数列前n项和的性质及应用4.4数学归纳法第四章数列5.1.1变化率问题5.1.2导数的概念及其几何意义5.2.1基本初等函数的导数

5.2.2导数的四则运算法则5.2.3简单复合函数的导数5.3.1函数的单调性第1课时函数的极值5.3.2函数的极值与最大(小)值第2课时函数的最大(小)值第五章一元函数的导数及其应用一、数列1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示;第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.3.表示:数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}.点析(1)数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,例如1,2,3,…与3,2,1…就是不同的数列.(2)符号{an}和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项.4.1数列的概念第1课时数列的概念与简单表示微思考数列与集合之间有怎样的区别与联系?提示:(1)集合中的元素具有确定性、无序性、互异性,而数列中的项具有确定性、有序性、可重复性;(2)集合中的元素可以是数,也可以是点、方程以及其他事物等,但数列中的每一项必须是数;(3)数列{an}不是集合,它是数列的一个整体符号,{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,而an表示数列的第n项.二、数列的分类

类别含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列微练习下列叙述正确的是(

)A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类B.数列中的数由它的位置序号唯一确定C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}D.同一个数在数列中不可能重复出现解析:按项的变化趋势,数列可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列等数列,A错误;数列1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合{1,3,5,7}是两个不同的概念,C错误;同一个数在数列中可能重复出现,如2,2,2,…表示由实数2构成的常数列,D错误;对于给定的数列,数列中的数由它的位置序号唯一确定,B正确.答案:B三、数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.点析(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集){1,2,…,n}为定义域的函数表达式.(2)并不是所有的数列都有通项公式.(3)同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos

nπ等.微练习若数列{an}的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10项a10=

,224是该数列的第

项.

解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是该数列的第15项.答案:99

15探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测数列的概念及分类

例1给出下列说法:①数列中的项数一定是无限的;②数列1,3,2,6,3,9,…是递增的无穷数列;③数列,…是递减的无穷数列;④数列0,1,4,9,16,…的通项公式是an=n2;⑤数列1,5,2,10,3,15,…没有通项公式;⑥摆动数列也可能有通项公式.其中正确说法的序号是

.

分析:根据数列的定义、分类以及通项公式的概念进行判断.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解析:对于①,错误,数列中的项数可以是有限项或无限项;对于②,错误,该数列是无穷数列,但不是递增数列;对于③,正确;对于④,错误,该数列的通项公式是an=(n-1)2;对于⑥,正确.答案:③⑥

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟数列类型的判断在判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.对于是递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析;而是有穷还是无穷数列则看项的个数是有限还是无限.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1下列正确说法的序号是

.

①{0,1,2,3,4,5}是有穷数列;②按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷递增数列;③-2,-1,1,3,-2,4,3是一个项数为5的数列;④数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列.解析:紧扣数列的有关概念,验证每一个说法是否正确.{0,1,2,3,4,5}是集合,而不是数列,故①错误;按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷递增数列,故②正确;同一个数在数列中可以重复出现,故此数列共有7项,故③错误;数列1,2,3,4,…,2n,共有2n项,是有穷数列,故④错误.答案:②探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测根据数列的前几项求通项公式例2写出下列数列的一个通项公式:分析:观察、分析,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).(3)各项加1后,分别变为10,100,1

000,10

000,…,此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为n,综探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟1.根据数列的前几项写通项公式的具体思路为:(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号.(4)对于周期出现的数列,考虑利用周期函数的知识解答.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.常见数列的通项公式(1)数列-1,1,-1,1,…的一个通项公式是an=(-1)n,数列1,-1,1,-1,…的一个通项公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.(2)数列1,2,3,4,…的一个通项公式是an=n.(3)数列1,3,5,7,…的一个通项公式是an=2n-1.(4)数列2,4,6,8,…的一个通项公式是an=2n.(5)数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1.(6)数列1,4,9,16,…的一个通项公式是an=n2.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练2写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测数列通项公式的应用

分析:数列的前3项已知,由此代入通项公式,可得到关于a,b,c的方程组,解方程组即得a,b,c的值,从而求出数列的通项公式,再求a4,a5;探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟数列中项的判定方法判断给定的项是不是数列中的项,实质就是一个解方程的过程.若解得的n是正整数,则该项是此数列中的项;否则,就不是该数列中的项.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测数列的单调性及其应用

(1)当k=1时,判断数列{an}的单调性;(2)若数列{an}是递减数列,求实数k的取值范围.分析:对于(1),因为已知数列的通项公式,所以可以通过比较数列的相邻两项an与an+1的大小来确定数列的单调性;对于(2),可根据数列是递减数列,得出an与an+1的大小关系,从而确定k的取值范围.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟判断数列的增减性,一般是将其转化为比较相邻两项的大小,常用的方法有作差法、作商法.作差法判断数列增减性的步骤为先作差,再变形、定号,最后下结论.作商法适用于各项都是同号的数列,且应比较比值与1的大小关系.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测A.递增数列 B.递减数列C.常数列 D.摆动数列答案:B探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测例5(1)已知数列{an}满足an=n2-5n-6,n∈N*.①数列中有哪些项是负数?②当n为何值时,an取得最小值?求出此最小值.分析:(1)①根据数列的函数的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根据二次函数的性质即可求出.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(1)解:①an=n2-5n-6<0,解得0<n<6.∵n∈N*,∴数列中第1,2,3,4,5项为负数,即-10,-12,-12,-10,-6.∴当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,∴数列中有最大项,最大项为第9,10项,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解法二:设ak是数列{an}的最大项,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟求数列的最大(小)项的两种方法(1)由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2,…,n}这一条件.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测归纳法求数列的通项公式典例观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律,猜想第n个图中有

小圆圈.

分析:仔细观察每个图形中圆圈的个数与对应顺序之间的关系,从而归纳出第n个图形中小圆圈的个数.解析:观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,…,故第n个图中小圆圈的个数为(n-1)·n+1=n2-n+1.答案:n2-n+1探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟归纳是逻辑推理的一类,可以发现新命题.本例完美诠释了“观察现象,归纳规律,大胆猜想,小心求证”这一认识发展规律.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测1.下列各项表示数列的是(

)A.△,○,☆,□B.2008,2009,2010,…,2017C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形D.a+b,a-b,ab,λa解析:数列是指按照一定次序排列的一列数,而不能是图形、文字、向量等,只有B项符合.答案:B探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.下列数列既是递增数列,又是无穷数列的是(

)A.1,2,3,…,20B.-1,-2,-3,…,-n,…C.1,2,3,2,5,6,…D.-1,0,1,2,…,100,…解析:由递增数列和无穷数列的定义知D项正确.答案:D探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测3.已知数列{an}的通项公式为an=log3(2n+1),则a3=

.

解析:∵an=log3(2n+1),∴a3=log3(23+1)=log39=2.答案:2答案:19探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测第2课时数列的递推公式一、递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.点析通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映了an与n之间的关系,即已知n的值,就可代入通项公式求得该项的值an;递推关系则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求an,需将与之联系的各项依次求出.微练习设数列{an}满足a1=1,二、数列的通项与前n项和1.数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.点析(1)已知数列{an}的前n项和Sn,求an,一般使用公式an=Sn-Sn-1(n≥2),但必须注意它成立的条件(n≥2且n∈N*).(2)由Sn-Sn-1求得的an,若当n=1时,a1的值不等于S1的值,则数列的通项公式应采用分段表示,即微练习已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2,求数列{an}的通项公式.解:a1=S1=1+2=3,①而n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2)-[(n-1)2+2]=2n-1.②在②中,当n=1时,2×1-1=1,故a1不适合②式.∴数列{an}的通项公式为探究一探究二探究三素养形成当堂检测由递推公式求前若干项

分析:由a1的值和递推公式,分别逐一求出a2,a3,a4,a5的值.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟由递推公式写出数列的项的方法根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1已知数列{an}满足an=4an-1+3,且a1=0,则此数列的第5项是(

)A.15 B.255 C.16 D.63解析:因为a1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测由递推公式求数列的通项公式

探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟由递推公式求通项公式常用的方法有两种:(1)累加法:当an=an-1+f(n)时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项公式.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测由数列的前n项和求通项公式例3若数列{an}的前n项和Sn=-2n2+10n,求数列{an}的通项公式.解:∵Sn=-2n2+10n,∴Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),∴an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n≥2).当n=1时,a1=-2+10=8=-4×1+12.此时满足an=-4n+12,∴an=12-4n.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究试求本例中Sn的最大值.又∵n∈N*,∴当n=2或n=3时,Sn最大,即S2或S3最大.探究一探究二探究三素养形成当堂检测函数思想在数列中的应用典例在数列{an}中,an=3n2-14n-8,求该数列的最小项.方法总结解决数列问题时,可以借鉴函数的方法,但必须注意数列相对函数的特殊性,尤其是数列中的项数n只能取正整数.探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.已知数列{an},an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于(

)A.0 B.C.2 D.5解析:由题意,得a2=ma3+1,即3=5m+1,答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+25n,则数列{an}的各项中最大项是(

)A.第4项 B.第5项C.第6项 D.第7项答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an+23,n∈N*,则数列{an}的通项公式an=(

)答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.求三角形数数列1,3,6,10,…的通项公式.解:用{an}表示该数列,则a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n(n≥2).以上各式两边分别相加,得an-a1=2+3+4+…+n.∵a1=1,第1课时等差数列的概念及通项公式4.2.1等差数列的概念一、等差数列一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.点析等差数列概念的理解(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.(2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征).(3)公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差,不要把被减数与减数弄颠倒.(4)公差可以是正数、负数、零.(5)等差数列的增减性与公差d的关系:当d>0时,是递增数列;当d<0时,是递减数列;当d=0时,是常数列.微练习判断下列各组数列是不是等差数列.如果是,写出首项a1和公差d.①1,3,5,7,9,…;②9,6,3,0,-3,…;③1,3,4,5,6,…;④7,7,7,7,7,…;解:①是,a1=1,d=2;②是,a1=9,d=-3;③不是;④是,a1=7,d=0;⑤不是.二、等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.这三个数满足关系式2A=a+b.微练习若a,b是方程x2-2x-3=0的两根,则a,b的等差中项为(

)答案:C三、等差数列的通项公式首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d.点析(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1,d和n的表达式,所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项.(2)等差数列的通项公式可以推广为an=am+(n-m)d,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.微练习(1)等差数列{an}:5,0,-5,-10,…的通项公式是

.

(2)若等差数列{an}的通项公式是an=4n-1,则其公差d=

.

解析:(1)易知a1=5,d=-5,所以an=5+(n-1)·(-5)=10-5n.(2)公差d=an-an-1=(4n-1)-[4(n-1)-1]=4.答案:(1)an=10-5n

(2)4探究一探究二探究三素养形成当堂检测等差数列的通项公式及其应用例1(1)已知数列{an}是首项为2,公差为4的等差数列,若an=2022,则n=(

)A.504 B.505C.506 D.507(2)在等差数列40,37,34,…中,第一个负数项是(

)A.第13项

B.第14项C.第15项

D.第16项(3)在等差数列{an}中,若a3=12,a6=27,则其通项公式为

.

分析:(1)与(2)均可先求通项公式,再利用通项公式解决相应问题;(3)可根据已知条件建立关于a1和d的方程组,求得a1和d即可得到通项公式.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:(1)根据题意,数列{an}是首项为2,公差为4的等差数列,则an=a1+(n-1)d=4n-2,若an=2

022,则有4n-2=2

022,解得n=506.(2)首项a1=40,公差d=-3,所以an=40-3(n-1)=43-3n.答案:(1)C

(2)C

(3)an=5n-3探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟等差数列通项公式的求法与应用技巧1.等差数列的通项公式可由首项与公差确定,所以要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差.2.等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称之为“知三求一”.3.通项公式可变形为an=dn+(a1-d),可把an看作自变量为n的一次函数.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1在等差数列{an}中,求解下列各题:探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测等差中项及其应用例2(1)若等差数列的前三项分别为a,2a-1,3-a,求其第2020项;(2)在-1和7之间插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求这三个数.分析:(1)先根据条件求出通项公式,再代入求解;(2)先根据等差中项求出b,再依次利用等差中项求出a,c.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟等差中项的应用策略1.求两个数x,y的等差中项,根据等差中项的定义得2.证明三项成等差数列,只需证明中间一项为两边两项的等差中项即可,即若a,b,c成等差数列,则a+c=2b;反之,若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测等差数列的判断与证明例3判断下列数列是否为等差数列.(1)在数列{an}中,an=3n+2;(2)在数列{an}中,an=n2+n.分析:根据等差数列的定义,判断an+1-an是否为常数.解:(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N*),故该数列为等差数列.(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,故该数列不是等差数列.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟用定义法判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本步骤为:(1)作差an+1-an.(2)对差式进行变形.(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,而是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练3已知数列{an}中,a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).(1)判断数列{an}是否为等差数列,并说明理由;(2)求{an}的通项公式.解:(1)当n≥3时,an=an-1+2,即an-an-1=2,而a2-a1=0不满足an-an-1=2(n≥3),∴{an}不是等差数列.(2)当n≥2时,an是等差数列,公差为2.当n≥2时,an=1+2(n-2)=2n-3,又a1=1不适合上式,探究一探究二探究三素养形成当堂检测(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.分析:先用an表示bn+1,bn,再验证bn+1-bn为常数,最后可求出数列{an}的通项公式.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟判断等差数列的方法(1)定义法:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,且n∈N*)⇔数列{an}是等差数列.(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}为等差数列.(3)通项公式法:数列{an}的通项公式an=pn+q(p,q为常数)⇔数列{an}为等差数列.注意:(1)通项公式法不能作为证明方法.(2)若an+1-an为常数,则该常数为等差数列{an}的公差;若an+1-an=an-an-1(n≥2,且n∈N*)成立,则无法确定等差数列{an}的公差.(3)若数列的前有限项成等差数列,则该数列未必是等差数列;而要否定一个数列是等差数列,只要说明其中连续三项不成等差数列即可.(4)已知数列的递推公式求数列的通项时,要通过对递推公式进行合理变形,构造出等差数列求通项.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测对称法设项典例成等差数列的四个数之和为26,第2个数和第3个数之积为40,求这四个数.方法点睛题中是已知四个数成等差数列,则采用“对称法”设项,这样可以减少计算量,因此要记住奇数个数或偶数个数成等差数列的“对称法设项”的方法,以达到快速求解的目的.探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.已知数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列(

)A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列解析:∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,∴数列{an}是公差为2的等差数列.答案:A探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:D3.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+2,则a20=(

)A.38 B.40 C.-36 D.-38解析:∵an+1=an+2,∴an+1-an=2,∴数列{an}是公差为2的等差数列.∵a1=2,∴a20=2+(20-1)×2=40.答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,则m和n的等差中项为

.

解析:由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8.又由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10.两式相加,得3m+3n=18,即m+n=6.答案:3探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.在等差数列{an}中,a1=23,公差d为整数,若a6>0,a7<0.(1)求公差d的值;(2)求通项an.又公差d为整数,所以d=-4.(2)因为等差数列{an}的首项为23,公差为-4,所以通项an=23-4(n-1)=-4n+27.第2课时等差数列的性质及应用一、等差数列与一次函数的关系

微练习若{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则ap+q为(

)A.p+q

B.0C.-(p+q)解析:设图象过点(p,q)和(q,p)的一次函数为y=kx+b,则

所以图象过点(p,q)和(q,p)的一次函数为y=-x+(p+q),由等差数列和一次函数的关系可知an=-n+(p+q),所以ap+q=-(p+q)+(p+q)=0.答案:B二、等差数列的常用性质

点析(1)等差数列{an}中,若m+n=2p,则am+an=2ap(m,n,p∈N*).(2)等差数列{an}中,若m+n+t=p+q+r,则am+an+at=ap+aq+ar(m,n,t,p,q,r∈N*).(3)等差数列{an}中,微练习(1)判断正误.①在等差数列的通项公式中,an是关于n的一次函数.(

)②在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq,则m+n=p+q.(

)③等差数列去掉前面连续的若干项后,剩下的项仍构成等差数列.(

)④摆动数列不可能是等差数列.(

)⑤在等差数列{an}中,若m+n=p,则am+an=ap.(

)⑥在等差数列{an}中,若m+n+p=3t,则am+an+ap=3at.(

)答案:①×

②×

③√

④√

⑤×

⑥√(2)在等差数列{an}中,若a5=7,a9=19,则a2+a12=

,a7=

.

解析:a2+a12=a5+a9=7+19=26.因为a5+a9=2a7=26,所以a7=13.答案:26

13探究一探究二探究三素养形成当堂检测等差数列性质的应用例1(1)已知等差数列{an},a5=10,a15=25,求a25的值;(2)已知等差数列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值;(3)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值.分析:利用等差数列的性质解决各个问题.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)(方法1)设{an}的公差为d,(方法2)因为5+25=2×15,所以在等差数列{an}中有a5+a25=2a15,从而a25=2a15-a5=2×25-10=40.(方法3)因为5,15,25成等差数列,所以a5,a15,a25也成等差数列,因此a25-a15=a15-a5,即a25-25=25-10,解得a25=40.(2)由等差数列的性质,得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,于是a5=14,故a1+a9=2a5=28.(3)令cn=an-bn,因为{an},{bn}都是等差数列,所以{cn}也是等差数列,设其公差为d,由已知,得c1=a1-b1=5,c7=17,则5+6d=17,解得d=2,故a19-b19=c19=5+18×2=41.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟求等差数列基本运算的两种方法一是利用基本量运算,借助于a1,d建立方程组进行运算,这是最基本的方法;二是利用性质运算,运用等差数列的性质可简化计算,往往会有事半功倍的效果.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究(1)已知数列{an}为等差数列,且a1+a6+a11=3,则a3+a9=

.

(2)已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,则a75=

.

解析:(1)因为数列{an}为等差数列,所以a1+a11=2a6,即3a6=3,解得a6=1,故a3+a9=2a6=2.(2)因为{an}为等差数列,所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,设其公差为d,则a15为首项,a60为其第4项,所以a60=a15+3d,即20=8+3d,解得d=4,所以a75=a60+d=20+4=24.答案:(1)2

(2)24探究一探究二探究三素养形成当堂检测等差数列的综合问题例2(1)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,求a11+a12+a13的值;(2)已知四个数依次成等差数列,且是递增数列,这四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列.分析:(1)利用等差数列的性质求解;(2)可设这四个数依次为a-3d,a-d,a+d,a+3d进行求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)设{an}的公差为d,∵a1+a3=2a2,∴a1+a2+a3=15=3a2,∴a2=5.又a1a2a3=80,{an}是公差为正数的等差数列,∴a1a3=(5-d)(5+d)=16,解得d=3或d=-3(舍去),∴a12=a2+10d=35,∴a11+a12+a13=3a12=105.(2)设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟三个数或四个数成等差数列时,设未知量的技巧如下:(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时,可先设中间一项为a,再用公差为d向两边分别设项:…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,….(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时,可先设中间两项为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,….这样可减少计算量.探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)已知三个数成等差数列,且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,求这三个数.答案:A探究一探究二探究三素养形成当堂检测由①得a=6,代入②得d=±2.∵该数列是递增的,∴d=-2舍去,∴d=2,∴这三个数分别为4,6,8.探究一探究二探究三素养形成当堂检测等差数列的实际应用例3《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,最上面4节的容积共3升,最下面3节的容积共4升,则从上往下数,第5节的容积为(

)分析:设出等差数列的首项与公差,运用等差数列的知识解决.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:设所构成的等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点1.解答数列实际应用问题的基本步骤:(1)审题,即仔细阅读材料,认真理解题意;(2)建模,即将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题;(3)判型,即判断该数列是否为等差数列;(4)求解,即求出该问题的数学解;(5)还原,即将所求结果还原到实际问题中.2.在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,以后每4年举行一次,如因故不能举行,届数照算,那么2020年将在日本东京举行的奥运会是(

)A.第30届 B.第31届 C.第32届 D.第33届解析:依题意知举行奥运会的年份构成以1

896为首项,4为公差的等差数列,通项公式为an=1

896+4(n-1),令2

020=1

896+4(n-1),解得n=32.答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测等差数列的探索性问题

(1)求证:数列{bn}为等差数列.(2)设cn=,试问数列{cn}中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,求出这三项;若不存在,说明理由.分析:(1)证明(bn+1-bn)为常数;(2)假设存在三项成等差数列,利用等差中项的性质列式推出一个矛盾的结论.探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)解:假设数列{cn}中存在三项,它们可以构成等差数列.不妨设为第p,r,q(p<r<q)项,由(1)得bn=n,∴cn=2n,∴2·2r=2p+2q,∴2r+1-p=1+2q-p.又2r+1-p为偶数,1+2q-p为奇数,故不存在这样的三项,满足条件.方法点睛判断三个数能不能成等差数列,可先假设所证三个数成等差数列,利用等差数列的性质列式,推出矛盾结论.探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.已知等差数列{an},a7+a19=19,a5=1,则a21的值为(

)A.20 B.18 C.15 D.17解析:因为a7+a19=a5+a21,所以19=1+a21,解得a21=18.答案:B2.已知数列{an},{bn}为等差数列,且公差分别为d1=2,d2=1,则数列{2an-3bn}的公差为(

)A.7 B.5 C.3 D.1解析:2an+1-3bn+1-(2an-3bn)=2(an+1-an)-3(bn+1-bn)=2d1-3d2=4-3=1.答案:D探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.已知等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,且a2+a6=a8.若p-q=10,则ap-aq=

.

解析:设等差数列{an}的公差为d>0.∵a1=1,且a2+a6=a8,∴2+6d=1+7d,解得d=1.若p-q=10,则ap-aq=10d=10.答案:104.已知直角三角形的三条边的长度成等差数列,则它们长度的比等于

.

解析:设这个直角三角形的三边长分别为a-d,a,a+d,根据勾股定理,得(a-d)2+a2=(a+d)2,解得a=4d,于是这个直角三角形的三边长分别是3d,4d,5d,即这个直角三角形的三边长的比是3∶4∶5.答案:3∶4∶5探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.某公司2017年经销一种数码产品,获利200万元,从2018年起,预计其利润每年比上一年减少20万元.按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将出现亏损?解:记2017年为第1年,由题设可知第1年获利200万元,第2年获利180万元,第3年获利160万元,……,则每年获利构成等差数列{an},且当an<0时,该公司经销此产品将亏损.设第n年的利润为an,因为a1=200,公差d=-20,所以an=a1+(n-1)d=220-20n.由题意知,数列{an}为递减数列,令an<0,即an=220-20n<0,解得n>11,即从第12年起,也就是从2028年开始,该公司经销此产品将出现亏损.第1课时等差数列的前n项和4.2.2等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式及其推导

等差数列的前n项和公式推导方法倒序相加法.推导过程设等差数列的前n项分别为a1,a2,a3,…,an-2,an-1,an,Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,依等差数列的通项公式,得:Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d].①再把项的次序反过来,Sn又可以写成:Sn=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)d].②①②两边分别相加,得:2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an),∴Sn=.点析(1)两个公式均为等差数列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量.通常已知其中三个,可求其余两个,而且方法就是解方程(组),这也是等差数列的基本问题形式之一.微拓展从函数角度认识等差数列的前n项和公式:(1)公式的变形(2)从函数角度认识公式①当d≠0时,Sn是项数n的二次函数,且不含常数项;②当d=0时,Sn=na1,Sn不是项数n的二次函数.(3)结论及其应用已知数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn+C,若C=0,则数列{an}为等差数列;若C≠0,则数列{an}不是等差数列.微练习记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=

.解析:设等差数列{an}的公差为d,因为a3=0,a6+a7=14,所以答案:14探究一探究二探究三素养形成当堂检测等差数列前n项和公式及其应用例1(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和,且a1=1,a4=7,则S9=

.

(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=

.

(3)在等差数列{an}中,若a1=1,an=-512,Sn=-1022,则公差d=

.

分析:利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程进行计算求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:(1)设等差数列{an}的公差为d,则a4=a1+3d=1+3d=7,所以d=2.解得n=4.又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.答案:(1)81

(2)15

(3)-171探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟a1,d,n称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,d,n,an,Sn中,可知三求二,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本方法.在运算中要注意等差数列性质的应用.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1(1)设等差数列{an}的前n项之和为Sn,已知a2=3,a5=9,则S5等于(

)A.15

B.20

C.25

D.30(2)若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=(

)A.12 B.13 C.14 D.15(3)已知Sn为等差数列{an}的前n项的和,若a3=16,S20=20,Sn=110,则n=

.

探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:(1)C

(2)B

(3)10或11探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用an与Sn的关系解决问题例2(1)已知数列{an}的前n项和Sn=5n-1,求数列{an}的通项公式;(2)已知数列{an}的前n项和Sn=,求数列{an}的通项公式.分析:利用an与Sn的关系求通项公式,注意对首项的检验.解:(1)当n=1时,a1=S1=51-1=4.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=4·5n-1.由于a1=4也适合an=4·5n-1,因此数列{an}的通项公式是an=4·5n-1(n∈N*).探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟已知数列{an}的前n项和Sn,求通项公式an的步骤1.当n=1时,a1=S1.2.当n≥2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1.3.如果a1也满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1;如果a1不满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5<ak<8,则k=(

)A.9 B.8 C.7 D.6解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-9n-(n-1)2+9(n-1)=2n-10.当n=1时,a1=S1=-8也适合,所以an=2n-10.因为5<ak<8,所以5<2k-10<8,解得7.5<k<9,故k=8.答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测例3已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足

(1)求证:{an}为等差数列;(2)求出{an}的通项公式.相减,利用an与Sn的关系可消去Sn,得到an与an-1的关系,从而可判断数列{an}是不是等差数列,再根据a1=S1可求出a1的值,即得{an}的通项公式.探究一探究二探究三素养形成当堂检测若an-1=-an-1,则an+an-1=1,而a1=3,所以a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数相矛盾;若an-1=an-1,即an-an-1=1,因此{an}为等差数列.(2)由(1)知,{an}为等差数列,且a1=3,公差d=1,所以an=3+(n-1)=n+2,故{an}的通项公式为an=n+2.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟利用an与Sn的关系式求数列{an}的通项公式.已知an与Sn的关系式求an时,可根据已给出的关系式,令n取n+1或n取n-1,再写出一个关系式,将两式相减,消去Sn,得到an与an+1或an与an-1的关系,从而确定数列{an}是等差数列或其他数列,求出其通项公式.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究在本例中,若将条件变为“数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足8Sn=(an+2)2”,求数列{an}的通项公式.解:当n=1时,8a1=(a1+2)2,解得a1=2.当n≥2时,8Sn-1=(an-1+2)2,即(an+an-1)(an-an-1-4)=0.因为数列{an}的各项均为正数,所以an+an-1>0,所以an-an-1-4=0,即an-an-1=4,所以数列{an}为首项为2,公差为4的等差数列,故an=2+4(n-1)=4n-2.探究一探究二探究三素养形成当堂检测等差数列在实际生活中的应用例4

某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花费多少钱?探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:设每次交款数额依次为a1,a2,…,a20,则a1=50+1

000×1%=60,a2=50+(1

000-50)×1%=59.5,…a10=50+(1

000-9×50)×1%=55.5,即第10个月应付款55.5元.由于{an}是以60为首项,以-0.5为公差的等差数列,所以有即全部付清后实际付款1

105+150=1

255(元).反思感悟等差数列的实际应用的解题策略建立等差数列的模型时,要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练3甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动,甲第1分钟走2m,以后每分钟比前1分钟多走1m,乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多走1m,乙继续每分钟走5m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?探究一探究二探究三素养形成当堂检测整理得n2+13n-140=0.解得n=7,n=-20(舍去).所以第1次相遇是在开始运动后7分钟.(2)设n分钟后第2次相遇,由题意,整理得n2+13n-420=0.解得n=15,n=-28(舍去).所以第2次相遇是在开始运动后15分钟.探究一探究二探究三素养形成当堂检测由an与Sn的关系求通项典例已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2,求此数列的通项公式.解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2-(n-1)2-2=2n-1;当n=1时,a1=S1=12+2=3,不适合上式,方法点睛已知数列{an}的前n项和公式Sn,求an时应分三步.第一步,利用a1=S1求a1.第二步,当n≥2时,求an=Sn-Sn-1.第三步,检验a1是否适合当n≥2时得到的an.若适合,则an即为所求;若不适合,将an用分段函数表示.探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.设Sn为等差数列{an}的前n项和,公差d=-2,若S10=S11,则a1=(

)A.18 B.20 C.22 D.24答案:B2.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+3n,若ak+1=-16,则k的值等于(

)A.9 B.8 C.7 D.6解析: