高考数学总复习 第七章第三节 课时跟踪训练 理

课时知能训练一、选择题1．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行【解析】若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，则a∥b与a，b异面相矛盾．【答案】C图7－3－82．如图7－3－8所示，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A、B、C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M【解析】易知γ过C点，且M∈AB，∴M∈γ，∴γ也过M点．【答案】D3．下列四个命题中，真命题的个数为()(1)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；(2)两条直线可以确定一个平面；(3)若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；(4)空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．A．1B．2C【解析】(1)错，如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合，此命题在三点不共线时才成立．(2)错，两直线是异面直线时不能确定一个平面．(3)对，若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.(4)错，空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内．【答案】A图7－3－94．如图7－3－9，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】直线A1C1、直线A1B都与BC1成60°的角．【答案】B5．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(10),10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3\r(10),10)D.eq\f(3,5)【解析】取DD1的中点F，连结CF，∠D1CF为所成的角或其补角，取AB＝1，cos∠D1CF＝eq\f(5＋2－1,2\r(5)×\r(2))＝eq\f(3\r(10),10).【答案】C二、填空题图7－3－106．如图7－3－10所示，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成的角的正切值是________．【解析】因为AD∥A1D1，异面直线BD1与AD所成的角就是BD1与A1D1所成的角，即∠A1D1B.由勾股定理，得A1B＝2eq\r(5)，tan∠A1D1B＝eq\r(5).【答案】eq\r(5)7．(2012·惠州质检)a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________(只填序号)．【解析】由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c相交、平行，也可以异面，故③不正确；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④不正确．【答案】①图7－3－118．一个正方体纸盒展开后如图7－3－11所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上四个命题中，正确命题的序号是________．【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，则AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD.所以①③正确．【答案】①③三、解答题图7－3－129．在长方体ABCD—A1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图7－3－12所示，其中P点不在对角线B1D1)上．(1)过P点在空间作一直线l，使l∥直线BD，应该如何作图？并说明理由；(2)过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成α角，其中α∈(0，eq\f(π,2)]，这样的直线有几条，应该如何作图？【解】(1)连结B1D1，BD，在平面A1C1内过P作直线l，使l∥B1D1，则l即为所求作的直线．∵B1D1∥BD，l∥B1D1，∴l∥直线BD.如图(1)(1)(2)在平面A1C1内作直线m，使m与B1D1相交成α角，∵BD∥B1D1，∴直线m与直线BD也成α角，如图(2)．由图知m与BD是异面直线，且m与BD所成的角α∈(0，eq\f(π,2)]．(2)当α＝eq\f(π,2)时，这样的直线m有且只有一条；当α≠eq\f(π,2)时，这样的直线m有两条．图7－3－1310．如图7－3－13所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝eq\r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．【解】取AC的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，∴EF∥CD.∴∠BEF即为异面直线BE与CD所成的角或其补角．在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)，∴BE＝eq\f(\r(5),2).在Rt△EAF中，AF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(1,2)，∴EF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝eq\f(1,2)，∴BF＝eq\f(\r(5),2).在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝eq\f(\f(1,2)EF,BE)＝eq\f(\f(\r(2),4),\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(10),10)，∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为eq\f(\r(10),10).图7－3－1411．如图7－3－14，三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(2)求三棱锥A—EBC的体积．【解】(1)取BC的中点F，连结EF，AF，则EF∥PB.所以∠AEF就是异面直线AE和PB所成的角或其补角．∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，∴AF＝eq\r(3)，AE＝eq\r(2)，EF＝eq\r(2)，cos∠A