人教版八年级数学下册全册教案（2024年春季版）

人教版八年级数学下册全册教案设计

第十六章二次根式16.1二次根式第1课时二次根式的概念1.了解二次根式的概念，理解是一个非负数.2.通过新旧知识的联系，培养学生观察、演绎能力，发展学生的归纳概括能力.3.通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法，进而体验成功的喜悦，并通过合作学习增进终身学习的信念.【教学重点】二次根式的概念及≥0的基本性质【教学难点】经历知识产生的过程，探索新知识.一、情境导入，初步认识问题（1）一个长方形的围栏，长是宽的3倍，面积为39m2，则它的宽为_______m；（2）面积为S的正方形的边长为_______；（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含h的式子表示t，则t=.______【教学说明】设置上述问题的目的是让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密.教师提出问题后，让学生独立思考，然后相互交流，获得对二次根式的感性认识.二、思考探究，获取新知思考通过对上述问题的探究，可得到形如的式子，这些式子有什么特点？【教学说明】教师提出问题，同学生一道分析，体会这些式子的特征，从而引出二次根式的定义.二次根式：一般地，我们把形如（a≥0）形式的式子称为二次根式，其中“”称为二次根号.针对上述定义，教师可强调以下几点：（1）中，a必须是大于等于0的数或式子，否则它就没有意义了；（2）尽管=2，是一个整数，但4仍应称为一个二次根式；（3）当a≥0时，表示a的算术平方根，而一个非负数的算术平方根必然也是非负数，因而总有≥0（a≥0）三、典例精析，掌握新知例1下列各式中，一定是二次根式的有_______分析：判断二次根式应关注两点：（1）有二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数.因而在所给出四个式子中，只有②③中的式子同时符合两个要求，故应填②③.例2当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.解：（1）中，由x-2≥0，得x≥2；（2）中，由得2≤x≤3；（3）中，由2x-1＞0，得x＞1/2.【教学说明】对于例3，教师应引导学生分析题目特征，抓住解决问题的突破口，选择恰当的方法来获得解题思路，进一步体验中a≥0及a≥0的双重非负性特征.四、运用新知，深化理解1.填空题：（1）形如_______的式子叫二次根式；（2）负数算术平方根________（填“有”或者“没有”）2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义：【教学说明】学生自主探究，教师巡视，了解学生对本节课知识的掌握情况，及时予以指导，帮助学生巩固新知.五、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，你获得哪些解决二次根式问题的方法？你还有哪些问题？请与同伴交流.【教学说明】学生相互交流，回顾知识，反思问题，共同发展提高.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.教师创设情境，给出实例.学生积极主动探索，教师引导与启发，师生互动.体现教师的组织者、引导者与合作者地位.2.注意知识之间的衔接，在温故知新的过程中引导出新知，讲练结合旨在巩固学生对新知的理解.第十六章二次根式16.1二次根式第2课时二次根式的性质1.理解并掌握二次根式的性质，正确区分=a（a≥0）与=a（a≥0），并利用它们进行化简和计算.2.在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力.3.通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展.【教学重点】=a（a≥0），=a（a≥0）及其应用.【教学难点】用探究的方法探索=a（a≥0）及=a（a≥0）的结论.一、情境导入，初步认识试一试：请根据算术平方根填空，.猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出（a≥0）的结论是什么？说说你的理由.【教学说明】让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力.二、思考探究，获取新知在学生相互交流的基础上可归纳出：=a（a≥0）.进一步地，引导学生探究新的问题.探究（1）填空：（2）通过（1）的思考，你能确定（a≥0）的化简结果吗？说说你的理由.【教学说明】教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结.【归纳结论】一般地，根据算术平方根的意义，有=a（a≥0）.最后，教师给出代数式的概念.代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式.（代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究.）三、典例精析，掌握新知例1计算：（1）（）2；（2）（2）2【教学说明】以上例1、例2可由学生自主完成，教师巡视，对有困难的学生及时予以指导，让每个学生都能得到发展.例3教师引导学生看懂数轴，结合数轴确定a、b的符号.四、运用新知，深化理解【教学说明】以上1~3题可试着让学生自主完成，第4题稍有难度，教师适时点拨.（2）本题中的两个二次根式都可以利用=|a｜进行化简.然后再根据x＞2的这个范围，来判断x-2与1-2x的正负，最后化简掉绝对值符号.∵x＞2，∴x-2＞0,1-2x＜0.3.(1)原式=5-5+1=1(2)原式=7+49×2/7=7+14=21(2)首先利用a2=|a｜化简掉二次根号，再根据x的取值范围来判断绝对值中的代数式的正负，化掉绝对值的符号.五、师生互动，课堂小结1.本节知识可这样归纳：2.通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.注意前后知识的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的数学内容，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.在总结二次根式的性质过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流中体会成功.3.几个例题，旨在帮助学生对二次根式的性质的理解，在练习和作业中都增加了难度，主要给能力较好的学生提供更大的发展空间.16.2二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法1.理解·=（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并能运用它们进行化简计算.2.经历探索二次根式乘法法则的过程，发展观察、归纳猜想、验证等能力.3.培养学生主动探索知识的能力以及分析问题和解决问题的能力，增强学好数学的信心.【教学重点】·=（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）.【教学难点】发现规律，推导·=（a≥0，b≥0）.一、情境导入，初步认识问题1计算下列各式，观察计算结果，你发现什么规律？问题2用你发现的规律填空，并用计算器进行验算.【教学说明】问题1通过被开方数都是完全平方数，让学生容易获取结果，发现规律.通过问题2的验证加深对规律的认识，为本节学习作好铺垫.上述两个问题均应由学生自主完成，相互交流，感受新知.二、思考探究，获取新知选几名学生口述所发现的规律，然后师生共同归纳：一般地，对二次根式的乘法规定：.【教学说明】对上述二次根式的乘法公式，教学时应引导学生关注其后面的附加条件a≥0，b≥0，切不能出现类似于=·的错误.三、典例精析，掌握新知【教学说明】让学生自主探究，独立完成，加深对二次根式乘法运算和化简方法的理解.教师巡视，对有困难的同学适时给予指导，最后可选派四名学生上黑板完成解答，师生共同评析，巩固所学新知识.【教学说明】在学生探索本题解答过程中，教师可补充说明，在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.四、运用新知，深化理解4.一个矩形的长和宽分别是10cm和22cm，求这个矩形的面积.5.一个底面为30cm×30cm的长方体容器中装满了水.现将一部分水倒入一个底面为正方形，高为10cm的铁桶中.当铁桶装满水时，容器内水面下降了20cm.铁桶的底面边长是多少厘米？【教学说明】学生自主完成，教师巡视，对学生解题过程中出现的问题及时予以指正，帮助学生加深理解，对优秀者应予以表扬鼓舞，让学生体验成功的快乐.【答案】1.A2.(1)原式=五、师生互动，课堂小结通过这节课的学习你有哪些收获和体会？谈谈你的想法，并与同伴相互交流.1.布置作业：从教材“习题16.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.创设情境，给出实例.学生积极主动探索，教师引导启发，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.二次根式乘法法则的形成过程中，由学生大胆猜测，经过思考、分析、讨论的过程，让学生在交流中体会成功.3.前面的讲练能帮助学生理解二次根式乘法法则，培养学生利用概念解题的能力.第十六章二次根式第2课时二次根式的除法1.理解=（a≥0，b＞0）和=（a≥0，b＞0），能用它们进行化简计算，能将二次根式化为最简二次根式.2.通过具体实例的探究活动，发现二次根式除法的规律，归纳出二次根式除法法则及其逆向等式，能用它们进行化简计算.3.让学生在独立思考的基础上，积极参与数学问题的讨论，勇于发表自己的观点，增强合作交流意识和能力.【教学重点】=（a≥0，b＞0）和=（a≥0，b＞0）的理解和应用.【教学难点】探索二次根式的除法法则.一、情境导入，初步认识问题1计算下列各式，观察计算结果，你能发现其中的规律吗？问题2用你发现的规律填空，并用计算器进行验算：【教学说明】让学生自主探究，感受二次根式除法运算中所蕴含的规律性特征，获得二次根式相除的感性认识，导入新课.二、思考探究，获取新知想一想通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法运算法则，你能说出二次根式的结果吗？与同伴交流.师生共同回顾思考，总结出二次根式除法运算法则：=（a≥0，b＞0）和=（a≥0，b＞0）【教学说明】在师生共同探索出上述二次根式的除法公式后，教师应引导学生关注其成立的条件，不得出现=的类似错误.三、典例精析，掌握新知【教学说明】教师给出例题后，让学生独立作业，同时分别选派四名同学上黑板演算.教师巡视，对学生演算过程中的失误及时予以指正，最后师生共同评析，让学生加深对二次根式除法的理解和掌握，并保留每道题的最后结果.议一议观察上述各题的最后结果，它们有什么特点？在学生相互交流过程中可感受到所有结果中的二次根式有如下两个特征：（1）被开方数中不含分母（或分母中不含二次根式）；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把具有上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.小练习：1.下列二次根式中，是最简二次根式的有_______（填序号）.【教学说明】感受二次根式乘除在数学问题和实际生活中的应用，体会二次根式的乘除法在二次根式的化简中的重要作用.四、运用新知，深化理解【教学说明】让学生自主完成，加深对已学知识的复习，并检查对新学知识的掌握情况，对学生的困惑，教师应及时予以指导，并进行必要的反思.五、师生互动，课堂小结师生共同回顾：（1）=（a≥0，b＞0）和=（a≥0，b＞0）及其应用；（2）最简二次根式的意义.【教学说明】教师应让学生自由交流，总结本节课的知识要点，同时进行自我反思，提高认知，加深对所学知识的理解.1.布置作业：从教材“习题16.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.创设情境，复习二次根式的乘积，旨在类比学习二次根式的除法，培养学生继续探究的兴趣.2.二次根式除法的学习过程，按照由特殊到一般的规律，由学生经历思考、讨论、分析的过程，让学生大胆猜测，使学生在交流中体会成功.第十六章二次根式16.3二次根式的加减第1课时二次根式的加减法1.会进行二次根式的加减运算，利用二次根式的加减法解决生活实际问题.2.经历由实际问题引入数学问题的过程，提高学生的抽象概括能力，进而掌握二次根式的加减运算方法.3.培养学生认真观察、思考的习惯，锻炼严谨细致、一丝不苟的科学精神.【教学重点】二次根式的加减法运算方法.【教学难点】二次根式的加减法的实际应用.一、情境导入，初步认识问题现有一块长7.5dm，宽5dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？【教学说明】可借助多媒体（或幻灯片）展示木板，尝试截取两个正方形木块，并引导学生思考.解决问题的关键在哪里？如何解决？激发学生的学习兴趣和求知欲望.二、思考探究，获取新知让学生相互讨论，共同探究，寻求解决问题的方案.与此同时，教师可设置如下问题帮助学生进行理解和分析：1.两个正方形木块的边长分别是多少？2.最大正方形木板的边长与原长方形木板的宽5dm的大小如何？3.两个正方形木板的边长之和与长方形木板的长7.5dm的大小关系如何？你认为用什么办法来得出结论的？4.谈谈你获得结论的过程中的想法，你有哪些新的认识？在学生充分交流，初步形成认知后，师生共同探讨：上述实际问题中，实质是求与这两个二次根式的和，我们可以这样来计算：【教学说明】本环节教师要放手让学生自主探究，自主发现问题，并尝试解决问题，并能总结规律，形成认知.同时，教师应关注学生的完成情况，能否正确进行二次根式的化简，能否运用分配律将二次根式合并.【归纳结论】二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.三、典例精析，掌握新知【教学说明】以上两例，应让学生先独立完成，并分别选派两名中等成绩同学上黑板进行演算.教师巡视，了解全班学生的掌握情况，并对有困难的同学及时予以点拨，帮助他们加深对新知的理解.最后，师生共同评析黑板上的作业，教师还可适时将巡视中发现的问题展示给全班同学，达到理解新知的目的.例3如图，实验中学计划在校园内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池，设计者需要考虑有关的周长，如果小喷水池的面积为8m2，花坛的绿化面积为10m2，则花坛的外周与小喷水池的周长一共是多少米？分析：利用正方形的面积公式求出边长，再根据周长公式即可得解..【教学说明】本例展示了二次根式的加减在实际问题中的应用，在实际教学过程中，教师应引导学生进行合理分析，理清解题思路与步骤，再让学生自主完成解答过程.最后教师可以给出示范性解题过程，也可以用幻灯片展示学生的优秀作业及有代表性问题作业，让学生通过观察与反思，加深对知识的理解.四、运用新知，深化理解1.下列计算是否正确？为什么？5.先化简，再求值：【教学说明】学生自主完成上面前3个题，教师巡视，后两个题稍难，教师适当予以点拨.【答案】1.（1）不正确，两边不相等；（2）不正确，两边不相等；（3）正确.2.①和④；五、师生互动，课堂小结师生共同回顾本节主要知识点及需要注意的问题.（1）知识要点：二次根式加减的一般思路，①不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；②相同的二次根式一定要进行合并.（2）需注意的问题：①应能将化简的二次根式化简后再进行计算，不要出现-是最后结果的类似错误；②相同的二次根式合并时，只需把它们的系数相加减，根式不变，不相同的二次根式不能进行加减，防止出现3-2=（3-2）（-）=-的错误.1.布置作业：从教材“习题16.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.创设情境，给出实例.由学生主动参与，经过思考、讨论、分析的过程，老师加以启发和引导，类比得出二次根式的加减运算法则.2.三个例题，旨在帮助学生理解二次根式的加减运算.尤其是例2，要按照两个步骤进行计算，培养了学生利用概念、法则进行计算和化简的严谨态度和科学精神，此外，例3还展示了二次根式的加减在实际问题中的应用.16.3二次根式的加减第2课时二次根式的混合运算1.会进行二次根式的乘、除、加、减混合运算；2.能用多项式的乘法公式进行二次根式的化简计算.3.通过具体问题进一步体会有理数运算、二次根式的运算以及整式的运算之间的联系，掌握二次根式混合运算方法.4.通过多项式乘除法则及乘法公式在二次根式运算中的应用，体验迁移、化归思想，使学生进一步形成符号感，提高数学应用意识.【教学重点】二次根式的混合运算.【教学难点】多项式的乘除法则及乘法公式在二次根式运算中的应用方法.一、情境导入，初步认识问题我们知道：（x+y）·xy=x·xy+y·xy=x2y+xy2，（2x2y+3xy2）÷xy=2x2y÷xy+3xy2÷xy=2x+3y，（x+y）（x-y）=x2-y2及（x+y）2=x2+2xy+y2，……试问：如果上述各式中的x，y分别代表着一个二次根式，我们会有哪些新的收获呢？【教学说明】引入上述关于多项式的乘除算式及乘法公式，进而提出新的问题的目的在于暗示二次根式的运算与多项式的运算之间的联系，激发学生的求知欲望和探究意识.二、思考探究，获取新知探究1由（x+y）·z=x·z+y·z=xz+yz，你能求出的值吗？你是怎样做的？探究2由，你能求出的值吗？由此你有何发现？类似地，请解决以下几个小题.【教学说明】让全班同学共同参与探究，相互交流，在类比的过程中尝试给出问题的答案.教师巡视，予以点拨，肯定学生的成绩，并引导学生完善对二次根式混合运算的初步认识，最后师生共同给出问题的结果.【归纳结论】1.二次根式的混合运算与整式的运算方法完全相同，即先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号.2.在二次根式的运算中，多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用.三、典例精析，掌握新知例1计算下列各题：分析：对算式的结构进行观察分析，运用二次根式加、减、乘、除的法则进行运算，需注意乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，（a±b）2=a2±2ab+b2的灵活运用.解：（1）原式=（4-2+6）÷2=（4+4）÷2=4÷2+4÷2=2+2；例2已知x=+1，y=-1，求下列代数式的值.（1）x2+2xy+y2；（2）x2-y2.分析：由条件易知x+y=2，x-y=2，而需求代数式中的（1）可化为（x+y）2，（2）可化为（x+y）（x-y），因而整体代入更简洁些，当然直接代入求值也是可行的，只不过要复杂多了.解：∵x=+1，y=-1，∴x+y=2，x-y=2.（1）原式=（x+y）2=（2）2=12；（2）原式=（x+y）·（x-y）=2×2=4.【教学说明】第1题可让学生自主完成，并选派三名代表上黑板进行演算.教师巡视，了解学生对二次根式混合运算的掌握情况，及时予以帮助，帮助学生更好地掌握新知识.最后全班同学分析三位代表的解答过程及结果，深化理解.第2题仍可让学生先自主探究，如果大部分学生选用直接代入求值时，教师仍应肯定他们的成绩，但需展示本例的最佳解题思路，达到融会贯通的目的.四、运用新知，深化理解3.（1）若a=3+2，b=3-2，求a2b-ab2的值；（2）若x=-1，求x2+2x+2011的值.【教学说明】第1、2两题可让学生自主完成，然后相互交流，教师根据反馈情况，及时查漏补缺，优化课堂教学.第3题即可让学生尝试解决，也可由师生共同分析，形成解题思路后再由学生自主完善解题过程.3.（1）由a-b=4，a·b=1得a2b-ab2=ab（a-b）=1×4=4；（2）∵x=-1，∴x+1=，两边平方，得x2+2x+1=2.∴x2+2x=1.故x2+2x+2011=1+2011=2012.五、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获？你还有哪些疑惑？谈谈你的看法，并与同伴交流.【教学说明】教师以设问的形式和学生一道回顾本节主要知识及所涉及到的解题方法、技巧和数学思想方法，既是对知识的一次梳理，也是一次必要的提炼升华，完善认知.1.布置作业：从教材“习题16.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.情境引入，复习整式运算的知识，旨在迁移到利用乘法公式进行含二次根式式子的运算，培养学生继续探究的兴趣.2.例题的设计，旨在帮助学生理解乘法公式在二次根式运算中的应用.第十六章二次根式章末复习1.进一步加深对二次根式定义、性质及运算法则的理解，能用它们解决具体问题.2.经历对本章知识的梳理和利用相关知识解决具体问题的过程，进一步锻炼学生的解题能力，加深对本章知识的理解和应用.3.在运用二次根式的有关知识解决具体问题过程中，进一步增强学生的数学应用意识和能力，培养科学的态度，激发学习兴趣.【教学重点】回顾知识要点及解题思路方法.【教学难点】灵活运用乘法公式解决二次根式的化简计算问题.知识框图，整体把握【教学说明】教学时，教师与学生一起复习回顾本章主要知识，按教学前自己所设计的思路展示本章知识结构图，加深学生对本章知识的系统掌握.二、释疑解惑，加深理解1.对于二次根式，要明确被开方数必须是非负数，也就是说，对于，只有当a≥0时才有意义.利用这一特点，我们可以解决某些未知数的值，如若y=++3，则x=1/2，y=3.2.最简二次根式是指：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式.只有将二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同时，才能合并，如若最简二次根式与能合并，则x的值为4.3.二次根式的运算与有理数的运算顺序和方法完全相同.同样地，多项式乘法法则和乘法公式也仍然适用于二次根式.【教学说明】在对上述知识回顾过程中，教师应边回顾边举例说明，促进学生对知识的深化理解.三、典例精析，复习新知例1若-=（x+y）2，则代数式x-y的值为（）A.-1B.1C.2D.3分析：可利用二次根式的意义，得出x的值，从而求出y值，得出结论.由题意有∴x=1.因此，（x+y）2=0，∴y=-1，故x-y=2，应选C.例2估计的运算结果应在（）A.1到2之间B.2到3之间C.3到4之间D.4到5之间分析：原式==2+，又1＜＜2，故3＜2+＜4.答案选C.例3实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简+|a+b｜的结果为.分析：由数轴可知，a＜0，b＜0，且b＜a＜0，故+|a+b|=+|a+b|=|a-2b|+|a+b|.又a-2b＞0，a+b＜0，∴原式=a-2b-（a+b）=-3b，故应填-3b.例4已知a=+1，求a3-a2-3a+2011的值.分析：将a=+1移项得a-1=，两边平方后得到一个二次三项式，再“整式代入，逐步降次”可得结论.解：∵a=+1，∴a-1=，∴（a-1）2=（）2，即a2-2a+1=2，∴a2=2a+1.∴a3-a2-3a+2011=a（2a+1）-（2a+1）-3a+2011=2a2+a-5a+2010=2（2a+1）+a-5a+2010=2012.例6若与｜x-y-3｜互为相反数，求x+y的值.分析：本题考查了非负数的性质以及二元一次方程组的求解，当多个非负数的和为0时，这几个非负数都为0.【教学说明】实际教学时，教师可根据自己的思路从上述例题中选取几题进行评讲，也可选用其它题目来解决学生学习本章知识时可能存在的问题，达到因材施教，查漏补缺的目的，对于所选例题，应给予合适时间让学生独立思考，然后师生共同分析，完善结论，其中例4、例5、例6则应给出详细规范答案.通过所选例题的教学，进一步增强学生对本章知识的理解和掌握，提高分析问题、解决问题的能力，体验数学的严谨性、科学性及解题的灵活性.四、复习训练，巩固提高1.已知方程｜4x-8|+=0，则当y＞0时，m的取值范围是（）A.0＜m＜1B.m≥2C.m＜2D.m≤2【教学说明】教师试着让学生自己完成上述题目.【答案】1.依题意有4x-8=0，x-y-m=0，∴x=2，y=2-m，又y＞0，即2-m＞0，∴m＜2，故选C.2.x≤4且x≠2；五、师生互动，课堂小结1.通过这节课的学习，你对本章知识有哪些新的认识，有何体会？请与同学交流.2.通过本章知识的学习，你掌握了哪些数学思想方法？说说看.【教学说明】师生共同进行回顾和小结，让学生在相互交流中积累解题方法和经验.1.布置作业：从教材“复习题16”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.知识框图的呈现，其作用在于进行知识梳理，旨在让学生更好地回顾本章的知识点，理解本章节的知识体系.2.例题的设计，帮助了学生对本章知识点的掌握，还相应增加了难度，能更好地对本章节的知识点进行升华，使学生对本章节的知识点不光停留在掌握上，更能综合灵活运用.本章专题整合训练1.进一步加深对二次根式定义、性质及运算法则的理解，能用它们解决具体问题.2.经历对本章知识的梳理和利用相关知识解决具体问题的过程，进一步锻炼学生的解题能力，加深对本章知识的理解和应用.3.在运用二次根式的有关知识解决具体问题过程中，进一步增强学生的数学应用意识和能力，培养科学的态度，激发学习兴趣.【教学重点】回顾知识要点及解题思路方法.【教学难点】灵活运用乘法公式解决二次根式的化简计算问题.知识框图，整体把握【教学说明】教学时，教师与学生一起复习回顾本章主要知识，按教学前自己所设计的思路展示本章知识结构图，加深学生对本章知识的系统掌握.二、释疑解惑，加深理解1.对于二次根式，要明确被开方数必须是非负数，也就是说，对于，只有当a≥0时才有意义.利用这一特点，我们可以解决某些未知数的值，如若y=++3，则x=1/2，y=3.2.最简二次根式是指：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式.只有将二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同时，才能合并，如若最简二次根式与能合并，则x的值为4.3.二次根式的运算与有理数的运算顺序和方法完全相同.同样地，多项式乘法法则和乘法公式也仍然适用于二次根式.【教学说明】在对上述知识回顾过程中，教师应边回顾边举例说明，促进学生对知识的深化理解.三、典例精析，复习新知例1若-=（x+y）2，则代数式x-y的值为（）A.-1B.1C.2D.3分析：可利用二次根式的意义，得出x的值，从而求出y值，得出结论.由题意有∴x=1.因此，（x+y）2=0，∴y=-1，故x-y=2，应选C.例2估计的运算结果应在（）A.1到2之间B.2到3之间C.3到4之间D.4到5之间分析：原式==2+，又1＜＜2，故3＜2+＜4.答案选C.例3实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简+|a+b｜的结果为.分析：由数轴可知，a＜0，b＜0，且b＜a＜0，故+|a+b|=+|a+b|=|a-2b|+|a+b|.又a-2b＞0，a+b＜0，∴原式=a-2b-（a+b）=-3b，故应填-3b.例4已知a=+1，求a3-a2-3a+2011的值.分析：将a=+1移项得a-1=，两边平方后得到一个二次三项式，再“整式代入，逐步降次”可得结论.解：∵a=+1，∴a-1=，∴（a-1）2=（）2，即a2-2a+1=2，∴a2=2a+1.∴a3-a2-3a+2011=a（2a+1）-（2a+1）-3a+2011=2a2+a-5a+2010=2（2a+1）+a-5a+2010=2012.例6若与｜x-y-3｜互为相反数，求x+y的值.分析：本题考查了非负数的性质以及二元一次方程组的求解，当多个非负数的和为0时，这几个非负数都为0.【教学说明】实际教学时，教师可根据自己的思路从上述例题中选取几题进行评讲，也可选用其它题目来解决学生学习本章知识时可能存在的问题，达到因材施教，查漏补缺的目的，对于所选例题，应给予合适时间让学生独立思考，然后师生共同分析，完善结论，其中例4、例5、例6则应给出详细规范答案.通过所选例题的教学，进一步增强学生对本章知识的理解和掌握，提高分析问题、解决问题的能力，体验数学的严谨性、科学性及解题的灵活性.四、复习训练，巩固提高1.已知方程｜4x-8|+=0，则当y＞0时，m的取值范围是（）A.0＜m＜1B.m≥2C.m＜2D.m≤2【教学说明】教师试着让学生自己完成上述题目.【答案】1.依题意有4x-8=0，x-y-m=0，∴x=2，y=2-m，又y＞0，即2-m＞0，∴m＜2，故选C.2.x≤4且x≠2；五、师生互动，课堂小结1.通过这节课的学习，你对本章知识有哪些新的认识，有何体会？请与同学交流.2.通过本章知识的学习，你掌握了哪些数学思想方法？说说看.【教学说明】师生共同进行回顾和小结，让学生在相互交流中积累解题方法和经验.1.布置作业：从教材“复习题16”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.知识框图的呈现，其作用在于进行知识梳理，旨在让学生更好地回顾本章的知识点，理解本章节的知识体系.2.例题的设计，帮助了学生对本章知识点的掌握，还相应增加了难度，能更好地对本章节的知识点进行升华，使学生对本章节的知识点不光停留在掌握上，更能综合灵活运用.第十七章勾股定理17.1勾股定理第1课时勾股定理1.了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程.2.在探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果，体验数学思维的严谨性.3.通过对勾股定理历史的了解，感受数学的文化，激发学习热情.4.在探究活动中，体验解决问题的多样性，培养学生合作交流意识和探索精神.【教学重点】探索和证明勾股定理.【教学难点】用拼图的方法证明勾股定理.一、情境导入，初步认识2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”.这就是本届大会会徽的图案（教师出示图片或照片）.（1）你见过这个图案吗？（2）你听说过“勾股定理”吗？【教学说明】学生欣赏图片时，教师应对图片中的图案进行补充说明：这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被誉为“赵爽弦图”.通过对图片的观察，为学生积极主动投入到探索活动中创设情境，为探索勾股定理提供背景材料.二、思考探究，获取新知毕达哥拉斯是古希腊著名数学家.相传在2500年前，他在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.请你也观察一下类似的图案（教材P22图形），你有什么发现？【教学说明】教师与学生一道分析教材P22图17.1-2，右边的三个正方形及直角三角形是从左边的等腰三角形的图案中截取出来的，将大正方形沿对角线分成四个小直角三角形，再把两个小正方形沿竖直对角线分成两个小直角三角形，从而可发现其中特征.【归纳结论】等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和.问题等腰直角三角形三边的关系特征是否也适用于其它的直角三角形呢？请同学们继续观察P23图17.1-3，运用割补法分别计算正方形A、B、C和正方形A′、B′、C′的面积，看看它们之间有什么关系？【教学说明】让学生自主探究或相互交流探寻出正方形C和C′的面积，教师巡视，针对学生的认知方法引导学生选用不同的方法得出它们各自的面积.一方面，正方形C的面积为：52-4××2×3=25-12=13；另一方面也有正方形C的面积为：4××2×3+1=13，而这两种方法都可以从图中直接获得，同样可得到正方形C′的面积为34.通过观察上述问题的探讨，若将直角三角形的两直角边记为a，b，斜边为c，则应有a2+b2=c2，即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.上述结论我们都是通过特例而获得的，是否对所有的直角三角形都能成立呢？有没有办法来证明呢？做一做将一张白纸对折，再对折，然后随意画一个直角三角形，用剪刀沿画线裁出四个全等的直角三角形，在较大直角边处标记b，较短直角边处标记a，斜边标记c，然后按图示方式拼图.想一想（1）中间小正方形边长是多少？它的面积呢？（2）你能由大正方形的面积的两种不同计算方法探讨出三角形三边a、b、c的数量关系吗？不妨试试看.【教学说明】通过动手操作，可激发学生学习兴趣，并在解决问题过程中体验探究的乐趣和成功的快乐，在快乐中学习，增长知识.最后师生共同探讨：S大正方形=c2=4××a×b+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2.即a2+b2=c2.有：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.教师简要阐述：现有记载的证明勾股定理的方法多达数百种，前面我们利用的面积法证明勾股定理的方法实际上是我国古人赵爽的证法，所拼成的图案称为“赵爽弦图”.三、运用新知，深化理解 1.你能利用如图所示的图形来证明勾股定理吗？不妨试试看，并与同伴交流.2.你能用勾股定理解决下面的问题吗？（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，试求斜边AB的长；（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，试求直角边AC的长.【教学说明】这两道题先由学生自主完成，然后由教师进行评讲.【答案】1.解：S梯形＝（a+b）·（a+b）·＝（a2+b2+2ab）·，又S梯形＝ab+ab+c2=（2ab+c2），综上a2+b2＝c2.有：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.解：（1）由勾股定理有：在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，即AB＝25.（2）由勾股定理有：在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，即AC2＝AB2-BC2，∴AC＝8.四、师生互动，课堂小结这节课你有哪些收获？你还能想到一些证明勾股定理的方法吗？与同伴交流.1.请查阅资料或上网，收集一些证明勾股定理的方法，并与同伴交流.2.完成练习册中本课时练习.新课程标准对勾股定理这部分的教学要求与旧大纲的要求不同，新课程标准对勾股定理这部分的教学要求是：体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的问题.勾股定理是中学数学几个重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，既是直角三角形性质的拓展，也是后续学习“解直角三角形”的基础.它紧密联系了数学中两个最基本的量——数与形，能够把形的特征（三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足a2+b2=c2），堪称数形结合的典范，在理论上占有重要地位.另外八年级学生已具备一定的分析与归纳能力，初步掌握了探索图形性质的基本方法.但是学生在用割补方法和用面积计算方法证明几何命题的意识和能力方面存在障碍，对于如何将图形与数有机的结合起来还很陌生.基于以上三点的原因，本节课教学应把学生的探索活动放在首位，一方面要求学生在教师引导下自主探索，合作交流；另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，从而教给学生探求知识的方法，教会学生获取知识的本领.第2课时勾股定理的应用1.能运用勾股定理进行简单的计算及解释生活中的实际问题.2.通过从实际问题中抽象出直角三角形的过程，初步感受转化和数形结合的思想方法.3.通过对探究性问题的思考，培养学生与他人交流合作的意识和品质.【教学重点】勾股定理的应用.【教学难点】应用勾股定理解决实际生活中的问题.一、情境导入，初步认识问题1求出下列直角三角形中未知边的长：①在解决上述问题时，每个直角三角形需要知道几个条件？②直角三角形中哪条边最长？问题2在长方形ABCD中，宽AB=1cm，长BC=2cm，求AC的长.【教学说明】在问题1中，选派四名同学上黑板演示，其它同学在座位上独立思考，然后解决问题2，教师巡视指导，加深学生对勾股定理的理解和运用.二、思考探究，获取新知探究1一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？【分析】显然，这块薄木板横着进，竖着进都不能从门框内通过，能否斜着通过门框呢？由图可知，对角线AC是斜着通过时的最大长度，只要求出AC的长，再与木板的宽进行比较，就能知道木板能否通过门框.解：连接AC，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=2，由AC2=AB2+BC2，得AC2=12+22=5，∴AC=≈2.236.∵AC大于木板的宽2.2m，所以木板能斜着通过门框.【教学说明】教师提出问题后，可设置以下几个问题帮助学生分析：①木板能横着通过门框吗？竖着呢？为什么？②如果将木板斜着拿，是否有可能通过门框？此时，要使木板能通过，则需比较哪些数据的大小？你是怎样想的？让学生在相互交流过程中获得解题思路，初步感受利用勾股定理解决生活实际问题的思想方法.探究2如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙OA上，这时AO的距离为2.5m.如果梯子的顶端A沿墙壁下滑0.5m，那么梯子底端B也向外滑行了0.5m吗？说说你的理由.【分析】由于梯子沿墙壁滑动过程中有两个不变量，一是梯子的长AB=A′B′=3m，另一个则是∠AOB=∠A′OB′=90°.要想判断梯子底端向外滑行的距离是否是0.5m，即是通过勾股定理求出OB和OB′的长即可.由题意得OB2=AB2-OA2=32-2.52=2.75，OB′2＝A′B′2-OA′2＝32-22＝5，所以OB′＝≈2.236，OB=≈1.658，故BB′=OB′-OB=2.236-1.658=0.578≈0.58，即梯子顶端下滑0.5m时，底端外移0.58m.【教学说明】本例在教师分析后，可由学生自主完成，让学生感受将实际问题转化为求直角三角形边长的问题，培养学生的数学应用意识.教师巡视，关注学生能否准确理解题意，将实际问题转化为数学问题，关注学生的语言表达能力，对有困难学生给予帮助.探究3（1）如图，在RtΔACB中，∠C=90°，AC=2，BC=3，求斜边AB的长.（2）我们知道，数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在图中的数轴上画出表示的点吗？与同伴交流.【教学说明】通过（1）的思考，让学生感受到两直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长为，故可在数轴上截取长为3的线段OA，O为原点，A对应数3，过A作l垂直于数轴，在l上截取AB=2，连接OB，则OB=，再以O为圆心，OB为半径画圆交数轴正半轴于点C，则点C所表示的数即为，类似地还可让学生在数轴上画出表示的点，加以巩固.结合教材P27中图17.1-11，图17.1-12，让学生感受在数轴上画出表示…的点的方法.三、运用新知，深化理解1.有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖住这个洞口，圆的直径至少是多长？（结果保留整数）2.如图，池塘边有两点A，B，点C是与AB成直角的AC方向上一点，测得CA=20m，CB=60m，试求出A、B两点间的距离.3.在数轴上作出表示－的点.【教学说明】让学生相互交流，共同探讨，获得结果.第1题建议用图形来帮助解决问题.教师巡视，适时点拨，肯定他们的成绩，指出存在的问题，让学生真正领会和掌握本节知识.【答案】1.解：d==70.7≈71（dm）.2.解：∵AB2+AC2=BC2，∴AB==＝40m.3.解：∵＝=.∴是以3，1为直角边的直角三角形斜边的长.如下图：四、师生互动，课堂小结运用勾股定理解决实际应用问题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，谈谈你的体会.1.布置作业：从教材“习题17.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本课时所学内容是用勾股定理解决简单的实际问题.在实际生活中，很多问题可以用勾股定理解决，而解决这类问题都需要将其转化为数学问题.就本课时而言，关键是要通过构造直角三角形来完成.所以教师在教学时，应注意教学生如何构造直角三角形，找出已知的两个量，并让学生动手画出图形，教师再给予适时点拨.此外，教师还应关注学生所用语句的规范性，尽量让学生用数学语言来描述.17.2勾股定理的逆定理1.理解勾股定理的逆定理的证明方法，能证明勾股定理的逆定理.2.能用勾股定理的逆定理判别一个三角形是否是直角三角形，并能用它解决实际问题.3.在探索勾股定理的逆定理及其证明方法和运用勾股定理逆定理解决具体问题的过程中，进一步体验数形结合的思想，增强分析问题、解决问题的能力.4.通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系；5.进一步增强与他人交流合作的意识和探究精神.【教学重点】勾股定理的逆定理及其应用.【教学难点】勾股定理的逆定理的证明.一、情境导入，初步认识问题（1）勾股定理的内容是怎样的？（2）求以线段a，b为直角边的直角三角形的斜边c的长：①a=3，b=4；②a=2.5,b=6；③a=4,b=7.5.（3）想一想：分别以（2）中a、b、c为三边的三角形的形状会是怎样的？【教学说明】教师提出问题后，学生自主探究，相互交流获得结论，最后教师针对问题（2）、（3）提醒学生注意它们各自特征，其中（2）是由形获得数量关系，而（3）是由数量关系得到形的特征，为勾股定理的逆定理的引入作铺垫.二、思考探究，获取新知探究1画出三边长分别为3cm、4cm和5cm，2.5cm、6cm和6.5cm，4cm、7.5cm和8.5cm的三个三角形，用量角器测出较大角的度数，你有什么发现？你能解释其原因吗？【教学说明】将全班同学分成三个小组，分别画出上述三个三角形，然后相互交流，教师巡视，指导并帮助有困难同学画出尽可能准确的图形，从而形成对勾股定理的逆定理的感性认识.猜想如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.探究2（1）三边长分别为3，4，5的三角形与以3，4为直角边的直角三角形的三边关系如何？你是怎样得到的？简要说明理由.（2）你能否受（1）启发，说明分别以2.5cm、6cm、6.5cm和4cm、7.5cm、8.5cm为三边长的三角形也是直角三角形呢？（3）如图，若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2=c2，试证明△ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程.【教学说明】教师应引导学生利用问题（1）、（2）的思路完成问题（3）的证明，得出勾股定理的逆定理，在这期间，教师顺势给出原命题、逆命题、逆定理的概念，最后师生共同给出逆定理的证明过程，在黑板上展示（也可通过多媒体展示），从而帮助学生获得正确认知.证明：如图，画Rt△A′C′B′，使A′C′=b，B′C′=a，∠A′C′B′=90°.∴在Rt△A′C′B′中，有A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2.又a2+b2=c2，∴A′B′2=c2，∴A′B′=c.∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠ACB=∠A′C′B′=90°，即△ABC是直角三角形.三、典例精析，掌握新知例1判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15.【教学说明】本例可由学生自己独立完成，教师巡视指导，应关注学生是否是利用两短边的平方和与最长边的平方进行比较.例2某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【分析】由题意，可画出示意图如图所示，易知PQ=16×=24，PR=12×=18，又RQ=30.∵242+182=576+324=900，RQ2=900，∴PR2+PQ2=RQ2，故以P、Q、R为顶点的三角形是直角三角形，由“远航”号沿东北方向航行，故易知“海天”号沿西北方向航行.例3说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？（1）两条直线平行，内错角相等；（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等.【分析】如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题是互逆命题，从而可得（1）、（2）的逆命题分别为“内错角相等，两直线平行”，“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个数相等”，且（1）中的逆命题是真命题，（2）中的逆命题是假命题.四、运用新知，深化理解1.如果三条线段a、b、c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？2.说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？（1）全等三角形的对应角相等；（2）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.【教学说明】学生自主探究，寻求结论，教师巡视，及时指导，让学生在练习过程中加深对知识的领悟.【答案】1.是直角三角形，由勾股定理的逆定理可得.2.（1）逆命题为对应角相等的三角形全等，该逆命题不成立.（2）逆命题为角平分线上的点到角的两边距离相等.该逆命题成立.五、师生互动，课堂小结谈谈这节课你的收获有哪些？还有哪些疑问？与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题17.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本课时的教学目标是在掌握了勾股定理的基础上，让学生如何从三边的关系来判定一个三角形是否为直角三角形，即“勾股定理的逆定理”.由于学生对此在理解上可能有些困难，因此教学时可以实行分层教学，让不同水平的学生在同一课堂都能学好，为此，可设计三个层次的问题，以达到分层教学目标：第一层次是让学生直接运用定理判断三角形是否是直角三角形，掌握定理的基本运用；第二层次是强调已知三角形三边长或三边关系，再判断三角形是否是直角三角形，这样既巩固了勾股定理的逆定理的应用，又为下一个层次做好了铺垫；第三层次是灵活运用勾股定理及其逆定理解决图形面积的计算问题.根据学生原有的认知结构，让学生更好地体会分割的思想.教案中设计的题型前后呼应，使知识有序推进，有助于学生的理解和掌握，让学生通过合作、交流、反思、感悟的过程，激发学生探究新知的兴趣，感受探索、合作的乐趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的主人.章末复习1.进一步感受勾股定理及其逆定理，能用它们解决问题.2.在经历“知识回顾——问题与思考——问题探究”过程中，进一步增强学生分析问题、解决问题的能力，体验数形结合的思想，锻炼解题技能.3.进一步培养学生的合作交流意识和探究精神，激发学习数学的兴趣.【教学重点】勾股定理及其逆定理解决问题.【教学难点】用勾股定理的逆命题证明几何问题.一、知识回顾，整体把握1.勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.2.勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c称为一组勾股数.3.勾股定理的逆定理：在一个三角形中，如果满足两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.4.互逆命题、互逆定理.【教学说明】师生共同回顾本章知识，教师扼要板书，加深学生理解.二、释疑解惑，加深理解1.勾股定理及其逆定理的证明方法是怎样的，它们各是怎样体现数形结合的思想的，谈谈你的理解.2.已知一个三角形三边长，就能判断它是不是直角三角形，你能举个例子吗？3.如果一个命题成立，它的逆命题一定成立吗？请举例说明.【教学说明】教师展示问题，师生共同回顾，加深认识.三、典例精析，复习新知例1（1）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形三边长，不能构成直角三角形的是（）A.3，4，5B.6，8，10C.，2，D.5，12，13（2）如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数是（）A.90°B.60°C.45°D.30°【分析】（1）中可直接将选项中三个数据的两个较小数的平方和与最大数的平方进行比较，易知以C选项中三个数据，2，为三边的三角形不是直角三角形，故选C；（2）中，由于给出了小正方形的边长为1，因而可利用勾股定理分别求出线段AB、BC和AC（应连接AC）的长，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC的形状后可得到结论.∵AB2=12+32=10，CB2=12+22=5，CA2=12+22=5，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，故∠ABC=45°，应选C.例2如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°且DC=2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1,S2,S3，则S1,S2,S3之间的关系是.【分析】如图2，过点A作AE∥BC交CD于点E，连接AC，则∠EAC=∠ACB.由AB∥CD知∠BAC=∠ACE,AC=AC,∴△ABC≌△AEC,∴AB=CE,AE=BC.由CD=2AB=CE+DE知DE=CE=AB.由AE∥BC知∠AED=∠BCD，而∠ADC+∠BCD=90°,∴∠ADC+∠AED=90°,∴∠DAE=90°，即△ADE为直角三角形，∴DE2=AD2+AE2，即AB2=AD2+BC2，即S2=S1+S3.例3如图，已知AB=12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10，点E为CD的中点，则AE的长为.【分析】可过E作EM⊥AD于M，交BC于N，∵E为CD中点，从而易得Rt△DME≌Rt△CNE，而DM=NC=（AD+BC）=，∴AM=-5=.又EM=EN=AB=6，故在Rt△AEM中，有AE2=AM2+EM2=()2+62=+36=，∴AE=.例4已知，如图，在四边形ABCD中.∠ABC=90°，CD⊥AD于点D，且CD2+AD2=2AB2.（1）求证AB=BC；（2）当BE⊥AD于点E时，试证明：BE=AE+CD.【分析】(1)由条件CD2+AD2=2AB2，并结合图形，有CD2+AD2=AC2，又AC2＝AB2+BC2（连接AC），从而2AB2=AB2+BC2，有BC=AB（勾股定理功不可没）；（2）过C作CF⊥BE于F，由AB=BC，∠ABE=∠BCF，∠AEB=∠CFB，知△ABE≌△BCF，有BF=AE，且CD=FE，故BE=BF+FE=AE+CD.例5如图，点P为正方形ABCD内一点，且PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数.解：将△APB绕点B顺时针旋转90°，至△BP′C位置，连PP′（如图所示），易知BP′=BP＝2，∠PBP′=90°，且∠BPA=∠BP′C，P′C=PA=1.在Rt△BPP′中，有BP2+BP′2=PP′2，即PP′2=22+22=8.又P′C=1.∴PP′2+P′C2=8+1=9，而PC=3，∴PC2=9.故△PP′C为直角三角形，且∠PP′C=90°.又BP=BP′，∠PBP′=90°，∴∠BP′P=45°，故∠BP′C=45°+90°=135°，从而∠APB=135°.【教学说明】例1、例2可由学生独立完成，例3、4、5由师生共同探究获得结论，通过问题解决加深对勾股定理及其逆定理的理解和运用.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你对勾股定理及其逆定理是否有更深的认识？你还有哪些疑问？与同伴交流.1.布置作业：从教材“复习题17”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本章的复习应紧紧围绕“勾股定理”这个中心，师生一起共同回顾本章知识，并安排学生进行交流.教师及时发现问题并予以解答.此外，教案中安排的五个例题应先让学生试着解答，教师再予以点拨，以达到复习的效果.本章专题整合训练1.进一步感受勾股定理及其逆定理，能用它们解决问题.2.在经历“知识回顾——问题与思考——问题探究”过程中，进一步增强学生分析问题、解决问题的能力，体验数形结合的思想，锻炼解题技能.3.进一步培养学生的合作交流意识和探究精神，激发学习数学的兴趣.【教学重点】勾股定理及其逆定理解决问题.【教学难点】用勾股定理的逆命题证明几何问题.一、知识回顾，整体把握1.勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.2.勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c称为一组勾股数.3.勾股定理的逆定理：在一个三角形中，如果满足两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.4.互逆命题、互逆定理.【教学说明】师生共同回顾本章知识，教师扼要板书，加深学生理解.二、释疑解惑，加深理解1.勾股定理及其逆定理的证明方法是怎样的，它们各是怎样体现数形结合的思想的，谈谈你的理解.2.已知一个三角形三边长，就能判断它是不是直角三角形，你能举个例子吗？3.如果一个命题成立，它的逆命题一定成立吗？请举例说明.【教学说明】教师展示问题，师生共同回顾，加深认识.三、典例精析，复习新知例1（1）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形三边长，不能构成直角三角形的是（）A.3，4，5B.6，8，10C.，2，D.5，12，13（2）如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数是（）A.90°B.60°C.45°D.30°【分析】（1）中可直接将选项中三个数据的两个较小数的平方和与最大数的平方进行比较，易知以C选项中三个数据，2，为三边的三角形不是直角三角形，故选C；（2）中，由于给出了小正方形的边长为1，因而可利用勾股定理分别求出线段AB、BC和AC（应连接AC）的长，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC的形状后可得到结论.∵AB2=12+32=10，CB2=12+22=5，CA2=12+22=5，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，故∠ABC=45°，应选C.例2如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°且DC=2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1,S2,S3，则S1,S2,S3之间的关系是.【分析】如图2，过点A作AE∥BC交CD于点E，连接AC，则∠EAC=∠ACB.由AB∥CD知∠BAC=∠ACE,AC=AC,∴△ABC≌△AEC,∴AB=CE,AE=BC.由CD=2AB=CE+DE知DE=CE=AB.由AE∥BC知∠AED=∠BCD，而∠ADC+∠BCD=90°,∴∠ADC+∠AED=90°,∴∠DAE=90°，即△ADE为直角三角形，∴DE2=AD2+AE2，即AB2=AD2+BC2，即S2=S1+S3.例3如图，已知AB=12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10，点E为CD的中点，则AE的长为.【分析】可过E作EM⊥AD于M，交BC于N，∵E为CD中点，从而易得Rt△DME≌Rt△CNE，而DM=NC=（AD+BC）=，∴AM=-5=.又EM=EN=AB=6，故在Rt△AEM中，有AE2=AM2+EM2=()2+62=+36=，∴AE=.例4已知，如图，在四边形ABCD中.∠ABC=90°，CD⊥AD于点D，且CD2+AD2=2AB2.（1）求证AB=BC；（2）当BE⊥AD于点E时，试证明：BE=AE+CD.【分析】(1)由条件CD2+AD2=2AB2，并结合图形，有CD2+AD2=AC2，又AC2＝AB2+BC2（连接AC），从而2AB2=AB2+BC2，有BC=AB（勾股定理功不可没）；（2）过C作CF⊥BE于F，由AB=BC，∠ABE=∠BCF，∠AEB=∠CFB，知△ABE≌△BCF，有BF=AE，且CD=FE，故BE=BF+FE=AE+CD.例5如图，点P为正方形ABCD内一点，且PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数.解：将△APB绕点B顺时针旋转90°，至△BP′C位置，连PP′（如图所示），易知BP′=BP＝2，∠PBP′=90°，且∠BPA=∠BP′C，P′C=PA=1.在Rt△BPP′中，有BP2+BP′2=PP′2，即PP′2=22+22=8.又P′C=1.∴PP′2+P′C2=8+1=9，而PC=3，∴PC2=9.故△PP′C为直角三角形，且∠PP′C=90°.又BP=BP′，∠PBP′=90°，∴∠BP′P=45°，故∠BP′C=45°+90°=135°，从而∠APB=135°.【教学说明】例1、例2可由学生独立完成，例3、4、5由师生共同探究获得结论，通过问题解决加深对勾股定理及其逆定理的理解和运用.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你对勾股定理及其逆定理是否有更深的认识？你还有哪些疑问？与同伴交流.1.布置作业：从教材“复习题17”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本章的复习应紧紧围绕“勾股定理”这个中心，师生一起共同回顾本章知识，并安排学生进行交流.教师及时发现问题并予以解答.此外，教案中安排的五个例题应先让学生试着解答，教师再予以点拨，以达到复习的效果.第十八章平行四边形18.1平行四边形18.1.1平行四边形的性质第1课时平行四边形的边角特征1.理解平行四边形定义，能够依据定义探究平行四边形的性质.2.掌握平行四边形的对角相等，对边相等性质，能用它们解决简单的实际问题.3.掌握两条平行线间的距离的含义.4.经历探索平行四边形的性质及运用性质解决简单的实际问题的过程，培养学生的推理和演绎能力，发展学生的抽象思维和形象思维.5.在探索平行四边形的性质及运用性质解决问题的过程中，培养学生独立思考的习惯，感受获得成功的乐趣，激发学习热情.【教学重点】平行四边形的对应角相等，对应边相等的性质的探究和应用.【教学难点】两条平行线间的距离的含义.一、情境导入，初步认识现实世界中，四边形也在装点着我们的生活，宏伟的建筑物、铺满地面的地板、别具一格的窗棂、天空飞舞的风筝……处处都有四边形的身影，其中平行四边形与我们的生活关系更为密切，你能举出一些日常生活中的平行四边形的例子吗？【教学说明】学生相互交流，通过日常生活中的平行四边形实例感受平行四边形的含义，初步体验平行四边形的特征.二、思考探究，获取新知平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形是平行四边形，通常用“ABCD”可记作“ABCD”.思考如图所示的ABCD中，除了“两组对边分别平行”外，它的边、角之间有什么关系？你能说明原因吗？【教学说明】教师提出问题后，学生独立思考并相互交流.教师关注学生的交流活动，针对学生思考结果的实际情况，开展师生互动，如教师提问、学生自主交流或学生向教师提出质疑等，让学生能感受到要想获得观察和猜想中结论“平行四边形的对角相等”“平行四边形的对边相等”时，需通过添加辅助线获得全等三角形来达到目的，从而理解并掌握平行四边形的这些性质.在引导学生连接对角线AC（或BD）后，让学生自己完成证明，达到获取知识的目的，教师也可引导学生在论证“两组对角分别相等”时，还可利用平行四边形的平行线性质得到结论.平行四边形的性质平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等.探究如图，a，b是两条平行线，从直线a上任一点A向直线b作垂线，垂足为B，再过a上另一点C作CD⊥b于D，你能发现AB与CD的关系吗？【教学说明】学生相互交流，教师关注学生对问题的探讨过程，让学生获得平行线间的距离的感性认识，最后教师予以解释、归纳和总结，得出结论，两条平行线间的距离：过一条平行线上任一点作另一条平行线的垂线，这点和垂足之间的线段的长度叫做两条平行线间的距离.三、典例精析，掌握新知例1如图，小明用一根长为36m的绳子围成了一个平行四边形场地，其中AB边长为8m，其他三边的长各是多少？解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC.∵AB=8m，∴CD=8m.又AB+BC+CD+DA=36m，∴AD=BC=10m.即其他三边长分别为10m,8m,10m.例2如图，在ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，DF平分∠ADC交BC于F.求证：BE∥DF.【分析】要证明BE∥DF，依据图形特征，需得到同位角∠BEA=∠FDA或∠EBF=∠DFC.这时联想到平行四边形的性质有∠ABC=∠ADC，AD∥BC，再借助角平分线定义可得到结论.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC.∵BE平分∠ABC，∴∠2=∠ABC.又DF平分∠ADC，∴∠3=∠ADC，∴∠2=∠3.∵AD∥BC，∴∠1=∠2.∴∠1=∠3，∴BE∥DF.【教学说明】上述两例均可让学生自己独立完成，最后教师再展示解答过程.四、运用新知，深化理解1.一个平行四边形的一个内角是58°，这个平行四边形的每个内角的度数是多少？为什么？2.如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且∠EAF=60°，BE=2cm，DF=3cm，试求ABCD的周长.【教学说明】第1题可由学生独立完成，而第2题教师应给予适当点拨，先求∠C=120°，从而∠B=∠D=60°.易有∠BAE=∠DAF=30°，从而AB=2BE=4cm，AD=2DF=6cm，从而可得结论.【答案】1.解：由于平行四边形的两组对边分别平行，故它的邻角互补，所以它的每个内角分别为122°，58°，122°，58°.2.解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF＝60°，∴∠C＝360°-90°-90°-60°＝120°.∴∠B＝∠D＝180°-120°＝60°.∴∠BAE=∠DAF=90°-60°=30°.在Rt△ABE中，∠BAE＝30°，BE＝2cm，∴AB=2BE＝4cm.同理：AD=2DF＝6cm.故ABCD的周长为2（AB+AD）＝2×（4+6）＝20cm.五、师生互动，课堂小结1.在探索平行四边形性质的过程中，你有哪些认识？2.在运用平行四边形的性质解题时，应注意哪些问题？1.布置作业：从教材“习题18.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本课时中，课本的设计意图是利用图形平移和旋转的特征来得出平行四边形的性质.因此教学时应先列出日常生活中所用到的一些物体，体会平行四边形在日常生活中的广泛应用，进而给出平行四边形的定义，从定义出发得到第一个性质，再由学生动手操作和教师演示旋转得到其他性质.因为本章课标明确要求学生能够严格说理过程，所以教师在得出平行四边形性质的同时要加上几何语言的描述，在练习中也要注意规范学生的说理过程.第2课时平行四边形的对角线特征1.理解并掌握平行四边形的对角线互相平分的性质，并能用它来解决问题.2.通过活动探究获得平行四边形的对角线互相平分的性质过程中，增强学生的合作交流意识和探究精神，培养分析问题，解决问题的能力.3.在问题解决过程中让学生体验成功的快乐，激发学习数学的兴趣.【教学重点】平行四边形的对角线互相平分这一性质的探究与应用.【教学难点】综合运用平形四边形性质解决问题.一、情境导入，初步认识探究如图，在纸上画ABCD，将它剪下，再在一张纸上沿ABCD的边缘画一个与ABCD相同的EFGH.在它们的中心（两条对角线的交点）钉一个图钉，将ABCD绕点O旋转180°后，它能与EFGH重合吗？从中你能看出上节课得到的ABCD的边、角关系吗？进一步地，你能发现OA与OC，OB与OD的关系吗？【教学说明】教学时，教师应给出适当的时间让学生能够完成操作实践，并通过观察思考获得结论，一方面巩固上节课学过的两个性质，另一方面又为本节探讨平行四边形对角线互相平分的性质作铺垫，引入新课.二、思考探究，获取新知通过ABCD绕点O旋转180°后与EFGH重合，易发现OA=OC，OB=OD这一结论，于是有：平行四边形的对角线互相平分，即在ABCD中，AC、BD相交于O，则有OA=OC，OB=OD.思考请观察下边的图形（在ABCD中，AC、BD相交于O），你能证明上述结论吗？【教学说明】教师可引导学生利用三角形全等来得到上述结论，让学生自主完成证明过程.三、典例精析，掌握新知例1如图，四边形ABCD是平行四边形，且AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长及ABCD的面积.【分析】由平行四边形的对边相等易知BC=AD=8，CD=AB=10，再在Rt△ACB中，AB=10，BC=8，∠ACB=90°，∴AC=6，由平行四边形的对角线互相平分知OA=OC=12AC=3，从而易得ABCD的面积为BC×AC=6×8=48.【教学说明】教师给出本题后，应让学生先独立完成试试，然后教师给出评讲，让学生在成功或挫折中加深对知识的领悟.例2如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的一直线交AD于E，交BC于F.求证：OE=OF.【分析】由平行四边形的性质有OA=OC，又AD∥BC，故∠EAO=∠FCO，又由∠AOE=∠COF易知△AOE≌△COF，从而OE=OF.【教学说明】本例仍可先让学生自己独立完成，然后相互交流，教师巡视，对有困难同学及时予以指导.四、运用新知，深化理解1.如图，在ABCD中，BC=10cm，AC=8cm，BD=14cm，△AOD的周长是多少？为什么？△ABC与△DBC的周长哪个长？长多少？2.如图，ABCD的周长为50cm，对角线AC、BD相交于点O，且△AOB的周长比△BOC的周长长7cm，求ABCD的各边长.3.如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.（1）若AB＝4，AD＝8，求对角线AC的范围；（2）若AB＝4，BD＝10，求对角线AC的范围.4.如图，王大爷有一块平行四边形菜地，现在想把它分成面积相等的两块，两块地中间挖一条与一组对边AD、BC都垂直的水沟，你能帮助他完成这个分法吗？【教学说明】通过上述四道题的探究，可进一步增强学生对平行四边形性质的认识，积累解题经验，锻炼分析问题，解决问题的能力.【答案】1.解：在ABCD中，AC=8cm，BD=14cm.∴AO＝1/2AC＝4cm，DO＝1/2BD＝7cm.∴△AOD的周长是AO+OD+AD＝4+7+10＝21cm.又∵△ABC的周长为AB+AC+BC=AB+8+10=AB+18，△DBC的周长为BD+CD+BC=14+AB+10=24+AB.∴△DBC的周长比△ABC的周长长，长（24+AB）－（18+AB）＝6cm.2.解：∵ABCD的周长为50cm，∴2（AB+BC）=50cm，即AB+BC＝25cm①，由平行四边形的性质得：AO=CO，故C△AOB-C△BOC＝（AB+AO+BO）-（BO+CO+BC）=AB-BC=7cm②，联系①②解得：AB=16cm，BC＝9cm.即ABCD的边长分别为16cm，9cm，16cm，9cm.3.解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD，在△ABC中，BC-AB＜AC＜BC+AB，∴8-4＜AC＜8+4，即4＜AC＜12.（2）∵BO＝12BD＝5，∴BO-AB＜OA＜BO+