2024届浙江省之江教育评价联盟高二数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

2024届浙江省之江教育评价联盟高二数学第二学期期末学业质量监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为()A．3×2－2 B．2－4 C．3×2－10 D．2－83．在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆漂流的汽油桶。现有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击相互独立，且命中概率都是。则打光子弹的概率是（）A． B． C． D．4．已知的二项展开式中含项的系数为，则()A． B． C． D．5．一物体做直线运动，其位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系是s=5t-t2，则该物体在A．-1m/s B．1m6．在三棱锥中，，，面，，，分别为，，的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．7．若变量，满足约束条件，则的取值范围是（）A． B．C． D．8．若函数是奇函数，则使得成立的的取值范围是（）A． B．C． D．9．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为（）A． B． C． D．10．已知，，是不全相等的正数，则下列命题正确的个数为()①；②与及中至少有一个成立；③，，不能同时成立．A． B． C． D．11．地球半径为R,北纬45°圈上A,B两点分别在东径130°和西径140°,并且北纬45°圈小圆的圆心为O´,则在四面体O-ABO´中，直角三角形有（）A．0个 B．2个 C．3个 D．4个12．用反证法证明命题：“若实数，满足，则，全为0”，其反设正确的是（）A．，至少有一个为0 B．，至少有一个不为0C．，全不为0 D．，全为0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线l的普通方程为x+y+1=0，点P是曲线上的任意一点，则点P到直线l的距离的最大值为______．14．已知服从二项分布，则________.15．在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查.现从98件正品和2件次品共100件产品中，任选3件检查，恰有一件次品的抽法有__________种．16．已知随机变量ξ的分布列为ξ12345P0.10.20.40.20.1若η=2ξ﹣3，则η的期望为_______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某海湿地如图所示，A、B和C、D分别是以点O为中心在东西方向和南北方向设置的四个观测点，它们到点O的距离均为公里，实线PQST是一条观光长廊，其中，PQ段上的任意一点到观测点C的距离比到观测点D的距离都多8公里，QS段上的任意一点到中心点O的距离都相等，ST段上的任意一点到观测点A的距离比到观测点B的距离都多8公里，以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.（1）求观光长廊PQST所在的曲线的方程；（2）在观光长廊的PQ段上，需建一服务站M，使其到观测点A的距离最近，问如何设置服务站M的位置?18．（12分）已知函数当时，求函数在处的切线方程；当时，求函数的最大值。19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求和的直角坐标方程；（2）已知直线与轴交于点，且与曲线交于，两点，求的值.20．（12分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点O重合，极轴与x轴的正半轴重合，若直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求直线l被曲线C截得线段的长．21．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，其中，且，，是的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.22．（10分）已知复数，求下列各式的值：(Ⅰ)(Ⅱ)

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】,复数对应点为:.点在第二象限,所以B选项是正确的.2、C【解题分析】E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，则P(X＝1)＝·()1·()11＝3×2－10.3、B【解题分析】

打光所有子弹，分中0次、中一次、中2次。【题目详解】5次中0次：5次中一次：5次中两次：前4次中一次，最后一次必中则打光子弹的概率是++=,选B【题目点拨】本题需理解打光所有子弹的含义：可能引爆，也可能未引爆。4、C【解题分析】分析：先根据二项式定展开式通项公式求m,再求定积分.详解：因为的二项展开式中，所以,因此选C.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.5、A【解题分析】

先对s求导，然后将t=3代入导数式，可得出该物体在t=3s时的瞬时速度。【题目详解】对s=5t-t2求导，得s'因此，该物体在t=3s时的瞬时速度为-1m/s，故选：A。【题目点拨】本题考查瞬时速度的概念，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题。6、B【解题分析】

由题意可知，以B为原点，BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标法求角即可.【题目详解】∵∴，以B为原点，BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，∴，设，则，∵，∴，解得∴∴，∴异面直线与所成角的余弦值为故选B【题目点拨】本题考查了异面直线所成角的余弦值求法问题，也考查了推理论证能力和运算求解能力，是中档题．7、B【解题分析】分析：根据题意，将化简成斜率的表达形式；所以就是求可行域内与连线斜率的取值范围加1,。详解：，原式表示可行域内的点与连线的斜率加1。由不等式组成的可行域可表示为：由图可知，斜率最小值为斜率最大值为所以斜率的取值范围为所以所以选B点睛：本题考查了斜率的定义，线性规划的简单应用。关键是掌握非线性目标函数为分式型时的求法，属于中档题。8、C【解题分析】的定义域为，它应该关于原点对称，所以，又时，，，为奇函数.又原不等式可以化为，所以，所以，选C.点睛：如果一个函数为奇函数或偶函数，那么它的定义域必须关于原点对称，我们可以利用这个性质去求奇函数或偶函数中的参数的值.9、C【解题分析】分析：三棱锥的三条侧棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可.详解：根据题意可知三棱锥的三条侧棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱中，底面，,，的外接圆的半径为，由题意可得：球心到底面的距离为.球的半径为.外接球的表面积为：.故选：C.点睛：考查空间想象能力，计算能力.三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提.10、C【解题分析】

①假设等式成立，由其推出a、b、c的关系，判断与题干是否相符；②假设其全部不成立，由此判断是否存在符合条件的数；③举例即可说明其是否能够同时成立.【题目详解】对①，假设（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0⇒a=b=c与已知a、b、c是不全相等的正数矛盾，∴①正确；

对②，假设都不成立，这样的数a、b不存在，∴②正确；

对③，举例a=1，b=2，c=3，a≠c，b≠c，a≠b能同时成立，∴③不正确．

故选C．【题目点拨】本题考查命题真假的判断，利用反证法、分析法等方式即可证明，有时运用举例说明的方式更快捷.11、C【解题分析】

画图标注其位置，即可得出答案。【题目详解】如图所示：，即有3个直角三角形。【题目点拨】本题涉及到了地理相关的经纬度概念。学生需理解其基本概念，将题干所述信息转换为数学相关知识求解。12、B【解题分析】

反证法证明命题时，首先需要反设，即是假设原命题的否定成立即可.【题目详解】因为命题“若实数，满足，则，全为0”的否定为“若实数，满足，则，至少有一个不为0”；因此，用反证法证明命题：“若实数，满足，则，全为0”，其反设为“，至少有一个不为0”.故选B【题目点拨】本题主要考查反证的思想，熟记反证法即可，属于常考题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据曲线的参数方程，设，再由点到直线的距离以及三角函数的性质，即可求解．【题目详解】由题意，设，则到直线的距离，故答案为．【题目点拨】本题主要考查了曲线的参数方程的应用，其中解答中根据曲线的参数方程设出点的坐标，利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14、【解题分析】分析：先根据二项分布数学期望公式得，再求.详解：因为服从二项分布，所以所以点睛：本题考查二项分布数学期望公式，考查基本求解能力.15、9506【解题分析】分析：事情分两步完成，先从2件次品中选一件有种方法，再从98件正品里选两件有种方法，根据乘法分步原理即得恰有一件次品的抽法的总数.详解：事情分两步完成，先从2件次品中选一件有种方法，再从98件正品里选两件有种方法，根据乘法分步原理得恰有一件次品的抽法的总数为种.故答案为：9506.点睛：本题主要考查排列组合的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和应用能力.16、3【解题分析】解：Eξ=1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2Eη=2Eξ-3=3三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

（1）由题意知，QS的轨迹为圆的一部分，PQ的轨迹为双曲线的一部分，ST的轨迹为双曲线的一部分，分别求出对应的轨迹方程即可；（2）由题意设点M（x，y），计算|MA|2的解析式，再求|MA|的最小值与对应的x、y的值．【题目详解】解：（1）①由题意知，QS段上的任意一点到中心点O的距离都相等，QS的轨迹为圆的一部分，其中r＝4，圆心坐标为O，即x≥0、y≥0时，圆的方程为x2+y2＝16；②PQ段上的任意一点到观测点C的距离比到观测点D的距离都多8公里，PQ的轨迹为双曲线的一部分，且c＝4，a＝4，即x＜0、y＞0时，双曲线方程为1；③ST段上的任意一点到观测点A的距离比到观测点B的距离都多8公里，ST的轨迹为双曲线的一部分，且c＝4，a＝4，即x＞0、y＜0时，双曲线方程为1；综上，x≥0、y≥0时，曲线方程为x2+y2＝16；x＜0、y＞0时，曲线方程为1；x＞0、y＜0时，曲线方程为1；[注]可合并为1；（2）由题意设点M（x，y），其中1，其中x≤0，y≥0；则|MA|2y2x2+16＝232；当且仅当x＝﹣2时，|MA|取得最小值为4；此时y＝42；∴点M（﹣2，2）．【题目点拨】本题考查了圆、双曲线的定义与标准方程的应用问题，解题的关键是利用定义求出双曲线和圆的标准方程．18、（1）（2）答案不唯一，具体见解析【解题分析】

（1）当时，，利用导数的几何意义求曲线的切线方程；（2）求函数的导数，讨论，，三种情况函数的单调性，得到函数的最大值.【题目详解】解：当时，，，所以切线方程为，即当时，当，，单调递增，此时，当时，当，，单调递减，当，，单调递增，此时,又，所以当时，当时，.当时，当，，单调递减，此时综上，当时，，当时，.【题目点拨】本题第二问考查了根据函数的导数求函数的最值，第二问的难点是当时，根据函数的单调性可知函数的最大值是或，需做差讨论得到和的大小关系.19、（1）直线的直角坐标方程为，的普通方程；（2）.【解题分析】

（1）利用将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程.利用将曲线的参数方程转化为直角坐标方程.（2）先求得点的坐标，写出直线的参数方程并代入的直角坐标方程，写出韦达定理，利用直线参数的几何意义求解出所要求的表达式的值.【题目详解】解：（1）因为直线的极坐标方程为，所以直线的直角坐标方程为.因为曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的普通方程.（2）由题可知，所以直线的参数方程为，（为参数），代入，得.设，两点所对应的参数分别为，，则，..【题目点拨】本小题主要考查极坐标方程、参数方程转化为直角坐标方程，考查直线参数方程的几何意义，属于中档题.20、(1)；.(2).【解题分析】分析：（1）直线的参数方程为：（为参数），消去参数t即可；曲线的极坐标方程为：，利用互化公式即可；（2）几何法求弦长即可.详解：（1）直线的普通方程为，曲线的普通方程为;（2）曲线表示以为圆心，2为半径的圆，圆心到直线的距离，故直线被曲线截得的线段长为．点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形