北师大版初三数学上册6.2反比例函数的图象与性质

北师大版初三数学上册6.2反比例函数的图象与性质汇报人：XXX2024-01-27反比例函数基本概念反比例函数图象绘制反比例函数性质分析反比例函数在实际问题中应用典型例题解析与讨论课堂小结与拓展延伸contents目录反比例函数基本概念01形如$y=frac{k}{x}$（$k$为常数，$kneq0$）的函数称为反比例函数。在反比例函数中，$x$是自变量，$y$是因变量，$k$是比例系数。当$x$取值不为零时，$y$的值等于$k$除以$x$。定义及表达式表达式解析反比例函数定义自变量$x$的取值范围在反比例函数中，自变量$x$可以取任何实数，除了零。因变量$y$的取值范围因变量$y$的取值范围依赖于比例系数$k$和自变量$x$的取值。当$k>0$时，$y$的取值范围为所有正实数；当$k<0$时，$y$的取值范围为所有负实数。自变量与因变量的关系在反比例函数中，自变量$x$和因变量$y$的乘积是一个常数，即$xy=k$。这意味着当$x$增大时，$y$会减小；反之，当$x$减小时，$y$会增大。自变量与因变量关系

函数值域与定义域定义域反比例函数的定义域是除去使分母为零的$x$值的所有实数，即${x|xneq0}$。值域反比例函数的值域依赖于比例系数$k$。当$k>0$时，值域为所有正实数；当$k<0$时，值域为所有负实数。函数图像反比例函数的图像是一条经过原点的双曲线。当$k>0$时，双曲线位于第一、三象限；当$k<0$时，双曲线位于第二、四象限。反比例函数图象绘制02为了准确地表示反比例函数的图象，通常选择直角坐标系进行绘制。选择直角坐标系在直角坐标系中，横轴表示自变量$x$，纵轴表示函数值$y$。根据需要，可以选择适当的单位长度。确定坐标轴坐标系选择与建立首先，需要确定反比例函数的表达式，例如$y=frac{k}{x}$（$k$为常数，$kneq0$）。确定函数表达式在自变量的取值范围内，选取一些具有代表性的点，例如$x=-3,-2,-1,1,2,3$等，并计算出对应的函数值。列表取值在直角坐标系中，将选取的点用实心点或空心点表示出来。这些点将构成反比例函数图象的基础。描点描点法绘制大致图象123在描点完成后，观察这些点的分布情况。对于反比例函数，这些点通常分布在两个象限内，且关于原点对称。观察点的分布根据点的分布情况，用一条光滑曲线将这些点连接起来。注意要确保曲线在两个象限内都是连续的，并且关于原点对称。用光滑曲线连接各点最后，根据需要可以在图象上添加一些辅助线或标注一些关键点，以便更好地理解和分析反比例函数的性质。完善图象光滑曲线连接各点反比例函数性质分析03观察法通过直接观察反比例函数的图象，可以判断函数在各自象限内的增减性。解析法利用反比例函数的解析式，通过求导判断函数的单调性，进而确定函数的增减性。增减性判断方法中心对称性反比例函数的图象关于原点对称，即对于任意一点$P(x,y)$在反比例函数图象上，点$P'(-x,-y)$也在图象上。轴对称性反比例函数的图象关于直线$y=x$和$y=-x$对称，即对于任意一点$P(x,y)$在反比例函数图象上，点$P'(y,x)$和$P''(-y,-x)$也在图象上。对称性特点探讨反比例函数图象与$x$轴和$y$轴均无交点。这是因为当$x=0$时，$y$无定义；当$y=0$时，$x$也无定义。虽然反比例函数图象与坐标轴无交点，但可以通过分析函数在坐标轴附近的趋势来了解函数的行为。例如，当$x$趋近于正无穷或负无穷时，$y$趋近于零；当$y$趋近于正无穷或负无穷时，$x$也趋近于零。与坐标轴交点情况反比例函数在实际问题中应用04当矩形面积一定时，长和宽成反比例关系。通过设定长和宽为反比例函数的两个变量，可以建立反比例函数模型，进而求解相关问题。矩形面积问题在某些特定条件下，三角形的底和高也可能成反比例关系。利用反比例函数的性质，可以建立相应的数学模型进行分析和求解。三角形面积问题面积问题建模与求解在匀速直线运动中，速度、时间和距离之间存在固定的关系。当速度一定时，时间和距离成反比例关系。通过设定时间和距离为反比例函数的两个变量，可以建立相应的数学模型。匀速直线运动在某些变速直线运动中，速度和时间之间也可能存在反比例关系。利用反比例函数的性质，可以对这类问题进行分析和求解。变速直线运动速度、时间、距离关系建模电阻、电压、电流关系01在电路中，电阻、电压和电流之间存在固定的关系。当电阻一定时，电压和电流成反比例关系。通过设定电压和电流为反比例函数的两个变量，可以建立相应的数学模型进行分析。工程问题02在某些工程问题中，工作总量一定时，工作效率和工作时间之间成反比例关系。利用反比例函数的性质，可以对这类工程问题进行建模和求解。经济问题03在经济领域中，价格和需求之间往往存在反比例关系。通过设定价格和需求为反比例函数的两个变量，可以建立相应的数学模型进行分析和预测。其他实际问题应用举例典型例题解析与讨论05基础知识类题目解析题目一已知反比例函数$y=frac{k}{x}$（$kneq0$），当$x=2$时，$y=3$，求$k$的值。题目二已知反比例函数$y=frac{6}{x}$，判断点$A(2,3)$是否在该函数的图象上。解析根据反比例函数的定义，将$x=2$，$y=3$代入$y=frac{k}{x}$，可得$3=frac{k}{2}$，解得$k=6$。解析将点$A(2,3)$的坐标代入$y=frac{6}{x}$，得$3=frac{6}{2}$，左右两边相等，因此点$A(2,3)$在该函数的图象上。提高能力类题目挑战题目三已知反比例函数$y=frac{k}{x}$（$k>0$）的图象经过点$A(1,2)$和点$B(m,n)$（$m>0$，$n>0$），且$mn=8$，求$k$的值和点$B$的坐标。解析将点$A(1,2)$代入$y=frac{k}{x}$得$k=2$。再将$mn=8$代入$y=frac{k}{x}$得$n=frac{8}{m}$，结合$y=frac{2}{x}$可得$m=2$，$n=4$。因此点$B$的坐标为$(2,4)$。题目四已知反比例函数$y=frac{k}{x}$（$kneq0$）的图象上有两点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$，且$x_1<x_2<0$，试比较$y_1$与$y_2$的大小。解析由于$kneq0$且$x_1<x_2<0$，根据反比例函数的性质可知，当$x<0$时，$y$随$x$的增大而减小。因此有$y_1>y_2$。题目五已知反比例函数$y=frac{3-k}{x}$的图象上有两点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，且当$x_1<x_2<0$时有$y_1<y_2$，则$k$的取值范围是_______。解析由题意可知当$x<0$时，函数值随自变量的增大而增大，这与反比例函数在负半轴上的性质相矛盾。因此必有$3-k<0$，解得$k>3$。易错难点题目剖析课堂小结与拓展延伸06反比例函数的定义反比例函数的图象是两条分别位于第一、三象限和第二、四象限的双曲线，这两条双曲线关于原点对称。反比例函数的图象反比例函数的性质当$k>0$时，双曲线在第一、三象限，且随着$x$的增大，$y$值逐渐减小；当$k<0$时，双曲线在第二、四象限，且随着$x$的增大，$y$值逐渐增大。形如$y=frac{k}{x}$(其中$k$是常数且$kneq0$)的函数称为反比例函数。关键知识点回顾总结通过反比例函数的图象，可以直观地理解反比例函数的性质，体现了数形结合的思想。数形结合思想分类讨论思想转化与化归思想在讨论反比例函数的性质时，需要根据$k$的正负进行分类讨论，体现了分类讨论的思想。在研究反比例函数时，可以将其转化为一次函数或二次函数进行研究，体现了转化与化归的思想。030201数学思想方法提炼VS建议学生课后阅读教