湖北省襄阳市普通高中2024届数学高二第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

湖北省襄阳市普通高中2024届数学高二第二学期期末学业质量监测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．将2名教师和6名学生平均分成2组，各组由1名教师和3名学生组成，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，则不同的安排方案有（）A．40种 B．60种 C．80种 D．120种2．已知随机变量，，若，，则（）A．0.1 B．0.2 C．0.32 D．0.363．某市某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛.现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响.现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则其中一名同学得2分的概率为（）A．0.5 B．0.48 C．0.4 D．0.324．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A． B． C． D．5．为了解某校一次期中考试数学成绩情况，抽取100位学生的数学成绩，得如图所示的频率分布直方图，其中成绩分组区间是，则估计该次数学成绩的中位数是（）A．71.5 B．71.8 C．72 D．756．若是虚数单位，，则实数（）A． B． C．2 D．37．为自然对数的底数，已知函数，则函数有唯一零点的充要条件是（）A．或或 B．或C．或 D．或8．二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.则由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度（）A． B． C． D．9．使不等式成立的一个充分不必要条件是（）A． B． C．或 D．10．定义在上的函数，若对于任意都有且则不等式的解集是（）A． B． C． D．11．已知展开式中常数项为1120，实数是常数，则展开式中各项系数的和是A． B． C． D．12．从不同品牌的4台“快译通”和不同品牌的5台录音机中任意抽取3台,其中至少有“快译通”和录音机各1台,则不同的取法共有()A．140种 B．84种 C．70种 D．35种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数为自然对数的底数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的最小值是__________.14．在中，，，，点在线段上，若，则________.15．在正方体中，为的中点，为底面的中心，为棱上任意一点，则直线与直线所成的角是____________.16．若z是关于x的方程的一个虚数根，则的取值范围是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，为了解网络外卖在A市的普及情况，A市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到如表：（单位：人）经常使用网络外卖偶尔或不用网络外卖合计男性5050100女性6040100合计11090200（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用网络外卖的情况与性别有关？（2）将频率视为概率，从A市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X，求X的数学期望和方差．参考公式：K2=n参考数据：P0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数）.以轴正半轴为极轴，以坐标原点为极点建立极坐标系，点的极坐标为，过点的直线与曲线相交于，两点.（1）若直线的斜率，求直线的极坐标方程和曲线的普通方程；（2）求的值.19．（12分）按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品．某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本对规定的质量指标值进行检测．表1是甲套设备的样本频数分布表，图1是乙套设备的样本频率分布直方图．表1：甲套设备的样本频数分布表（1）将频率视为概率，若乙套设备生产了5000件产品，则其中合格品约有多少件？（2）填写下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为这种产品的质量指标值与甲乙两套设备的选择有关：20．（12分）某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研:项目:通信设备.根据调研,投资到该项目上，所有可能结果为:获利、损失、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为；项目:新能源汽车.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为:获利、亏损，且这两种情况发生的概率分别为.经测算，当投入两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即数学期望)也相等.(1)求的值;(2)若将万元全部投到其中的一个项目，请你从投资回报稳定性考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.21．（12分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各随机抽取了100件产品作为样本来检测一项质量指标值，若产品的该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲套设备的样本的频数分布表，图是乙套设备的样本的频率分布直方图．表甲套设备的样本的频数分布表质量指标值频数2103638122（1）将频率视为概率．若乙套设备生产了10000件产品，则其中的合格品约有多少件？（2）填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关．甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计附表及公式：，其中；0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）在二项式的展开式中，二项式系数之和为256，求展开式中所有有理项.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

根据甲、乙两地先安排老师，可知，然后安排学生，可得结果.【题目详解】第一步，为甲、乙两地排教师，有种排法；第二步，为甲、乙两地排学生，有种排法，故不同的安排方案共有种，故选：A【题目点拨】本题考查排列分组的问题，一般来讲先分组后排列，审清题意细心计算，属基础题.2、A【解题分析】

由求出，进而，由此求出.【题目详解】解：因为，，，所以，解得或（舍），由，所以.故选：A.【题目点拨】本题考查概率的求法，考查二项分布、正态分布等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题.3、B【解题分析】

事件“第一次投进球”和“第二次投进球”是相互独立的，利用对立事件和相互独立事件可求“其中一名同学得2分”的概率.【题目详解】设“第一次投进球”为事件，“第二次投进球”为事件，则得2分的概率为.故选B.【题目点拨】本题考查对立事件、相互独立事件，注意互斥事件、对立事件和独立事件三者之间的区别，互斥事件指不同时发生的事件，对立事件指不同时发生的事件且必有一个发生的两个事件，而独立事件指一个事件的发生与否与另一个事件没有关系.4、D【解题分析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.详解：设2名男同学为，3名女同学为，从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能则选中的2人都是女同学的概率为，故选D.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.5、C【解题分析】的频率为：；的频率为：；的频率为：；的频率为：；的频率为：；的频率为：.所以，得：.的频率和为：.由，得中位数为：.故选C.点睛：用频率分布直方图估计总体特征数字的方法：①众数：最高小长方形底边中点的横坐标；②中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；③平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.6、B【解题分析】

先利用复数的模长公式得到，再根据复数相等的定义，即得解.【题目详解】由于由复数相等的定义，故选：B【题目点拨】本题考查了复数的模长和复数相等的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.7、A【解题分析】

作出函数的图像如图所示，其中，则，设直线与曲线相切，则，即，设，则，当时，，分析可知，当时，函数有极大值也是最大值，，所以当时，有唯一解，此时直线与曲线相切．分析图形可知，当或或时，函数的图像与函数的图像只有一个交点，即函数有唯一零点．故选.【题目点拨】本小题主要考查分段函数的图象与性质，考查函数零点问题的处理方法，考查利用导数求相切时斜率的方法，考查数形结合的数学思想方法.首先画出函数的图象，分段函数的图象注意分界点的位置是实心的函数空心的.然后将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点来解决.8、A【解题分析】

因为，，由此类比可得，，从而可得到结果.【题目详解】因为二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.所以由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四为测度W，应满足，又因为，所以，故选A.【题目点拨】本题主要考查类比推理以及导数的计算.9、A【解题分析】

首先解出不等式，因为是不等式成立的一个充分不必要条件，所以满足是不等式的真子集即可．【题目详解】因为，所以或，需要是不等式成立的一个充分不必要条件，则需要满足是的真子集的只有A,所以选择A【题目点拨】本题主要考查了解不等式以及命题之间的关系，属于基础题．10、D【解题分析】

令,求导后根据题意知道在上单调递增，再求出，即可找到不等式的解集。【题目详解】令则所以在上单调递增，又所以的解集故选D【题目点拨】本题考查利用导数解不等式，属于中档题。11、C【解题分析】分析：由展开式通项公式根据常数项求得，再令可得各项系数和．详解：展开式通项为，令，则，∴，，所以展开式中各项系数和为或．故选C．点睛：赋值法在求二项展开式中系数和方面有重要的作用，设展开式为，如求所有项的系数和可令变量，即系数为，而奇数项的系数和为，偶数项系数为，还可以通过赋值法证明一些组合恒等式．12、C【解题分析】分析：从中任意取出三台，其中至少要有“快译通”和录音机各1台，有两种方法，一是2台和1台；二是1台和2台，分别求出取出的方法，即可求出所有的方法数.详解：由题意知本题是一个计数原理的应用，从中任意取出三台，其中至少要有“快译通”和录音机各1台，快译通2台和录音机1台，取法有种；快译通1台和录音机2台，取法有种，根据分类计数原理知共有种.故选：C.点睛：本题考查计数原理的应用，考查分类和分步的综合应用，本题解题的关键是看出符合条件的事件包含两种情况，是一个中档题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】由题意可得：在区间上有解，即：在区间上有解，整理可得：在区间上有解，令，则，导函数在区间上单调递增，，则，，即的最小值是.14、【解题分析】

根据题意，由于题目中给出了较多的边和角，根据题目列出对应的正余弦定理的关系式，能较快解出BD的长度.【题目详解】根据题意，以点A为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系。过点B作垂直AC交AC于点E，则,又因为在中，,所以,,故.【题目点拨】本题主要考查学生对于正余弦定理的掌握，将几何问题转化为坐标系下的问题是解决本题的关键.15、90°【解题分析】

直线在平面内的射影与垂直．【题目详解】如图，分别是的中点，连接，易知在上，，又在正方形中，是的中点，∴（可通过证得），又正方体中，而，∴，，∴，∴直线与直线所成的角是90°．故答案为90°．【题目点拨】本题考查两异面直线所成的角，由于它们所成的角为90°，因此可通过证明它们相互垂直得到，这又可通过证明线面垂直得出结论，当然也可用三垂线定理证得．16、【解题分析】

由判别式小于0求得m的范围，设z＝a+bi（a，b∈R），利用根与系数的关系求得a值及b与m的关系，进一步求|z+1|，则答案可求．【题目详解】解：由△＝4﹣4（m2﹣8）＜0，解得m2＞1．设z＝a+bi（a，b∈R），则2a＝2，a＝1，a2+b2＝m2﹣8，即b2＝m2﹣1．∴|z+1|＝|（a+1）+bi|＝|2+bi|∈（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．【题目点拨】本题考查实系数一元二次方程的虚根成对原理，考查复数模的求法，是基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）不能；（2）112【解题分析】

（1）把表格中的数据依次代入公式，算出K2与2.072（2）X服从二项分布X～【题目详解】（1）由列联表中的数据，可得K2故不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用网络外卖情况与性别有关．（2）由2×2列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为110200将频率视为概率，即从A市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为1120由题意得X～故随机变量X的期望E(X)=10×11∴方差为D(X)=10×11【题目点拨】由于A市所有参与调查的网民中总体是未知的，所以无法用超几何分布模型求解.18、（1）,；（2）7.【解题分析】

（1）先求出直线的直角坐标方程，再转换为直线的极坐标方程即可（2）利用直线的参数方程及参数的几何意义求解【题目详解】（1）将点的极坐标化为直角坐标为，因为直线的斜率，所以直线的直角坐标方程为，由可知直线的极坐标方程为.因为（为参数），所以曲线的普通方程为.（2）直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角），代入，整理得，设点，对应的参数分别为，，则，.【题目点拨】本题考查坐标系中点的极坐标与直角坐标的转换、直线直角坐标方程与极坐标方程的转化及利用直线参数方程中参数的几何意义求值19、（1）800件；（2）见解析；【解题分析】

（1）结合频数分布表，求出满足条件的概率,再乘以5000即可；（2）求出2×2列联表，计算K2值，判断即可【题目详解】（1）由图知，乙套设备生产的不合格品率约为；∴乙套设备生产的5000件产品中不合格品约为（件）；（2）由表1和图得到列联表：甲套设备乙套设备合计合格品484290不合格品2810合计5050100将列联表中的数据代入公式计算得；∴有95%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；【题目点拨】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，准确计算是关键，是基础题．20、(1)，，；(2)从风险控制角度，建议该投资公司选择项目.【解题分析】

（1）根据概率和为1列方程求得的值，再利用分布列和数学期望列方程组求得、的值；（2）计算均值与方差，比较即可得出结论．【题目详解】（1）依题意，，，设投入到项目的资金都为万元，变量和分别表示投资项目和所获得的利润，则和的分布列分别为由分布列得，，因为所以，即，又，解得，；，，（2）当投入万元资金时，由（1）知，所以，，，因为，说明虽然项目和项目的平均收益相等，但项目更稳妥，所以，从风险控制角度，建议该投资公司选择项目.【题目点拨】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望和方差的计算问题，是中档题．21、（1）8600件；（2）列