数学建模-房价问题

PAGE装订线摘要近几年中国房地产迅猛发展，我们通过广泛调查和分析按照经济带选取了三个具有代表性的城市从整体上分析中国的房价情况。影响房价的因素有很多，我们首先从经济角度作出房价影响因素的层次分析图，并通过作图拟合选取出影响房价的三个因素，即人均可支配收入，人均消费支出，土地价格指数。对于模型的选择，考虑到影响因素众多，不能全部考虑，而且有部分数据不全，同时采用了多元线性回归和灰色预测对未来房价走势进行预测，结果显示房价总体呈上升趋势，部分地区房地产过热。对于房价是否合理，运用了HIR法和房价涨幅对比法对房价的增长速度和居民承受力进行分析。通过模型的结果，发现房价增长过快，以上海为例对一些政策影响的分析提出了新的措施。最后，通过大量数据和图表分析得出房价对经济有较大的影响。关键词：房价多元线性回归灰色预测HIR法图表法PAGE1目录1问题重述…………22问题分析…………22.1问题一分析…………………22.2问题二分析…………………43问题一……………43.1模型假设与符号说明………43.1.1假设……………………43.1.2符号说明………………53.2模型建立与求解………………53.2.1多元回归模型…………53.2.2灰度预测模型…………113.3结果分析………………………163.4房价的合理性分析……………174问题二………………184.1房价合理化措施………………184.2对经济发展的影响……………205模型的优缺点分析与推广…………236参考文献……………23表A-1………………24表A-2………………24附录A………………24附录B………………26能的，通过各因素与房价的相关性分析，选取主要的影响因素来预测房价未来的走势。（三）模型的选取通过查阅资料，知道对于房价的预测有很多的方法，主要分为两大类，一类是定性分析的预测方法，如各种评估法、市场比较法、假设开发法、成本估计法、收益还原法等，另一类是定量的预测方法，如灰色序列预测、多元回归、马尔科夫预测、模糊神经网络等。灰色预测是通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描述回归分析是一种处理变量的统计相关关系的一种数理统计方法。回归分析的基本思想是:虽然自变量和因变量之间没有严格的、确定性的函数关系,但可以设法找出最能代表它们之间关系的数学表达形式。由于影响房价的因素很多，有一些已知也有一些未知的非确定的信息。综上考虑，我们采用比较合适现实情况的灰色预测和回归分析法两种方法同时对房价的未来趋势进行预测。2.2问题二分析通过进一步定量分析，近年来，政府出台了多项商品房房价调控政策来调控商品房的价格。很多政策起到了一定的作用，对房价的合理化有着很多积极的影响。为了提出使房价合理化的措施，我们以上海为例，搜集了2010.4-2011.6上海房价以及在这期间出台的相关政策，对上海房价变化进行深入分析，从而总结出房价调控政策在对价格的调控中所起到的作用。虽然房价是由诸多社会经济因素制约着的，并不能完全从房价的涨跌中看出政策的有效性，但是这又是了解政策作用的最直观的方式。从房价与各项经济数据之间的关系，分析房价对经济的影响。利用收集的数据，用matlab做出房价与各项经济因素的关系图，分析房价对经济是否有影响以及房价与各经济因素之间的增长趋势。通过合理性分析，了解现阶段房价是否符合经济发展规律。分析房价的不合理将会对经济造成什么样的影响。3问题一模型3.1模型的假设与符号说明 3.1.1假设 1）预测时不涉及自然灾害的影响2）仅考虑不同地市的房价及其走势，而不区分市内不同地段的房价差异3）假设影响房价的各因素间是相互独立的4）查询的数据真实可靠5）忽略政策出台的各项政策的影响6）忽略各城市某个时段特殊活动的影响3.1.2符号说明y房价人均可支配收入人均消费支出土地价格指数相关系数房价实际值房价预测值残差相对误差S方差绝对关联度3.2问题一的模型建立与求解3.2.1：多元回归模型以上海为例，通过网络的方式搜索到对房屋价格影响的几个关键因素，如表1所示。表1上海市2000-2009年人均可支配收入等数据年份人均可支配收入/元人均消费支出/元房屋平均造价/元房屋竣工面积/万土地交易价格指数房价200011718886821641909.111003326200112883933621182434.7392.736592002132501046421342596.95103.340072003148671104029913609.2118.949892004166831263130064672.53143.163852005186451377330585648.8515366982006206681476230896506.41154.882372007236231722530966090.22166.9102922008266751939825525723.9180134112009288382099233535719.9318415800将各因素与房价建立基本模型。图2房价与人均可支配收入间的散点图图3房价与人均消费支出的散点图图4房价与房屋平均造价散点图图5房价与房屋竣工面积散点图图6房价与土地交易价格指数散点图 由以上相关系数知道，房屋平均造价和房屋竣工面积对房价的波动影响不大，故忽略二者对房价的波动的影响。相对的，人均可支配收入、人均消费支出、土地交易价格指数与房价有很强的线性关系，故可根据上图所得公式，建立如下多元线性回归模型：（1）用MATLAB统计工具箱中的命令regress求解见附表A，可得模型（1）的计算结果为表2表2参数参数估计值参数置信区间5099[-18096,28294]0.056291[-1.2616,1.3742]0.85798[-0.99861,2.7146]-164.75[-461.99,132.49]0.61612[-0.83565,2.0679]=0.99059F=131.52P〈0.0001=3.0957e+005由表2知=0.99059，说明房价的99.059%可由模型确定，F得值远远超过了F的检验的临界值，P远小于置信水平0.05，因而模型（1）从整体上来看是可用的。 根据模型（1）的计算结果（2）可解得下表。表3上海市2000-2009年实际房价与预测房价比较表年份2000200120022003200420052006200720082009上海实际房价3326365940074989638566988237102921341115800上海预测房价syu///yuj3053.43856.54378.64529.45916.27181.58188.7108731355115278图7上海实际房价与预测房价走势比较图 由图表可知，根据模型一所求得得房价计算值与实际值基本一致，拟合效果好。 现在再利用年份与各因素做回归拟合图，预测未来几年上海房价。以2000年为零点计数，可得图8图9图10用图中数据，代入相应年份，可计算得人均可支配收入：=0.997预测值2010年：292682011年：32644人均消费支出：=0.995预测值2010年：211802011年：23529土地交易价格指数：=0.957预测值2010年：189.22011年：200.12 将上述数据代入公式（2）可得2010年预测房价为：15803元/平方米2011年预测房价为：18829元/平方米 已知2010年上海市房价为19168元/平方米，为什么预测的结果与实际有这么大的差距，一方面是由于2010年对于土地价格指数等数据的缺失使得我们的模型只是建立在2000-2009年的，并且忽略了政策出台政策和地方特殊活动情况的影响。2010年上海举办世博必然会对房价产生重大影响。另一方面是08金融危机后，在后两年房价有复苏景象。由于2009年2010年房价的差距较大且其他数据不易查找，我们将进一步采用较为合适的灰色序列预测利用2000-2010年的数据对房价进行预测。3.2.2：灰色预测模型1、灰色预测模型建立与求解（原理见附录B）房地产发展受众多因素的影响，其中部分因素可以确定，部分因素未知。灰色预测模型（GrayForecastModel）认为一切随机量都是在一定范围内、一定时间段上变化的灰色量及灰色过程.数据处理不去寻找其统计规律和概率分布,而是对原始数据作一定处理后,使其成为有规律的时间序列数据,在此基础上对上海房价的变动建立数学模型做出预测.。本模型以上海市为例，经过资料的查证，我们得到上海市2001—2010房价原始数据如下表．表4上海市2001—2010年房价年份2001200220032004200520062007200820092010房价36594007498963856698823710292134111580019168根据已知数据，建立GM(1,1)模型对2011—2015年上海房价走势进行预测。由原始数据列计算一次累加数据列，结果见表。。。表5一次累加数据年份2001200220032004200520062007200820092010序号1234567891036594007498963856698823710292134111580019168365976661265519040257383397544267576787347892646（2）建立矩阵：B、y（3）由，求估值和把和带入时间响应方程，由于，故时间响应方程为可用预测方程来进行外推预测，调用MATLAB函数文件，functionf2k=input('输入k=');y1=17840.9746*exp(0.19761*(k-1))-14181.9746;y2=17840.9746*exp(0.19761*k)-14181.9746;x=y2-y1分别令k=10,11,12,13,14得出2011—2015年上海市的房价：表6上海市2011—2015房价预测值年份20112012201320142015房价2308028122342674175450876预测结果可以看出，未来5年上海市的房价仍然保持上涨趋势，且上升速度有所加快。2灰色预测模型的检验当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测.预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断.一个模型要经过多种检验才能判断其是否合理，是否有效．只有通过检验的模型才能用来做预测。从上面的数据中计算拟合值，再用后减运算还原计算得模型计算值，比较数据，结果比对如下：图11表7模型计算值实际值残差相对误差=3898=40071090.0272=4749.7=4989239.30.0480=5787.4=6358597.60.0936=7051.9=6698-353.9-0.0528=8592.7=8237-355.7-0.0432=10470=10292-178-0.0173=12758=134116530.0487=15545=158002550.0161=18941=191682270.0118检验模型的三种方法是：残差检验、关联度检验、均方差比检验。这三种方法都是通过对残差的考察来判断模型的精度，其中平均相对误差和模拟误差、均方差比值要求越小越好，关联度、小误差概率要求越大越好．给定的一组取值，就确定和检验模型模拟精度的一个等级．常用的精度等级如表：表8精度检验等级参照表指标临界值精度等级相对误差关联度均方差比值小误差概率一级0.010.900.350.95二级0.050.800.500.80三级0.100.700.650.70四级0.200.600.800.60用相对误差、关联度、均方差比进行检验。(1)相对误差检验指标检验：原始时间序列预测模型模拟序列残差序列相对误差序列平均相对误差，模拟误差．GM（1,1）模型的平均相对误差，模拟误差，由表。。。，此模型为残差二级模型。(2)关联度检验：已知行为序列：=（4007，4989，6385，6698，8237，10292，13411，15800，19168）=（3898，4749.7，5787.4，7051.9，8592.7，10470，12758，15545，18941）其对应始点零化像分别为：=（0，982，2378，2691，4230，628，9404，11793，15161）=（0，851.7，1889.4，3153.9，4694.7，6572，8860，11647，15043）则绝对关联度：GM（1,1）模型的绝对关联度，该模型关联度为一级。(3)均方差比检验原始时间序列的均值、方差分别为：残差的均值、方差分别为：均方差比值GM（1,1）模型的均方差比值C=0.073636<0.35，此模型精度为一级．计算小误差概率：GM（1,1）模型的，小误差概率为一级．由模型检验可以发现，GM（1,1）模型对房价走势的预测相对准确，即随着年份的增长，GM（1,1）模型预测结果更接近实际结果，如2010年的上海市的房价为19168元/平方米，模拟值为18941元/平方米，误差为1.18%。依上所述，此模型的预测等级好，可用预测方程。运用此模型对西宁，合肥进行预测，也得出了房价走势平缓上升的结果。3.3结果分析 通过模型我们可以看出中国各大城市房价都有上升趋势，以上海为例，上海房价持续上升，在未来几年没有回落迹象，甚至有增长速度加快的迹象。 在中国社会的高速发展，社会财富的迅猛增加的大背景下，导致房价在长期趋势中的挡板上升是必然的趋势。 当前，国际公认只有居民家庭的年收入与房价之比为1：6左右时，祝福的有效需求才能形成，供求矛盾才能得以缓解。但实际情况是两者相差较大。在这种情况下，房屋按揭等在发达市场经济的国家和地区较为流行的融资购房方式传入我国，成为促进房地产产业发展、满足居民购房需求的一种有效方式。 城市人口的增加；居民消费结构的变化；土地资源越来越稀少，开发成本的提高；物价上涨，建材料费上升；旧物改造速度的加快等原因都造成了中国房价持续上升。3.4房价合理性的分析 对于房价是否合理，我们通过两个指标来评判，一个是区域中“中等收入的家庭可以销售的起中等房价的住房”，另一个是“房价是否增长过快”下面从以下两个方面来检验：房价收入比 房价收入比(HousingPrice-to-IncomeRatio)，是指住房价格与城市居民家庭年收入之比。根据世界银行认为的比较理想的比例3—6倍为合理比例。若计算出的房价收入比高于这一范围，则认为其房价偏高，房地产可能存在泡沫，高出越多，则存在泡沫的可能性越大，泡沫也就越大。 做以下符号假设： HIR房价收入比 P每户家庭平均人口数 M人均住房面积 T每户家庭年总收入 F每户住房总价 Y房价 A人均收入则有以下公式：收集数据，见附表A-1利用上述公式可计算得上海的房价收入比，见表9表9年份200220032004200520062007200820092010上海HIR3.964.635.505.566.377.188.499.410.71 从表中我们可以看到上海房价收入比HIR从2006年炒房潮爆发后超出了正常标准，这表明了房地产市场出现了过热现象，房价偏高，超出了中等收入水平家庭能够支付的范围，是不够合理的房价。用房价与家庭财富的涨幅来来判断房价是否增长过快 合理房价的涨幅不应该超出居民的可承受能力范围。故选取有关居民承受能力的几个指标涨幅与房价涨幅进行比较。先对收集到的数据（见附表2）进行处理当年与上一年的比值再进行EXCEL作图分析。图12涨幅比较图 纵坐标是涨幅水平，横坐标是年份对应增长值。容易从图中看出在房价增长总体是在合理范围内的，但是在2005年后房价涨幅有所下降后，在2006年后房价涨幅就明显高于居民生活质量的涨幅，说明房价增长过快，是不合理的，需要控制。 综上可以看出上海的房价是不够合理的，尤其是2006年以后存在房地产过热的情况。4问题二4.1房价合理化的措施 措施一：加强政府宏观调控 仍然以上海为例，我们搜集到数据如下表2010年4月至2011年6月上海的房价时间房价（元）涨幅时间房价（元）涨幅2010年4月229402010年11月29155.232.78%2010年5月22282-2.87%2010年12月29152.54-0.01%2010年6月19168-14.0%2011年1月30253.213.78%2010年7月193130.76%2011年2月28775.58-4.88%2010年8月27509.5842.44%2011年3月28685.3-0.31%2010年9月27800.711.06%2011年5月29061.391.31%2011年10月28366.432.03%2011年6月30184.913.87%在最近一段时间，国家依次出台了一系列有关调控房家的政策，其中在2010年4月17日国家出台国十条在9月29日时，又出台了一些政策，主要内容包括不分住房大小，一律要求首套贷款首付要30%及以上。在11年一月份的时候国家又颁布了一些措施，对贷款购买第二套住房的家庭，首付款比例不低于60%，贷款利率不低于基准利率的1.1倍等措施根据题目分析以及对数据的简单处理，在这段时间内，国家一共对楼市进行了三次宏观调控，根据图表，我们可以很明显的发现，这三次宏观调控都是在房价涨幅很高时政府及时采取的措施，而且也取得了比较明显的效果，在政策出台后，使得房价出现了负增长。虽然，价格还是要取决于市场，在长期效果和整体趋势上，政府宏观调控并不能改变价格变动的本质和性质。国家宏观调控政策在短期内可以取得很好的效果，即在一定程度上能够很好的控制房价的上涨。发挥税收、货币、信贷、土地政策的作用规划住宅结构，放缓一线城市建设，加快二三线城市建设，完善城市公共设施强化土地管理。在土地价格指数与房价的关系图中容易看出，低价对房价的影响是很大的，因此要加强土地管理，防止投资商哄抬地价。4.2对经济发展的影响改革开放以来，随着中国经济的飞速发展，房地产市场化开发的逐渐深入，住房需求的增多和购买力的加强，使得房地产市场欣欣向荣，在拉动经济增长的同时，也使得房价居高不下，尽管现在房地产开发商在户型，配套，环境规划，物业管理，卫生等方面相较于以前有不少的提高，但这并不能忽视房价节节攀升且居高不下的现状。从上题的合理性分析中，我们知道从2006年后，房价的上涨过热，远远超过了居民的购买能力，已经处于不合理的房价水平。我们从收集的有关于上海房价与部分经济数据，房价生产总值土地交易价格指数人均消费支出人均可支配收入固定资产投资住房按揭贷款33264771.171008868117181869.67464.1636595210.1292.79336128831994.7365040075741.03103.310464132502187.061086.7149896694.23118.911040148672452.111709.1363858072.83143.112631166833084.662445.5366989247.6615313773186453542.552644.94823710572.24154.814762206683925.092483.731029212494.01166.917225236234458.612859.921341114069.8718019398266754829.452915.491580015046.4518420992288385273.333912.88运用matlab作图（程序见附录C），得出从图中，我们可得出房价的不断上涨，虽然对我们所分析的数据都成一个正相关的关系。但经过分析，不难发现房价对整个生产总值的影响呈一个渐渐变缓的趋势。而住房按揭贷款却随着房价的提高迅速增长，居民的购买力和需求被人为的多倍放大，虽然在最初对房地产业的兴盛起到了不可否认的推动作用，但时间一长，其弊端也逐渐显现，过早的引用西方的按揭购房方式，使得供需矛盾被快速的激化，而在暴利的刺激下，许多房地产商捂盘销售，控制房源，使得矛盾进一步激化，房价也随之直线上升，人民无法接受高房价之下，按揭购房就成了必然的付款方式。虽然这样能够解决一时的燃眉之急，但在未来的几十年里，这些人每个月都要用收入的很大部分来还款，必然会使其在未来的购买力大幅下降，而在金融危机之后的中国，经济的增长很大程度都要依赖国内巨大的消费需求和购买力。透支了未来的购买力，也就是透支了未来的中国经济。高房价对经济的严重影响之一是造成了消费需求的下降和私人投资的上升。一国经济的总需求是由消费、投资、政府购买和净出口四个方面组成。高房价使得居民将原本能够用于消费的大量资金来用于支付远远超过正常房价的巨额房款，因此高房价对消费的极大的抑制作用是不言而喻的，同时，住房的购买属于投资需求，从而私人投资却大大增加了另一方面，由于地价高是房价高的一个主要因素，实际上，在开发商利润不断下降的今天，购房者资金的相当大一部分最终进入了地方政府的财政预算外收入，成为地方政府收入的一个极其重要的部分。因而，以高地价为基础的高房价可以看作是政府变相的提高了税赋的比例。正如过多的政府投资对私人投资会产生挤出效应一样，相应的，高房价实际是造成了过高的政府税收对私人消费的另一种“挤出效应”。而这种“挤出效应”导致了消费支出与政府购买支出的比率的失调，同政府投资挤占私人投资的挤出效应一样非常有害。但是我国现在是房地产过热，就是说房地产需求占总需求比重过大，在当前情况下，单纯的靠市场自我调节的手段并不能遏制房地产市场中的泡沫和房价的恶性上升，国家采取包括行政调节在内的宏观调节是合理的也是必须的。事实上，很多其他国家的房地产市场的经验和教训也证明了单靠市场调节的脆弱性。通过国家的宏观调控，以及相应的政策措施，可以有效控制房价和地价的上涨。从而达到房价的稳定以及经济消费的正常发展。总而言之，单一的抑止需求并不能真正解决房价上涨过快的问题。真正的良药应该是双管齐下，从供给方面解决地价成本的上涨问题，从需求方面抑止投资性需求特别是国内国外的大量投机性行为。解决了这两个方面的问题，对于房价的调控才会取得真正的效果。5模型的优缺点分析及推广模型忽略了政策等因素对房间的影响，导致模型预测结果与实际值有一定差距建立灰色预测模型精度高对模型的拟合结果进行了检验，说明了可靠性多元线性回归模型可能对主要因素选取不够好，置信区间都包括了零点灰色预测模型的计算没有以方便的代码形式列出推广：本模型使用于影响因素众多，无法全部考虑或数据不全的预测模型。6参考文献[1]上海统计年鉴2011.05.10-15/2004shtj/tjnj/tjnj2010.htm[2]刘卫国.MATLAB程序设计教程.北京.中国水利水电出版社.2005[3]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型.北京.高等教育出版社.2011附录：表A-1上海市2002-2010年数据表1年份住宅平均销售价格/元人均住宅面积/人均收入/元2002400713.1132502003498913.8148672004638514.8171752005669815.51864520068237162066820071029216.52362320081341116.92667520091590017.22883820101916817.831838表A-2上海市2002-2010年数据表2年份人均可支配收入房屋销售价格职工平均工资人均生产总值20001171833261542030047200112883365917764323332002132504007194733545520031486749892216040130200416683638524398467552005186456698268235253520062066882372956958837200723623102923470768024200826675134113950275109200928838158004278978989附录AMATLAB的回归模型相关数据求解>>y=[3326365940074989638566988237102921341115800]’>>x=[111718886810010000112883933692.78593.311325010464103.31067111486711040118.91413711668312631143.120478118645137731532340912066814762154.82396312362317225166.92785612667519398180324001288382099218433856]>>[B,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)B=50990.0562910.85798-164.750.61612bint=-1809628294-1.26161.3742-0.998612.7146-461.99132.49-0.835652.0679r=272.82-197.28-371.43459.81469.09-483.2148.573-580.76-139.59521.97rint=-775.281320.9-1072677.39-998.01255.16-599.211518.8-557.091495.3-1551.4584.99-1021.61118.8-1761.7600.21-1348.21069-287.591331.5stats=0.99059131.522.9898e-0053.0957e+005在M文件中建立文本，在工作窗口中调用输入相关数据即可求出模型中的x1=input('请输入人均可支配收入');x2=input('请输入人均消费支出');x3=input('请输入土地价格指数');y0=5099+0.056291*x1+0.85798